3.3二元函數(shù)的分布ppt課件

1、第三節(jié)第三節(jié)二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了二維隨機(jī)變量，來(lái)進(jìn)一步討論: 當(dāng)二維隨機(jī)變量當(dāng)二維隨機(jī)變量X, Y的聯(lián)合分布已知的聯(lián)合分布已知時(shí)，如何求出它們的函數(shù)時(shí)，如何求出它們的函數(shù) Z=g(X, Y)的聯(lián)合分布的聯(lián)合分布?(X,Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj) pp11p12pijZ=g(X,Y)g(x1,y1) g(x1,y2) g(xi,yj)一、離散型分布的情形一、離散型分布的情形設(shè)二維離散型隨機(jī)變量設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X，Y)， (X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ，i, j1, 2, 那

2、么那么 Zg(X, Y)P(Zzk) pk , k1, 2, kjizyxgjiijp),(:,或或例例1 設(shè)設(shè)X,Y)的概率分布為：的概率分布為： Y X -1 0 2 0 0.1 0.2 0 1 0.3 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1求求XYYX,的概率分布。的概率分布。(X,Y) (0,-1) (0,0) (0,2) (1,-1) (1,0) (1,2) (2,-1) (2,0) (2,2)p0.10.2 00.3 0.05 0.1 0.15 0 0.1X+Y -102013124XY000-102-204=X+Y -101234 p0.10.50.200.10.1=XY -

3、1-2024 p 0.150.30.35 0.10.1因此，因此，X+Y與與XY的分布列分別為的分布列分別為例例2 若若X、Y獨(dú)立，獨(dú)立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求Z=X+Y的概率函的概率函數(shù)數(shù).解解: )()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由獨(dú)立性由獨(dú)立性此即離散此即離散卷積公式卷積公式r=0,1,2, 同書(shū)中同書(shū)中P95例例3.3.2解：依題意解：依題意 riirYiXPrZP0),()( 例例3 若若X和和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為它們分別服

4、從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布, 證明證明Z=X+Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為21,21的泊松分布的泊松分布.由卷積公式由卷積公式i=0,1,2,j=0,1,2,!)(ieiXPi11 !)(jejYPj22 riirYiXPrZP0),()(由卷積公式由卷積公式ri 0i - r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i - r2i1)(i)!-(ri!r!21,)(!21)(21rre即即Z服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布(可加性可加性).21r =0,1，同書(shū)中同書(shū)中P96例例3.3.3.例例4 設(shè)設(shè)X和和Y相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，XB(n1,p),YB(n2,p),求求Z=X+Y

5、的分布的分布. 回憶第二章對(duì)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量回憶第二章對(duì)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量所作的直觀解釋所作的直觀解釋: 我們給出不需要計(jì)算的另一種證法我們給出不需要計(jì)算的另一種證法:同樣，同樣，Y是在是在n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)出現(xiàn)的次數(shù)的次數(shù),每次試驗(yàn)中每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為出現(xiàn)的概率為p. 若若X B(n1,p),則則X 是在是在n1次獨(dú)立重復(fù)試次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù),每次試驗(yàn)中每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的出現(xiàn)的概率都為概率都為p. 故故Z=X+Y 是在是在n1+n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)，每次試

6、驗(yàn)中A出現(xiàn)出現(xiàn)的概率為的概率為p，于是，于是Z是以是以n1+n2，p為為參數(shù)的二項(xiàng)隨機(jī)變量，即參數(shù)的二項(xiàng)隨機(jī)變量，即Z B(n1+n2, p).二、連續(xù)型分布的情形二、連續(xù)型分布的情形 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合的聯(lián)合概率密度為概率密度為f(x,y),z=g(X,Y)為連續(xù)函數(shù)，為連續(xù)函數(shù)，則則z=g(X,Y)為一維為一維r.v.,它的分布函數(shù)為它的分布函數(shù)為),()()(zYXgPzZPzFZdxdyyxfzyxg),(),()( )(zFzfZZ-分布函數(shù)法分布函數(shù)法例例5 設(shè)設(shè)X和和Y的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為 f (x,y),求求Z=X+Y的密度的密度. 解

7、解: Z=X+Y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)Ddxdyyxf),(這里積分區(qū)域這里積分區(qū)域D=(x, y): x+y z是直線(xiàn)是直線(xiàn)x+y =z 左下方的半平面左下方的半平面. 化成累次積分化成累次積分,得得zyxZdxdyyxfzF),()( yzZdydxyxfzF),()( 固定固定z和和y,對(duì)方括號(hào)內(nèi)的積分作變量代換對(duì)方括號(hào)內(nèi)的積分作變量代換, 令令u=x+y,得得 zZdyduyyufzF),()( zdudyyyuf),(變量代換變量代換交換積分次序交換積分次序由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系, 即得即得Z=X+Y的概率密

