數(shù)值分析數(shù)值積分

1、 第二章數(shù)值積分n數(shù)值積分是數(shù)值計算的重要部分，它是求定積分的一種近似方法,具有實際意義. 4.1數(shù)值積分的一般概念數(shù)值求積公式討論如下形式的數(shù)值求積公式 (4.1.1)稱為機械求積公式.其中Hi(i=0,1,2,n)稱為求積系數(shù)，xi(i=0,1,2,n)稱為求積節(jié)點. 稱為求積公式的余項.0( )( )d( )nbiiaiI ff xxH f x0( )( )d()(4.1.2)nbiiaiE ff xxA f xn數(shù)值積分問題可分解為如下三個問題:n(1)精確性程度的衡量標準問題；n(2)求積公式具體構(gòu)造問題；n(3)余項估計問題.求積公式的代數(shù)精度n定義若求積公式(4.1.1)對所有次

2、數(shù)不超過m的多項式都精確成立，而對于某個m+1次多項式不能精確成立，則稱此求積公式具有m次代數(shù)精度（或稱該公式是m階的）.n上述定義等價于：若求積公式(4.1.1)對f(x)=1,x,x2,xm均精確成立，而對f(x)=xm+1不精確成立,則稱此求積公式具有m次代數(shù)精度（或稱該公式是m階的）.n代數(shù)精度的概念是衡量求積公式精確性的標準.插值型求積公式n以給定互異點x0, x1, , xn 為插值節(jié)點,作f(x)的n次插值多項式n(x) ,把n(x) 寫成Lagrange插值多項式的形式n求積系數(shù)0( )( ) ( )nniiiL xl x f x0( )d( )d ) ( )nbbiiaaif

3、 xxl xx f x( )d ,(0,1,2, )biiaHl xxinn對于求積公式n n如果求積系數(shù)n (4.1.3)n則稱(4.1.1)為插值型求積公式.n其余項n若公式(4.1.1)是插值型求積公式，則它至少具n有n次代數(shù)精度.0( )( )nbiiaif x dxH f x0( )ddnbbjiiaa jijj ixxHl xxxxx(1)0( )( )()d(1)!nnbjajfE fxxxnn反之，若求積公式(4.1.1)至少具有n次代數(shù)精度，因lk(x)Mn, k=0,1,2,n.求積公式(4.1.1)對lk(x)精確成立，即n綜上有n定理 求積公式(4.1.1)至少具有n次

4、代數(shù)精度的充分必要條件是它是插值型的.0( )d( ),0,1,2,nbki kikailxxH lxHkn 4.2 Newton-Cotes公式Newton-Cotes公式將區(qū)間a,bn等分，其分點為xi=a+ih ，i=0,1,2,n ， h=(b-a)/n，以這n+1個等距分點為插值節(jié)點,作n次插值多項式求積系數(shù)0( )( ) ( )nniiiL xf x l x0( )d( )d ) ( )nbbiiaaif xxl xx f x( )d ,(0,1,2, )biiaHl xxinNewton-Cotes系數(shù)n作變量替換x=a+th，于是n記 (4.2.1)n稱為牛頓柯特斯（Newto

5、n-Cotes）系數(shù).n則n Hi=(b-a)Ci (n) (4.2.1)011101110()()()()()( )dd()()()()()( 1)(1)(1)(1)()d!()!bbiiniiaaiiiiiiinn inxxxxxxxxxxHl xxxxxxxxxxxxxht ttititnti ni ( )00( 1)()d ,(0,1,2, )!()!n innnijj iCtjtinn i niNewton-Cotes公式 (4.2.3)稱等距節(jié)點的插值型求積公式(4.2.3)為n階牛頓柯特斯（Newton-Cotes）公式.( )0( )d()()nbniiaif xxbaCf x

