3-4切比雪夫不等式與大數(shù)定律ppt課件

1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容1.5學(xué)時(shí)）學(xué)時(shí)）一、切比雪夫不等式。一、切比雪夫不等式。二、依概率收斂簡(jiǎn)介。二、依概率收斂簡(jiǎn)介。三、大數(shù)定律難點(diǎn)）。三、大數(shù)定律難點(diǎn)）。 1、切比雪夫大數(shù)定律。、切比雪夫大數(shù)定律。 2、伯努利大數(shù)定律。、伯努利大數(shù)定律。 3、辛欽大數(shù)定律。、辛欽大數(shù)定律。第四節(jié)第四節(jié) 切比雪夫不等式與大數(shù)定律切比雪夫不等式與大數(shù)定律 (), () ,設(shè)設(shè) 是是只只取取非非負(fù)負(fù)值值的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量, ,且且具具有有數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望則則對(duì)對(duì)于于任任意意正正數(shù)數(shù)有有 XEE XP XX 一、切比雪夫不等式一、切比雪夫不等式k k重重要要性性在在于于不不知知道道X X的的分分布布( (f f(

2、(x x) ), ,p p ) )情情況況下下 通通過過E E( (X X) )估估計(jì)計(jì)事事件件 的的概概, ,. .率率下下限限X 闡明：闡明：1、馬爾科夫不等式、馬爾科夫不等式 （證明見下頁）（證明見下頁）: X證證明明以以連連續(xù)續(xù)型型 證證明明, , 設(shè)設(shè)X X的的概概率率密密度度為為f f( (x x) ). ., 0, ( )0只只取取非非負(fù)負(fù)值值故故時(shí)時(shí)Xxf x()改改寫寫為為: : E XP X 0()( )E Xxf x dx0( )( )xf x dxxf x dx ( )xf x dx ( )f x dx P X 22222|()|(), (), , |()|1設(shè)設(shè)隨隨機(jī)

3、機(jī)變變量量的的存存在在則則對(duì)對(duì) 0 0, ,有有或或PXEXE XXXXDPXE |()|k k通通過過E E( (X X) ), ,D D( (X X) ) 估估計(jì)計(jì)事事件件 重重要要性性: : 不不知知道道X X的的分分布布( (f f( (x x) ), ,p p ) )情情況況下下率率下下限限, ,. . 的的概概XE X 223 , |()| 3 0.1119PXE X 如如取取則則2、切比雪夫不等式、切比雪夫不等式 22: |()|()證證明明PXE XPXE X 22() )EXE X 2()D X 例例1 已知正常男性成人每毫升血液中的白細(xì)胞數(shù)平均已知正常男性成人每毫升血液中的

4、白細(xì)胞數(shù)平均是是7300，均方差是，均方差是700 。利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白。利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率下界。之間的概率下界。解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X。依題意，依題意，E(X)=7300，D(X)=7002(52009400)PX73007300(52073)000094 0PX( 2100210()21)0)(0(0)PXP XXEEX2()1(2100)D X2700181()1210099即估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在即估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200940052009400間的概率不小于間的概率不小于8/9 .8/9 .二

5、、依概率收斂簡(jiǎn)介二、依概率收斂簡(jiǎn)介 (1,2,.), , 0,lim 1, .:.nnnPnnXaRP XaXaXa 設(shè)設(shè)為為一一隨隨機(jī)機(jī)變變量量序序列列 n n= =若若對(duì)對(duì)則則稱稱依依概概率率收收斂斂于于 記記作作 (1) lim0nnP Xa 說說明明: :另另一一種種形形式式(2) , ( , )nN nNU aX 對(duì)對(duì)時(shí)時(shí)落落在在鄰鄰域域外外的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)有有限限, ,測(cè)測(cè)度度為為0 0. . (4) , ( )()( ).nnXayg xxag Xg a P PP P設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在處處連連續(xù)續(xù), , 則則(5) , ,( , )( , )(,)( , ).nnnnXa Ybg x

