自動控制原理線性系統(tǒng)的時域分析法二階系統(tǒng)

1、控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、時域的數(shù)學(xué)模型一、時域的數(shù)學(xué)模型-微分方程微分方程 二、復(fù)域數(shù)學(xué)模型二、復(fù)域數(shù)學(xué)模型-傳遞函數(shù)描述傳遞函數(shù)描述三、結(jié)構(gòu)圖三、結(jié)構(gòu)圖四、信號流圖四、信號流圖 五、自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)五、自動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法時域分析法：根據(jù)系統(tǒng)的微分方程（或傳遞函數(shù)），用拉普拉斯變換直接解出動態(tài)方程，并依據(jù)過程曲線及表達(dá)式分析系統(tǒng)的性能。 特點(diǎn)：直觀、準(zhǔn)確一：典型輸入信號 1：單位階躍函數(shù) 0001)( 1tttstL1)(1 2：單位斜坡函數(shù) 000)(ttttr21)(strL3-1 系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo) 3：單位加速度函數(shù) 00021

2、)(2ttttr31)(strL4：單位脈沖函數(shù) 1)(000)(dttttt1)(tL5：正弦函數(shù) 000sin)( rtttAt22)(strL典型時間響應(yīng)由動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成：動態(tài)過程：動態(tài)過程又稱過渡過程或瞬態(tài)過程，是指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出由初始狀態(tài)到達(dá)最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。穩(wěn)態(tài)過程：指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當(dāng)時間t趨于無窮大時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)形式。控制系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的性能指標(biāo)，通常由動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能兩部分組成。二、動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程超調(diào)量超調(diào)量% =AB100%時間時間td 延遲延遲h(t)t時間時間tr上升上升峰值時間峰值時間tpBAh(t)

3、t1、動態(tài)性能輸入為單位階躍函數(shù)調(diào)節(jié)時間調(diào)節(jié)時間ts三、動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能 上升時間 它有幾種定義： (1) 響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%到90%所需時間； (2) 響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的5%到95%所需時間； (3) 響應(yīng)曲線從零開始至第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需的時間。 一般對有振蕩的系統(tǒng)常用“(3)”，對無振蕩的系統(tǒng)常用“(1)”。峰值時間 響應(yīng)曲線到達(dá)第一個峰值所需的時間。調(diào)整時間 響應(yīng)達(dá)到并保持在終值的5%（或 2%）誤差帶時所需要的最短時間。延滯時間 響應(yīng)曲線到達(dá)穩(wěn)態(tài)值50%所需的時間。rtstptdt最大超調(diào)量 響應(yīng)曲線偏離穩(wěn)態(tài)值的最大值： %)()()(100hhthppp rt或pt評價(jià)系統(tǒng)

4、的響應(yīng)速度；評價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度；st同時反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)。同時反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)。%評價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度。評價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度。2、穩(wěn)態(tài)性能：穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標(biāo)，通常在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)和加速度函數(shù)作用下進(jìn)行測定或計(jì)算。若時間趨于無窮大時，系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量或輸入量的確定函數(shù)，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。 平穩(wěn)性（穩(wěn)定性）指標(biāo)平穩(wěn)性（穩(wěn)定性）指標(biāo)l 超調(diào)量超調(diào)量%：輸出響應(yīng)超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏移量占穩(wěn)態(tài)值的：輸出響應(yīng)超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏移量占穩(wěn)態(tài)值的百分比。即：百分比。即：()()%100%()pc t

5、cc 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)l 穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差ess：衡量輸出響應(yīng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后所表現(xiàn)出來的性能，：衡量輸出響應(yīng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后所表現(xiàn)出來的性能，即表示系統(tǒng)的控制精度。即表示系統(tǒng)的控制精度。 定義式：定義式：lim ( )sstee t l 上升時間上升時間 tr： 輸出響應(yīng)從零開始第一次上升到穩(wěn)態(tài)值時輸出響應(yīng)從零開始第一次上升到穩(wěn)態(tài)值時 所需所需的時間。即的時間。即:c(tr)=c()=1第一次第一次 。l 峰值時間峰值時間tp：輸出響應(yīng)從零開始上升到第一個極值：輸出響應(yīng)從零開始上升到第一個極值(最大值最大值)處處時時 所需的時間。即所需的時間。即:dc(tp)/dt=0第一次第一次 。l調(diào)節(jié)時間