6、n當n=1時, Newton-Cotes公式(4.2.3)為梯形求積公式n (4.2.4)n H0= H1 =(b-a)/2, C0= C1 =1/2n幾何意義:用梯形面積近似代替曲邊梯形面積.n當n=時, Newton-Cotes公式(4.2.3)為拋物線n(Simpson)求積公式n (4.2.5)n H0=H2=(b-a)/6, H1=2(b-a)/3, C0=C2 =1/6, C1 =2/3( )d ( )( )2babaf xxf af bT( )d( )4( )62babaabf xxf aff bSn當n=4時, Newton-Cotes公式(4.2.3)為Cotes公式公式n

7、n (4.2.6)nH0=H4=7(b-a)/90,H1=H3=32(b-a)/90, H2=12(b-a)/90, n C0=C4=7/90, C1=C3=32/90, C2=12/90.n其它情形可通過查Cotes系數(shù)表，給出具體公式. 01234( )d7 ()32 ( )12 ()32 ()7 ()90babaf xxf xf xf xf xf xNewton-Cotes公式的收斂性定理定理 對于對于n+1個節(jié)點的個節(jié)點的Newton-Cotes公式的公式的求積系數(shù)求積系數(shù)Hk, 當當n時時, 數(shù)列數(shù)列 無限放大無限放大.定理定理 如果當如果當n時時, 與插值型求積公式與插值型求積公式

8、(4.1.1)相應的數(shù)列相應的數(shù)列 無限放大，無限放大， 則有函數(shù)則有函數(shù)f(x)Ca,b，使得數(shù)列，使得數(shù)列不收斂于不收斂于此定理說明此定理說明Newton-Cotes公式并不總是收斂公式并不總是收斂于積分的真值于積分的真值. 0nkkH0nkkH0()(1,2,3,)nkkkH f xn( )dbaf xxNewton-Cotes公式的數(shù)值穩(wěn)定性n設精確值為f(xj)的計算值為 ，且n那么n若每個Hi (i=0,1,2,n)都為正, 則n這時數(shù)值計算是穩(wěn)定的.n若Hi 有正有負,則 且隨n的增大無限放大，n這時數(shù)值計算是不穩(wěn)定的.( )( ),0,1,2, .iif xf xin0000(

9、 )( )( )( )nnnniiiiiiiiiiiiH f xH f xHf xf xH( )if x000( )( )()nnniiiiiiiiH f xH f xHba0niiHban當n=8時，Newton-Cotes公式中求積系數(shù)出現(xiàn)負數(shù).n實際計算并不用高階Newton-Cotes公式，一方面余項含高階導數(shù)；另一方面其收斂性、穩(wěn)定性都差.Newton-Cotes公式的余項n對于n階的Newton-Cotes公式n 當n為奇數(shù)時，若f(x)Cn+1a,b,則n n當n為偶數(shù)時，若f(x)Cn+2a,b,則n (1)0( )( )()d ,( , )(1)!nnbja jfE fxxx

10、a bn(2)0( )( )()d ,( , )(2)!nnbjajfE fxxxxa bnNewton-Cotes公式的代數(shù)精度n對于n階的Newton-Cotes公式n當n為奇數(shù)時，至少具有n次代數(shù)精度；n當n為偶數(shù)時，至少具有n+1次代數(shù)精度.n梯形求積公式的代數(shù)精度為1.n 拋物線求積公式的代數(shù)精度為3n梯形求積公式的余項n定理若f(x)C2a,b ,則梯形求積公式有余項估計n (4.2.7)3()( )( )d ( )( )( )( , )212bTababaEff xxf af bfa b n證 由插值余項定理知n等式兩邊積分得n由于f(x)C2a,b ，且(x-a)(x-b)在a

11、,b上非正 n(不變號),故根據(jù)積分中值定理知,至少存在一點(a,b),使),()()(21)()(1babxaxfxLxf 1( )( )()()d2bTaEffxa xbx311( )( )()()d()( )212bTaEffxa xbxbaf n拋物線求積公式的誤差n定理若f(x) C4a,b ,則拋物線求積公式有余項估計n (4.2.8)5(4)( )( )d( )4 ()( )62()( )( , )2880bsabaabEff xxf aff bbafa b n證 拋物線求積公式的代數(shù)精度為3,為此構(gòu)造三次多項式P3(x)，滿足 P3(a)=f(a), n則n等式兩邊從a到b積分