6、ya bg XYg a b P PP PP P設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處連連續(xù)續(xù), , 則則 (3) , ,. , / (0)nnnnnnnnXaYbXYabXYa bXYa b b P PP PP PP PP P設(shè)設(shè)則則. . 背景：背景： 大數(shù)定律研究在什么條件下隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值大數(shù)定律研究在什么條件下隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值收斂于其均值的算術(shù)平均值。收斂于其均值的算術(shù)平均值。11()()nnAniinRAXp Ann 211111 ,., ()nnPiiiinXE XnnX XX核核心心: : 滿滿足足什什么么條條件件時(shí)時(shí) 特例：頻率的穩(wěn)定性。特例：頻率的穩(wěn)定性。, ()PXE X

7、即即滿滿足足什什么么條條件件時(shí)時(shí) 三、大數(shù)定律難點(diǎn)）三、大數(shù)定律難點(diǎn)）闡明：闡明：1、切比雪夫大數(shù)定律、切比雪夫大數(shù)定律11221(89)1lim ,.,1( (,0,1 lim1 比比條條件件設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量相相互互獨(dú)獨(dú)立立, ,且且數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望和和方方差差相相同同. .即即) )= = , ,) )= =, ,令令則則對(duì)對(duì)于于任任意意或或弱弱nniiinininiXXXE XD XXPP XXXnPn 121111(1) ,., ().nnniiiiXXXXE XnXn P PP P的的算算術(shù)術(shù)平平均均值值即即(2) , ().XXXE X P P為為總總體體均均值值的的一一致致無

8、無偏偏數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)用用估估計(jì)計(jì)計(jì)計(jì)估估, , (證明見下頁證明見下頁)由切比雪夫不等式，可得：由切比雪夫不等式，可得：11: ()niiEXnE X 證證明明11()niiE Xn 1*nn 1()1niiDXnD X 211()()niiD Xn 2221*nnn ()1P XE X 11niiPXn 2()1D X 221n 1n 11: limlim1ninniP XPXn 即即得得 1 (1,2,.),201 (2,3,.),. 例例2 2 相相互互獨(dú)獨(dú)立立, ,證證明明服服從從大大數(shù)數(shù)定定律律nnnnXnP XnnP XnXn211:()0*(1)*()*0nE Xnnnnn 證

9、證明明() 1P XE X 即即2()()nnD XE X 22110 *(1)*2nnnnn nX滿滿足足切切比比雪雪夫夫大大數(shù)數(shù)定定律律 ()()0nE XE X 又又11 0nPiiXXn 故故闡明：闡明：2、伯努利大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律0, lim1) ( PAAAnnnPppp Annn 設(shè)設(shè)為為n n次次獨(dú)獨(dú)立立重重復(fù)復(fù)試試驗(yàn)驗(yàn)中中隨隨機(jī)機(jī)事事件件A A發(fā)發(fā)生生的的次次數(shù)數(shù), , 是是事事件件A A在在每每次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中發(fā)發(fā)生生的的概概率率, ,則則對(duì)對(duì)任任意意成成立立即即 (1) n, A( )( ) P P重重伯伯努努利利試試驗(yàn)驗(yàn)中中 事事件件 發(fā)發(fā)生生的的頻頻率率AnnR

10、 Ap An(2) ,()Anp An試試驗(yàn)驗(yàn)次次數(shù)數(shù)充充分分大大時(shí)時(shí) 可可用用頻頻率率近近似似代代替替概概率率(證明見下頁證明見下頁)5: =0.01, n=10, 0.50.0197.5%AnPn 例例拋拋硬硬幣幣試試驗(yàn)驗(yàn)若若時(shí)時(shí): ( ,)AAnnnb n p證證明明代代表表 重重伯伯努努利利試試驗(yàn)驗(yàn)中中A A發(fā)發(fā)生生的的次次數(shù)數(shù), , 12. .AnnXXX 則則 12,.,nXXX又又相相互互獨(dú)獨(dú)立立, , 根根據(jù)據(jù)切切比比雪雪夫夫大大數(shù)數(shù)定定律律lim1, 1 limnAnP XnPpn 即即 1 (i=1,2,.,n)0iiXi第第 次次A A發(fā)發(fā)生生令令第第 次次A A沒沒發(fā)發(fā)

