線段垂直平分線的性質

1、線段的垂直平分線線段的垂直平分線關店中學 繆培威海市政府為了方便居民的生活，計劃在威海市政府為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區(qū)三個住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個購物之間修建一個購物中心，試問，該購物中心應建于何處，才中心，試問，該購物中心應建于何處，才能 使 得 它 到 三 個 小 區(qū) 的 距 離 相 等 。能 使 得 它 到 三 個 小 區(qū) 的 距 離 相 等 。ABC實際問題實際問題1煙煙 威威 高高 速速 公公 路路實際問題實際問題2 在煙威高速公路在煙威高速公路L的同側，有兩個化的同側，有兩個化工廠工廠A、B，為了便于兩廠的工人看病，為了便于兩廠的工人看病市政府計劃在公路邊上修建一

2、所醫(yī)院，市政府計劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，使得兩個工廠的工人都沒意見，問醫(yī)使得兩個工廠的工人都沒意見，問醫(yī)院的院址應選在何處？院的院址應選在何處？AB教學目標：教學目標：1. 理解和掌握線段的垂直平分線的定理及其理解和掌握線段的垂直平分線的定理及其逆定理，并能利用它們來進行證明或計算。逆定理，并能利用它們來進行證明或計算。2. 知道線段垂直平分線是到線段兩端距離相知道線段垂直平分線是到線段兩端距離相等的點的集合。等的點的集合。3. 了解數(shù)學和生活的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)用數(shù)學了解數(shù)學和生活的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)用數(shù)學的能力。的能力。 教學重點、難點：教學重點、難點： 1.線段垂直平分線定理及其逆定理的推導。

3、線段垂直平分線定理及其逆定理的推導。 2.定理及逆定理的區(qū)別和聯(lián)系。定理及逆定理的區(qū)別和聯(lián)系。AB線段的垂直平分線線段的垂直平分線PA=PBP1P1A=P1B命題命題：線段垂直平分線上的線段垂直平分線上的點點到這條線段兩個到這條線段兩個端點端點的距的距離相等。離相等。PMNC動手操作動手操作：作線段AB的中垂線MN，垂足為C；在MN上任取一點P，連結PA、PB；量一量：量一量：PA、PB的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？由此你能得出什么規(guī)律由此你能得出什么規(guī)律命題：線段垂直平分線上的命題：線段垂直平分線上的點點到這條線段兩個到這條線段兩個端點端點的距離相等。的距離相等。線段的垂直平分線線

4、段的垂直平分線ABPMNCPA=PB 直線直線MNAB,垂足為垂足為C, 且且AC=CB. 已知：如圖，已知：如圖，點點P在在MN上上.求證：求證：證明：證明：MNAB PCA= PCB=90度度 在在 PAC和和 PBC中，中， AC=BC PCA= PCB PC=PC PAC PBC PA=PB 線段的垂直平分線線段的垂直平分線ABPC性質定理：性質定理：線段垂直平分線上的到這條線段兩個端點線段垂直平分線上的到這條線段兩個端點 的距離相等。的距離相等。PA=PB點點P在線段在線段AB的垂直的垂直平分線上平分線上?到線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的到線段兩個端點距離相等的點，在這條線段

5、的垂直平分線上。垂直平分線上。逆命題逆命題:幾何語言敘述幾何語言敘述:PA=PB點點P在線段在線段AB的垂直平分線上的垂直平分線上性質定理：性質定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的 距離相等。距離相等。線段的垂直平分線線段的垂直平分線ABPMNCPA=PB點點P在線段在線段AB的垂直的垂直平分線上平分線上線段垂直平分線上的線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點到這條線段兩個端點的距離相等點的距離相等幾何語言敘述幾何語言敘述: :點點P在線段在線段AB的垂直平分線上的垂直平分線上 PA=PB二、逆定理：二、逆定理：到到線段兩個端點距離相等的點，在

6、這條線段兩個端點距離相等的點，在這條 線段的垂直平分線上。線段的垂直平分線上。 線段的垂直平分線線段的垂直平分線一、性質定理：一、性質定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端 點的距離相等。點的距離相等。PA=PB點點P在線段在線段AB的垂直的垂直平分線上平分線上到線段兩個端點距離相等的點，到線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上在這條線段的垂直平分線上線段垂直平分線上的點到這線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等條線段兩個端點的距離相等三、三、 線段的垂直平分線的集合定義：線段的垂直平分線的集合定義： 線段的垂直平分線可以看作是到線

7、線段的垂直平分線可以看作是到線段兩上端點距離相等的所有點的集合段兩上端點距離相等的所有點的集合任何圖形都是有點組成的。因任何圖形都是有點組成的。因此我們可以把圖形看成點的集此我們可以把圖形看成點的集合。由上述定理和逆定理，線合。由上述定理和逆定理，線段的垂直平分線可以看作符合段的垂直平分線可以看作符合什么條件的點組成的圖形？什么條件的點組成的圖形？1、如圖直線、如圖直線MN垂直平垂直平分線段分線段AB，則，則AE=AF。2、如圖線段、如圖線段MN被直線被直線AB垂直平分，則垂直平分，則ME=NE。3、如圖、如圖PA=PB，則，則直線直線MN是線段是線段AB的的垂直平分線。垂直平分線。 線段的垂