12、得n由于P3(x)是三次多項式，故拋物線求積公式對它準確成n立，即)2()2(),()(),2()2(333bafbaPbfbPbafbaP),()()2)()(! 41)()(2)4(3babxbaxaxfxPxf(4)231( )d( )d( )()() ()d4!2bbbaaaabf xxP xxfxa xxbx這樣由于f(x)C4a,b ，且 在a,b上非正(不變號),故根據(jù)積分中值定理知,至少存在一點(a,b),使)()2(4)(6)()2(4)(6d3333bfbafafabbPbaPaPabbax(x)P(4)21( )( )()() ()d4!2bsaabEffxa xxbx)

13、()2)(2bxbaxax(4)25(4)1( )( )()() ()d4!2()( )2880bsaabEffxa xxbxbaf 復化Newton-Cotes公式復化梯形求積公式將區(qū)間a, bn等份，其分點為xi=a+ih (i=0,1,2,n), h=(b-a)/n. 在每個小區(qū)間xk, xk+1 (k=0,1,2,n-1),上利用梯形求積公式則 (4.2.9)稱 為復化梯形求積公式. 111( )d ()()2kkxkkkkxxxf xxf xf x111110011( )d( )d ()()2 ( )( )2()2kknnbxkkkkaxkknnkxxf xxf xxf xf xhf

14、 af bf akhT11 ( )( )2()2nnkhTf af bf akhn將區(qū)間a, b2n等份,得復化梯形求積公式n其中121102 ()2 ()()4nnkkkkhTf xf xf x21()2nnnTTU1102()nnkkUhf xn復化梯形求積公式的誤差n定理若f(x) C2a,b ,則n (4.2.10)n證n由于f(x)C2a,b ，利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)知存在一點na,b,使n這樣2( ;)( )d( ),( , )12bnnabaE f Tf xx Th fa b 11103110( ;)( )d( )d ()()2()(,)12kknbxnnkkaxknkkkkkhE

15、f Tf xxTf xxf xf xhfxx 2( ;)( )d( ), , 12bnnabaE f Tf xx Th fa b 101()( )nkkffnn n 即復化梯形求積公式是收斂的nTn的求積系數(shù)均為正，故是數(shù)值穩(wěn)定的.bannxxfTd)(lim復化拋物線求積公式將區(qū)間a, bn等份，其分點為xi=a+ih (i=0,1,2,n), h=(b-a)/n. 在每個小區(qū)間xk, xk+1 (k=0,1,2,n-1),上利用拋物線求積公式則 (4.2.11)稱為復化拋物線求積公式.11112( )d ()4 ()()6kkxkkkkxkxxf xxf xf xf x1111100211

16、1012( )d( )d ()4 ()()6 ( )4()2()( )6kknnbxkkaxkkknnknkkkhf xxf xxf xf xf xhf af xf xf bSn n (4.2.12)n復化拋物線求積公式的誤差n定理若f(x) C4a,b ,則n (4.2.13)1233nnnSTU244 1nnnTTS4(4)()( ;)( )d( )( ),( , )1802bnnabahE f Sf xxSfa b n n 即復化梯形求積公式是收斂的nSn的求積系數(shù)均為正，故是數(shù)值穩(wěn)定的.lim( )dbnanSf xxn復化Cotes公式n (4.2.14)n其余項為n (4.2.15

17、)n復化Cotes公式是收斂的、數(shù)值穩(wěn)定的.111111301014247 ( )32() 12()32() 14()7 ( )90nnnnnkkkkkkkkhCf af xf xf xf xf b6(6)2()( ;)( )d( )( ), , 9454bnnabahE f Cf xxCfa b 222441nnnSSC例 用梯形求積公式和Simpson公式計算積分 ,并估計誤差. n解 記a=0, b=1, f(x)=e-x ,則f (x)=-e-x f(x)=e-x , f(x)=-e-x , f(4)(x)=e-x 10e dxx0110 ( )( )(ee )0.683939722b