11、生生, (), ()(1) (i=1,2,.,(1, )iiiE Xp D XXbppp1111, ()()nnAiiiinXXE XEXpnnn 又又 = =闡明：闡明：1121 ,.,1( (1,2,.). ,0, 1lim1 lim1 設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量相相互互獨(dú)獨(dú)立立, ,服服從從同同一一分分布布, ,且且數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望) )= =令令則則對(duì)對(duì)于于任任意意成成立立或或nniiininniXXXE XkXXnP XPXn 12(1) : ,.,與與( (切切) )大大數(shù)數(shù)定定律律區(qū)區(qū)別別 不不要要求求方方差差存存在在, ,但但要要求求分分布布相相同同. .nX XX11(2) , :

12、 11()nniiiPiXE XnnX P P形形式式二二3、辛欽大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律(3) (1,), ()(),iiiXbpE XpD X 伯伯努努利利大大數(shù)數(shù)定定律律為為辛辛欽欽定定律律特特例例( ( 辛辛欽欽定定律律為為切切比比雪雪夫夫大大數(shù)數(shù)定定律律特特例例( (相相同同 分分布布不不一一定定相相同同).).11 (1,2,.)(0,1), ():,. 例例3 3 獨(dú)獨(dú)立立同同分分布布, ,且且令令 證證明明并并求求nkknPnknkXkXUYXYCC:, ln.kkXX證證明明獨(dú)獨(dú)立立同同分分布布故故也也獨(dú)獨(dú)立立同同分分布布lnlnknnXZY 滿滿足足辛辛欽欽大大數(shù)數(shù)定定律律,

13、 , 令令 ( )xf xe 又又函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)1 nZPnYee 故故10(0,1), (ln)ln1kkXUEXxdx 11lnln1nniiPnXYnZ 則則1 Ce 故故本節(jié)重點(diǎn)總結(jié)本節(jié)重點(diǎn)總結(jié)三個(gè)大數(shù)定律的核心三個(gè)大數(shù)定律的核心本章重點(diǎn)：本章重點(diǎn)：1、數(shù)學(xué)期望的定義、性質(zhì)、計(jì)算；、數(shù)學(xué)期望的定義、性質(zhì)、計(jì)算；2、方差的定義、性質(zhì)、計(jì)算；、方差的定義、性質(zhì)、計(jì)算；3、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的定義、性質(zhì)及計(jì)、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的定義、性質(zhì)及計(jì)算。算。4、三個(gè)大數(shù)定律的核心。、三個(gè)大數(shù)定律的核心。 備選備選1 已知已知P(A)= 0.75。求。求n需要多大時(shí)，才能使在需要多大時(shí)，才能使在n次獨(dú)立

14、重復(fù)試驗(yàn)中，事件次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的頻率在出現(xiàn)的頻率在0.740.76之間的之間的概率至少為概率至少為0.90?解：設(shè)解：設(shè)X為為n 次試驗(yàn)中事件次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，出現(xiàn)的次數(shù)，那么那么 E(X)=0.75n, (0.740.76)0.90 XPn即即求求滿滿足足 的的最最小小n n. .那么那么 XB(n, 0.75)D(X)=0.75*0.25n=0.1875n(0.740.76)(0.740.76 )PnnXnXP2()1(0.01 )D Xn 200001nnn依題意，取依題意，取9 . 018751n1875: 187510n0.9解解得得即即n=18750時(shí)，可使時(shí)，可使n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中, 事件事件A出現(xiàn)的頻出現(xiàn)的頻率在率在0.740.76間的概率至少為間的概率至少為0.90 .( 0.010.0()0.010 5)().71PnXnXE XnnP闡明：闡明：補(bǔ)充：馬爾可夫大數(shù)定律補(bǔ)充：馬爾可夫大數(shù)定律12211(2) ,.,(),().11 ()(niinniiiiXXXE