6、調(diào)節(jié)時間ts：輸出響應(yīng)達(dá)到并保持在一個：輸出響應(yīng)達(dá)到并保持在一個允許誤差帶允許誤差帶內(nèi)時所內(nèi)時所需的最短時間。需的最短時間。動態(tài)性能指標(biāo)的定義動態(tài)性能指標(biāo)的定義工程工程 規(guī)定：規(guī)定：或或 快速性指標(biāo)快速性指標(biāo) 用一階微分方程描述的控制系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。i(t)+r(t)c(t)+（a） 電路圖RC( )ccduRCur tdt( )( )( )ccdu tTu tr tdtR(s)C(s)（c）等效方塊圖R(s)C(s)0KsT=RC為一階慣性時間常數(shù)。為一階慣性時間常數(shù)。 3-2 一階系統(tǒng)的時域分析 11)()()(TsSRsCs1、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型( )1tTc te 0t圖3-4指數(shù)響

7、應(yīng)曲線1063.2%86.5%95%98.2%99.3%T2T3T4T5T0.632tc(t)=1-ec(t)2、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)sTsSRssC111)()()(根據(jù)動態(tài)性能指標(biāo)的定義，一階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)為： %)5(320. 269. 0TtTtTtsrd對于一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，說明一階系統(tǒng)跟蹤階躍輸入信號時，無穩(wěn)態(tài)誤差。另外有 0)()(lim)(limtctrteettssTdttdht1)(03、單位脈沖響應(yīng) 當(dāng)輸入信號為單位脈沖信號時， 1)()()(sRttrTsTTssRssC/1/111)()()(TteTsCLtk/11)()(可以畫出一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如

8、圖所示。 T2T3Tk(t)01/T4T0.368/T0.135/T0.05/T0.018/T4、單位斜坡響應(yīng) 當(dāng)輸入信號為單位斜坡信號時， 21)()( 1)(ssRtttr) 1(1)()()(2TsssRssCTtTeTtsCLtc/1)()(可以畫出一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)如圖所示。對于一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)， Ttctrteettss)()(lim)(lim說明一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡輸入信號時，穩(wěn)態(tài)誤差為T。 t-Ttk(t)0T5、單位加速度響應(yīng) 當(dāng)輸入信號為單位加速度信號時， 321)()( 121)(ssRtttr) 1(1)()()(3TsssRssC)1 (21)()(/221

9、TteTTttsCLtcssTteeTTttctrte)1 ()()()(/2說明一階系統(tǒng)無法跟蹤加速度輸入信號。 四種響應(yīng)的關(guān)系四種響應(yīng)的關(guān)系 某輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)等于該輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)。即：一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)等于其單位斜坡響應(yīng)，一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)等于其單位階躍響應(yīng)，一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)等于其單位脈沖響應(yīng)，這一規(guī)律適用于一般的線性定常系統(tǒng)。 3.2.3 一階系統(tǒng)的典型響應(yīng) r(t) R(s) C(s)= (s) R(s) c(t) 一階系統(tǒng)典型響應(yīng) (t) 1 1(t) t例例一階系統(tǒng)如圖所示，試求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時間ts，如果要求ts=0.1秒，試問系

10、統(tǒng)的反饋系數(shù)應(yīng)如何調(diào)整？ s1000.1-C(s)R(s)解解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 11 . 010/1001 . 01/100)(ssss這是一個典型一階系統(tǒng)，調(diào)節(jié)時間ts=3T=0.3秒。 若要求調(diào)節(jié)時間ts=0.1秒，可設(shè)反饋系數(shù)為，則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 11001/1/1001/100)(ssss3 . 01 . 010033Tts一、典型二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 下圖所示為穩(wěn)定的二階系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖。開環(huán)傳遞函數(shù)為:sssGnn2)(22閉環(huán)傳遞函數(shù)為:2222)(1)()(nnnsssGsGs)2(2nnss)(sR)(sC- 這是最常見的一種系統(tǒng)，很多高階系統(tǒng)也可簡化為二階系統(tǒng)。

11、 稱為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 稱為阻尼系數(shù) 稱為無阻尼振蕩頻率或自然頻率。)(sn3-3 3-3 二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的時域分析122, 1nns特征根為： ，注意：當(dāng) 不同時，（極點(diǎn)）有不同的形式，其階躍響應(yīng)的形式也不同。它的階躍響應(yīng)有振蕩和非振蕩兩種情況。特征方程為：0222nnss 當(dāng)時 ，特征方程有一對共軛的虛根，稱為零(無)阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為持續(xù)的等幅振蕩。0 當(dāng)時 ，特征方程有一對實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根，稱為欠阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為衰減的振蕩過程。10 當(dāng) 時，特征方程有一對相等的實(shí)根，稱為臨界阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過程。1 當(dāng) 時，特征方程有一對不等的實(shí)根