18、aTf af b3()1( )( )e,(0,1)1212TbaEff 1( )0.08333312TEf00.51( )4( )6210(e4ee )0.63233376baabSf aff b5(4)()1( )( )e,(0,1)288028801( )0.000347 22880SSbaEffEf 推導下列矩形求積公式： (1) (2)解 (1)將f(x)在a處展開，得兩邊在a, b上積分，得由于x-a在a, b上不變號，故有a,b, 使從而得 21( )d() ( )( )()2baf xxba f afba31( )d() ()( )()224baabf xxba ffba( )(

19、 )( )(),( , )f xf afxaa x( )d( )d( )()d() ( )( )()bbbaaabaf xxf axfxaxba f afxa dx( )d() ( )( )()dbbaaf xxba f afxax21( )d() ( )( )() , , 2baf xxba f afbaa bn將f(x)在(a+b)/2處展開，得n兩邊積分，得n n由于 在a, b上不變號，故有(a,b), 使 21( )()()()( )()( , )22222ababababf xffxfxa b21( )d() ()()()d( )() d22222bbbaaaababababf x

20、 xba ffxxfxx21( )d() ()( )() d222bbaaababf xxba ffxx31() ()( )() ,( , )224abba ffbaa b2)2(bax例 利用Hermite插值公式推導帶有導數(shù)值的求積公式n解 作三次多項式H(x)滿足如下插值條件：n則n且 n其中25(4)()()( )d( )( )( )( )( ),( , )212720babababaf xxf af bfaf bfa b( )( ),( )( ),( )( ),( )( )H af aH bf bH afaH bfb0101( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )H

21、 xf a h xf b h xfa h xf b h x(4)22( )( )( )() () ,( , )4!ff xH xxaxba b220122012()2()( )1,( )1( )(),( )()xaxbxbxah xh xbaababbaxbxah xxah xxbabban直接計算得01( )d,( )d22bbaababah xxh xx2201()()( )d,( )d1212bbaababah xxh xx (4)(4)2222( )( )() () d() () d4!4!bbaaffxaxbxxaxbx5(4)()( ),( , )720bafa bn 010(4)

22、2212( )d( )( )d( )( )d( )( )d( )( )( )d() () d4!() ( )( )( )( )212bbbbaaaabbaaf xxf ah xxf bh xxfah xxff bh xxxaxbxbabaf af bfaf b5(4)()( ),( , )720bafa bn例 若用復化梯形求積公式求n 的近似值，問要將積分區(qū)間0, 1分成多n 少等份才能保證計算結(jié)果有四位有效數(shù)n 字？若用復化拋物線求積公式呢？10e dxxn解 記f(x)=e-x ，則 f(x)=f(4)(x)=e-x . 的真值具有n零位整數(shù)，所以要求計算結(jié)果有四位有效數(shù)字，即要求n復化

23、梯形求積公式的誤差滿足n由于b-a=1, h=(b-a)/n=1/n ,f(x)=e-x ，所以要n使n只要 ，開平方得，n40.8, 取n=41.10e dxx2422()111( ;)( )e101212122nbaE f Th fnn241106n 41( ;)102nE f Tn因此，若用復化梯形公式求 的近似值，n必需將區(qū)間0, 1分成41等分才能保證計算結(jié)果有n四位有效數(shù)字.n若用復化拋物線求積公式，則由其誤差估計式知，要使n只要n2 ，因此用復化拋物線求積公式計算，n只需將區(qū)間0, 1分成2等分.10e dxx44(4)4411( ;)( )102880288028802nbah

24、E f Sh fen 試分別用復化梯形求積公式和復化拋物線求積公式計算下列積分，并比較結(jié)果. 解 將區(qū)間0, 18等分，分點為xi=ih (i=0,1,2,8), h=1/8. ，令f(x)=x/(4+ x2) 可計算得下表xi 0 1/8 1/4 3/8 1/2f(xi) 0 0.031 128 4 0.061 538 5 0.090 566 0 0.117 647 1xi 5/8 3/4 7/8 1f(xi) 0.142 348 8 0.164 383 6 0.183 606 6 0.200 00120d(8)4xxnxn由復化梯形求積公式得n由復化拋物線求積公式得78111(0)2( )