8、度為的概率密度為: 由由X和和Y的對(duì)稱(chēng)性的對(duì)稱(chēng)性, fZ (z)又可寫(xiě)成又可寫(xiě)成 dyyyzfzFzfZZ),()()(以上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和以上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式的概率密度的一般公式.dxxzxfzFzfZZ),()()( zZdudyyyufzF),()( 特別，當(dāng)特別，當(dāng)X和和Y獨(dú)立，設(shè)獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于關(guān)于X,Y的邊的邊緣密度分別為緣密度分別為fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為則上述兩式化為: dyyfyzfzfYXZ)()()(這兩個(gè)公式稱(chēng)為卷積公式這兩個(gè)公式稱(chēng)為卷積公式 .dxxzfxfzfYXZ)()()(下面我們用卷積公式來(lái)求下面我們

9、用卷積公式來(lái)求Z=X+Y的概率密度的概率密度,),()(dyyyzfzfZdxxzxfzfZ),()(為確定積分限為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域的區(qū)域 例例6 若若X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 .其它, 010, 1)(xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解解: 由卷積公式由卷積公式1010 xzx也即也即zxzx110為確定積分限為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域的區(qū)域 其它, 021,210,)(110zzZzzdxzzdxzf如圖示如圖示:1010 xzx也即也

10、即zxzx110于是于是dxxzfxfzfYXZ)()()(同課后習(xí)題三同課后習(xí)題三15用類(lèi)似的方法可以證明用類(lèi)似的方法可以證明: ),(222121NYXZ 若若X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立,),(),(222211NYNX 結(jié)論又如何呢結(jié)論又如何呢? 此結(jié)論可以推廣到此結(jié)論可以推廣到n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的情形和的情形,請(qǐng)自行寫(xiě)出結(jié)論請(qǐng)自行寫(xiě)出結(jié)論. 例例7(書(shū)中例書(shū)中例3.3.5) 若若X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立,具有相同的具有相同的分布分布N(0,1),則則Z=X+Y服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N(0,2). 有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線(xiàn)性組合仍然有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線(xiàn)性組合仍然服從正態(tài)分布服從正態(tài)

11、分布.更一般地更一般地, 可以證明可以證明:一般地，設(shè)隨機(jī)變量X1, X2，., Xn獨(dú)立且Xi服從正態(tài)分布N(i ,i2),i=1,.,n, 那么),(21211iniiniiiniiiaaNXa dxbxzfaxfbazfbYaXZYXZ)()(1)( , 1 . 4 . 2的概率密度為可得由卷積公式和定理dxzxfxfzfYXZYXZ)()()(的概率密度為因此，的的概概率率密密度度。求求，相相互互獨(dú)獨(dú)立立，且且都都服服從從和和已已知知22)1 , 0(YXZNYX 例例8 從前面例子可以看出，從前面例子可以看出， 在求隨機(jī)向量在求隨機(jī)向量(X,Y)的函數(shù)的函數(shù)Z=g(X,Y)的分布時(shí)，

12、關(guān)鍵是設(shè)法的分布時(shí)，關(guān)鍵是設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為將其轉(zhuǎn)化為(X,Y)在一定范圍內(nèi)取值的形式，在一定范圍內(nèi)取值的形式，從而利用已知的分布求出從而利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布的分布.三、三、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 設(shè)設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為們的分布函數(shù)分別為FX(x)和和FY(y),我們來(lái)我們來(lái)求求M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布函數(shù)的分布函數(shù).又由于又由于X和和Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,于是得到于是得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: 即有即有 FM(z)= FX(z)FY

13、(z) FM(z)=P(Mz)=P(Xz)P(Yz)=P(Xz,Yz) 由于由于M=max(X,Y)不大于不大于z等價(jià)于等價(jià)于X和和Y都不大于都不大于z，故有，故有 分析：分析：P(Mz)=P(Xz,Yz) 類(lèi)似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)是可進(jìn)行推廣?？蛇M(jìn)行推廣。 即有即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz) =1-P(Nz)=1- P(Xz)P(Yz) 需要指出的是，當(dāng)需要指出的是，當(dāng)X1,Xn相互獨(dú)立相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)時(shí), 常稱(chēng)常稱(chēng)M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)為極

14、值為極值 . 由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要的意義和實(shí)用價(jià)值的意義和實(shí)用價(jià)值. 下面我們?cè)倥e一例，說(shuō)明當(dāng)下面我們?cè)倥e一例，說(shuō)明當(dāng)X1,X2為離為離散型散型r.v時(shí)，如何求時(shí)，如何求Y=max(X1,X2)的分布的分布.解一解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n)nkknpqpq1111111nkknpqpqqqqpnn1112qqqpnn11112)2(11nnnqqpq記記1-p=q例例9 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X1,X2相互獨(dú)立相互獨(dú)立,并且有相同的并且有相同的幾何分布幾何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求求Y=max(X1,X2)的概率分布的概率分布 .n=1,2,解二解二: P(Y=n)=P(Yn)-P(Yn-1)211nkkpq=P(max(X1,X2) n )-P(max(X1,X2) n-1)=P(X1 n, X2n)-P( X1 n-1, X2 n-1)2111nkkpq2211qqpn2)1 (nq21211qqpn21)1 (nq)2(11nnnqqpqn=1,2,若求若求Y=min(X1,X2)的分布呢？的分布