12、，稱為過阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過程。1 1 22, 1nnjss1s221nn位于平面的左半部（2） （欠阻尼）有一對共軛復(fù)根10 s2s1nj1,2s 0 （1） （無阻尼） 一對純虛根 s 1 1,2ns1s2（3） （臨界阻尼）， 兩相等實(shí)根s2s1s1s21s 1 21,2nn 1s 01- 21,2nnj（4） （過阻尼） 兩不等實(shí)根 （5） 位于右半平面當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時， ，有： ssR1)(,1)()(sssC1)()(1ssLtc222221)()(nnnssssssC0,cos1)(tttcn分析：當(dāng) 時，0極點(diǎn)為：njs 此時輸出將以頻率 做等幅振蕩，所以，

13、 稱為無阻尼振蕩圓頻率。nn二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)22222222222122121)(nnnnnnnnnnnnssssssssssssssC階躍響應(yīng)為：0,)1sin(1)1cos(1)(222tttetcnntn當(dāng) 時，1022, 11nnjs極點(diǎn)為：0, )11sin(11)(2122ttgtetcntn極點(diǎn)的負(fù)實(shí)部 決定了指數(shù)衰減的快慢，所以 衰減系數(shù)虛部 是振蕩頻率，稱 為阻尼振蕩頻率。 21nddnn)(th0t1tne2111tne2111)(th0t10大小0, )1sin(11)(21d2ttgtetct)1 (1)(tetcntn2222)(1121)(nnnnnnss

14、sssssC階躍響應(yīng)函數(shù)為：當(dāng) 時，1ns2, 1極點(diǎn)為：)(th0t1當(dāng) 時，1122, 1nns極點(diǎn)為：即特征方程為)1()1(22222nnnnssss)1()1()()(222nnnsssRsCssssCnnn1)1()1()(222)1()1(1211)(2)1(2)1(222ttnneetc)1)(1(22122TsTsssnn特征方程還可為因此過阻尼二階系統(tǒng)可以看作兩個時間常數(shù)不同的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，其單位階躍響應(yīng)為) 1)(1(1)1)(1(1)()(212121sTsTTsTsTTsRsC于是閉環(huán)傳函為：這里 ，21TT 2121TTn)1(1)1(111) 1)(1(1)(2

15、212112121TsTTTTsTTTsssTsTsC212121211)(TtTteTTTeTTTtc)1(121nT)1(122nT式中 上述四種情況分別稱為二階無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng)。其阻尼系數(shù)、特征根、極點(diǎn)分布和單位階躍響應(yīng)如下表所示：單位階躍響應(yīng)極點(diǎn)位置特征根阻尼系數(shù)單調(diào)上升兩個互異負(fù)實(shí)根單調(diào)上升一對負(fù)實(shí)重根 衰減振蕩一對共軛復(fù)根(左半平面） 等幅周期振蕩一對共軛虛根 無阻尼, 0njs2, 1欠阻尼, 1o22, 11nnjs臨界阻尼，1)(2, 1重根ns過阻尼，1122, 1nns可以看出：隨著 的增加，c(t)將從無衰減的周期運(yùn)動變?yōu)橛兴p的正弦運(yùn)動，當(dāng) 時c(

16、t)呈現(xiàn)單調(diào)上升運(yùn)動(無振蕩)?？梢?反映實(shí)際系統(tǒng)的阻尼情況，故稱為阻尼系數(shù)。102468101200.20.40.60.811.21.41.61.82ntC(t)三、典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)及其與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系21tgrdt（一）衰減振蕩瞬態(tài)過程 ：) 10(0, )sin1(cos1)(2tttetcddtn 上升時間 ：根據(jù)定義，當(dāng) 時， 。rtt rt1)(rtc1)sin1(cos1)(2rdrdtttetcrn0sin1cos2rdrdtt 解得：)1(121tgtdrn21nj21njn 稱為阻尼角，這是由于 。cos2211)(nntgdrt)1(121tgtdr)1(21tgn

17、dn123n1n2n300n3n2n1 321 j1sj2arccosarcsin 1 等阻尼線（等等阻尼線（等線）線） 等自然振蕩角頻率線等自然振蕩角頻率線 2dn101) (阻尼振蕩角頻率 121221arctanarccosarcsin 1二階系統(tǒng)的阻尼角 峰值時間 ：當(dāng) 時，ptptt 0)(ptc 0)cos(1)sin(1)(22pddtpdtntetetcpnpntgttgndpd21)(整理得：,.)2 , 1 , 0( ,nntpd由于 出現(xiàn)在第一次峰值時間，取n=1，有：dnpt21pt0, )sin(11)(2ttetcdtn211tg其中0)cos()sin(pddpd