25、(1)2811131537(0)2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )(1)1684828480.111402 4iiTff xffffffffff4111131357(0)2( )( )( )4( )( )( )( )(1)6442488880.111572 4Sfffffffffn與積分的精確值比較，顯然復化拋物線求積法比復化梯形求法精確得多.n例 P192例4.1112200115dln(4)ln0.11157174224xxxx4.3 Romberg求積法n 同理n同理得Romberg公式3112()1( ;)( )(),( , )12nnbaE f T

26、I fTfa bn 322222()1( ;)( )(),( , )12(2 )nnbaE f TI fTfa bn 2( )4,( )nnI fTI fT222141( )()(4.3.1)333nnnnnnI fTTTTTS2( )16,( )nnI fSI fS2221161( )(),(4.3.2)151515nnnnnnI fSSSSSC2641(4.3.3)6363nnnRCCn進行下去.n在變步長(半分區(qū)間)的過程中運用(4.3.1), (4.3.2), (4.3.3),就能將粗糙的近似值Tn逐步加工成精度較高的Sn (3階的), Cn (5階的), , Rn ,值 ，提高了收斂

27、速度，其實質(zhì)起到了加速收斂的作用，也稱為逐次分半加速法.Romberg方法n將區(qū)間a, b依次作20, 21, 22, 等分，記 n按復化梯形求積公式算得的值相應地記為 .n由公式n遞推計算數(shù)表n用Tm(k)或Tm(0)作為定積分的近似值. 2iibah(0)(1)(2)000,TTT(1)( )( )11441mkkkmmmmTTT)0(3)1(2)2(1)3(0)0(2)1(1)2(0)0(1)1(0)0(0)(3)(2)(1)(03210TTTTTTTTTTTTTTkkkkk若f(x) C2m+2a,b ,則 (4.3.4)其中B2m+2是只與m有關而與k無關的常數(shù).T數(shù)表中元素Tm(k

28、)相應的求積公式的代數(shù)精度為2m+1，而且對固定的m (4.3.5)即T數(shù)表中第m列的元素收斂于積分真值.( )23(22)22(1)(2 )( )d()( ),( , )2(2 )!bkmmmmmmkaBf xx Tbafa bm ( )lim( )dbkmakTf xx若f(x)是有界可積的， 不僅(4.3.5)成立,而且還有即T數(shù)表中對角線上的元素也收斂于積分真值.(0)lim( )dbmamTf xxnT數(shù)表中的每一個元素Tm(k)的值都是由2k, 2k+1, ,2k+m個區(qū)間上復化梯形公式的線性組合，即Tm(k)的值是第一列元素值的線性組合.n在實際計算中，當表中對角線 (列)上出現(xiàn)

29、兩個順序連接的數(shù)之差為允許誤差時，即可停止運算.例 用Romberg求積法求積分的近似值,要求誤差不超過 .n解 記 1204d1Ixx4110224( ),0,11f xabx22(0)044(0)4,(1)2101 110 ( )( ) (0)(1)322ffbaTf af bff2(1)(0)004(0.5)3.210.511(0.5)(33.2)3.122fTTf2244(0.25)3.7647059,(0.75)2.560000010.2510.75ff 222244(0.125)3.9384615(0.375)3.506849310.12510.37544(0.625)2.876

30、4045(0.875)2.265486710.62510.875ffff(3)(2)0011 (0.125)(0.375)(0.625)(0.875)3.138988524TTffff8(4)(3)00111(21)3baTTfk(2)(1)0011 (0.25)(0.75)3.131176522TTff由遞推算式計算得下表 k T0(k) T1(k) T2(k) T3(k) T4(k) 0 3.000 000 1 3.100 000 3.133 333 2 3.131 177 3.141 569 3.142 118 3 3.138 989 3.141 593 3.1