8、直平分線線段的垂直平分線例例1 已知已知:如圖如圖,在在ABC中中,邊邊AB，BC的垂直平分線交于的垂直平分線交于P.求證：點求證：點P在在AC的垂直平分線上的垂直平分線上;BACMNMNPPA=PB=PCPB=PC點點P在線段在線段BC的的垂直平分線上垂直平分線上PA=PB點點P在線段在線段AB的的垂直平分線上垂直平分線上分析：分析：PA=PC 點點P在在AC的垂直平分線上的垂直平分線上例例1 已知已知:如圖如圖,在在ABC中中,邊邊AB，BC的垂直平分的垂直平分 線交于線交于P.求證：求證：點點P在在AC的垂直平分線上的垂直平分線上;證明：證明：點點P在線段在線段AB的垂直平分線的垂直平分

9、線MN上，上，PA=PB(？)同理同理 PB=PC.PA=PC. 點點P在在AC的垂直平分線上的垂直平分線上;AB,BC,AC的垂直平分線相交于點的垂直平分線相交于點P.BACMNMNP(線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等）.(到線段兩個端點距離相等的點到線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上在這條線段的垂直平分線上)已知：在已知：在ABCABC中，中，ONON是是ABAB的垂直平分線的垂直平分線 OA=OCOA=OC。求證：點求證：點O O在在BCBC的垂直平分線上。的垂直平分線上。例例題題擴擴展展ABCON證明：證明

10、：連結連結OB。 ON是是AB的垂直平分線的垂直平分線（已知）（已知） OA=OB（線段的垂直平分線上的（線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等點到這條線段的兩個端點的距離相等） OA=OC（已知）（已知） OB=OC（等量代換）（等量代換） 點點O在在BC的垂直平分線上。的垂直平分線上。 （到線段的兩個端點距離相等的點，（到線段的兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。）在這條線段的垂直平分線上。）威海市政府為了方便居民的生活，計劃在威海市政府為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區(qū)三個住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個購物之間修建一個購物中心，試問，該購物中心應建于何處，才

11、中心，試問，該購物中心應建于何處，才能 使 得 它 到 三 個 小 區(qū) 的 距 離 相 等 。能 使 得 它 到 三 個 小 區(qū) 的 距 離 相 等 。ABC實際問題實際問題1BAC 線段的垂直平分線線段的垂直平分線1、求作一點、求作一點P，使，使它和已它和已ABC的三的三個頂點距離相等個頂點距離相等.實際問題實際問題數(shù)學化數(shù)學化pPA=PB=PC實際問題實際問題1煙煙 威威 高高 速速 公公 路路實際問題實際問題2 在煙威高速公路在煙威高速公路L的同側，有兩個化的同側，有兩個化工廠工廠A、B，為了便于兩廠的工人看病，為了便于兩廠的工人看病市政府計劃在公路邊上修建一所醫(yī)院，市政府計劃在公路邊上

12、修建一所醫(yī)院，使得兩個工廠的工人都沒意見，問醫(yī)使得兩個工廠的工人都沒意見，問醫(yī)院的院址應選在何處？院的院址應選在何處？AB 線段的垂直平分線線段的垂直平分線2、如圖，在直線、如圖，在直線L上求上求作一點作一點P，使，使PA=PB.LAB實際問題實際問題數(shù)學化數(shù)學化實際問題實際問題2pPA=PB數(shù)學問題源于生活實踐，反過來數(shù)學又為生活實踐服務數(shù)學問題源于生活實踐，反過來數(shù)學又為生活實踐服務已知已知:如圖如圖,在等腰三角形在等腰三角形ABC中中,腰腰AB 的垂直平的垂直平 線線MN交交AC于點于點 D,BC=8厘米厘米, BDCBDC的周長的周長2020厘米厘米. .求求:AB:AB的長的長. .

13、ABCDMN已知已知:如圖如圖,D是是BC延長線上的一點延長線上的一點,BD=BC+AC.求證求證:點點C在在AD的垂直平分線上的垂直平分線上.ABCD8二、逆定理：二、逆定理：到線段兩個端點距離相等的點，在這條到線段兩個端點距離相等的點，在這條 線段的垂直平分線上。線段的垂直平分線上。 線段的垂直平分線線段的垂直平分線一、性質定理：一、性質定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端 點的距離相等。點的距離相等。PA=PB點點P在線段在線段AB的垂直的垂直平分線上平分線上到線段兩個端點距離相等的點，到線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上在這條線段的垂直平分線上線段垂直平分線上的點到這線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點