31、41 594 3.141 586 4 3.140 942 3.141 593 3.141 593 3.141 593 3.141 593取T4(0)作為的近似值,即 . 這一結(jié)果與準確值 相比較已有較好的效果.()(1)( )( )11441mkkkmmmmTTT(0)(0)4431102TT1204d3.1415931xx112004d4arctan1xxx 4.4 Gauss求積公式 n問題：固定節(jié)點數(shù)目為n+1的情況下，適當選取一組節(jié)點x0, x1, , xn ，及求積系數(shù) H0, H1, , Hn ，使求積公式n (4.4.1) n具有代數(shù)精度2n+1n定義 若求積公式 (4.4.1)

32、 具有代數(shù)精度2n+1，則稱該求積公式為Gauss求積公式，相應的求積節(jié)點稱為Gauss點.0( )d()nbkkakf xxH f xGauss求積公式的構(gòu)造n由定義公式(4.4.1) 對f(x)=1,x,x2,x2n+1精確成立，得n求解xi ,Hin這種方法是非線性的，求解困難.0120120 01 12 221212121210121dddnbnabn nabnnnnnnaHHHHxH xH xH xH xx xH xH xH xH xxx n定理定理 插值型求積公式插值型求積公式(4.4.1)是是Gauss求求積公式的充分必要條件是：以其節(jié)點為積公式的充分必要條件是：以其節(jié)點為零點的

33、零點的n+1次多項式次多項式pn+1(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn)在在a,b上關于權函上關于權函數(shù)數(shù)(x)1與一切次數(shù)與一切次數(shù) n的多項式正的多項式正交，即交，即1( )( )d0,( )(4.4.2)bnnnnaqx pxxqxMn證 充分性 若(4.4.2)成立，f(x)M2n+1, nf(x)= sn(x) pn+1(x)+rn(x), sn(x) ,rn(x)Mnn由公式(4.4.1) 有n從而求積公式(4.4.1)是Gauss求積公式.100( )d( )( )d( )d( )( )bbbnnnaaanniiiiiif xxsx pxxr xxH r xH f xn必

34、要性 若公式(4.4.1)具有代數(shù)精度2n+1， qn(x)Mn, qn(x)pn+1(x)M2n+1n 即pn+1 (x)在a,b上關于權函數(shù)(x)1與一切次數(shù) n的多項式正交.110( )( )d( )( )0,nbnnininiaiqx pxxH qx pxGauss求積公式的余項n考察以x0, x1, , xn為節(jié)點的Hermite插值公式n利用Gauss求積公式及積分中值定理有(22)21( )( )( )( )(22)!nnff xH xpxn00( )d( )( )d( )( )nnbbiiiiaaiif xxH H xf xxH f xE f(22)(22)2211( )( )

35、( )( )d( )d(22)!(22)!nnbbnnaaffE fpxxpxxnnGauss求積公式的收斂性n定理定理 若若f(x)Ca,b ，則，則Gauss求積公求積公式是收斂的式是收斂的.即即bankkkkxxfxfHd)()(lim0Gauss求積公式的數(shù)值穩(wěn)定性n定理定理 Gauss求積公式的系數(shù)求積公式的系數(shù)Hk(k=0,1,2,n)全是正的全是正的.n考察基函數(shù)考察基函數(shù)lk(x)Mn， lk2(x)M2n， Gauss求積公式對其精確成立，故求積公式對其精確成立，故n (k=0,1,2,nn推論推論 Gauss求積公式是數(shù)值穩(wěn)定的求積公式是數(shù)值穩(wěn)定的.2200( )d( )( )dnbbki kikkaailxxH lxHlxxn定理定理 n+1個節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精個節(jié)點的插值型求積公式的代數(shù)精度至少為度至少為n，最高為，最高為2n+1.n證證 Gauss求積公式是插值型求積公式，故代求積公式是插值型求積公式，故代數(shù)數(shù)n精度可達到精度可達到2n+1，但不能超過，但不能超過2n+1.n否則否則,令令f(x)=p2n+1(x)=(x-x0)2(x-x1)2(x-xn)2n xi (i=0,1,n)是求積節(jié)點，求積公式對其精是求積節(jié)點，求積公式對其精確成確成n立，即立，即n又又n矛盾矛盾.22110( )d