18、ntt 最大超調(diào)量 ：%100) 1)(%100)()()(%pptccctc故：%100%21emax)()(ctctcp得將峰值時間 代入21npt)sin1(cos1)(d2maxppdtpttetccpn221211)sin1(cos1ee00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.910102030405060708090100 調(diào)節(jié)時間 ：st可見，寫出調(diào)節(jié)時間的表達(dá)式是困難的。由右圖可知響應(yīng)曲線總在一對包絡(luò)線之內(nèi)。包絡(luò)線為1C(t)0tsts2111=5t211tne2111211tne 根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義，當(dāng)tts時 |c(t)-c()| c() %。

19、%)1tgsin(1212tedtn211tne3.53.50.805. 0%)1ln(2nsnstt，假定當(dāng)當(dāng)t=ts時，有：%12snte由于實(shí)際響應(yīng)曲線的收斂速度比包絡(luò)線的收斂速度要快因此可用包絡(luò)線代替實(shí)際響應(yīng)來估算調(diào)節(jié)時間。即認(rèn)為響應(yīng)曲線的包絡(luò)線進(jìn)入誤差帶時，調(diào)整過程結(jié)束。1C(t)0tsts2111=5t211tne2111211tne二階系統(tǒng)單位階二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)定性分析躍響應(yīng)定性分析(s)=s2+2ns+n2n2S1,2=-n2 - 1nS1,2= -nj1-2nS1,2= -n-n=S1,2=jn01101j0j0j0j0j0j0j0j0T11T21h(t)= 1T2tT1

20、T21e+T1tT2T11e+h(t)= 1-(1+nt) e- tnh(t)= 11-21e- tnsin(dt+)h(t)= 1-cosnt1:1:01:0:欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能分析與計(jì)算欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)性能分析與計(jì)算j0-nd=n1-2(s)=s2+2ns+n2n2 S1,2=-nj1-2n h(t)= 11-21e-n sin(dt+ )n - d得得 tr=令令h(t)=1取其解中的最小值，取其解中的最小值，令令h(t)一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù)=0，取其，取其解中的最小值，解中的最小值，得得 tp= d%=h()h(tp) h()100% % =e-/1-2100%由包絡(luò)線求調(diào)節(jié)時間由包

21、絡(luò)線求調(diào)節(jié)時間 得得 ts 3.5ned h(t)= 11-21-ntsin(t+)欠阻尼二階系統(tǒng)的欠阻尼二階系統(tǒng)的ts取取sin項(xiàng)為項(xiàng)為1，則則h(t)=1e-nt取誤差帶為取誤差帶為=0.05,則有則有e-nt=0.05 由此解出由此解出ts=ln20/1-2n n3.5例例3-33-3： 設(shè)典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 )(th0t13.11.0解：解：根據(jù)題意 1 . 0%30%pt%30%100%21e361. 01 . 0dpt6 .361 .34nd13404 .2613402)(2222sssssnnn:. , )/(40.5, ,n解性能指標(biāo)

22、試求系統(tǒng)的動態(tài)信號時入信號為單位階躍當(dāng)輸秒弧度其中二階系統(tǒng)如圖所示 %3 .16%100%100 )(91. 0 t )(60. 0 t46. 35 . 0141 )(05. 16025 . 015 . 0212222p46. 31p46. 305. 11r22d5 . 05 . 011eearctgarctgnnn秒秒弧度)2(2nnss 0.05 )( 57 . 145 . 05 . 35 . 3 ts秒nq阻尼系數(shù) 是二階系統(tǒng)的一個重要參數(shù)，用它可以間接地判斷一個二階系統(tǒng)的瞬態(tài)品質(zhì)。在 的情況下瞬態(tài)特性為單調(diào)變化曲線，無超調(diào)和振蕩，但 長。當(dāng) 時，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定

23、工作。1st0總結(jié)q在欠阻尼 情況下工作時，若 過小，則超調(diào)量大，振蕩次數(shù)多，調(diào)節(jié)時間長，瞬態(tài)控制品質(zhì)差。) 10(注意到 只與 有關(guān)，所以一般根據(jù) 來選擇 。 %100%21e%q 越大， （當(dāng) 一定時）nnst ,5 . 3stq為了限制超調(diào)量，并使 較小， 一般取0.40.8，則超調(diào)量在25%1.5%之間。st阻尼系數(shù)、阻尼角與最大超調(diào)量的關(guān)系 =cos-1 % =cos-1 %0.184.2672.90.6951.5250.278.4652.70.745. 574.60.372.5437.230.707454.30.466.4225.380.7843.0420.56016.30.836

24、.871.50.653.139.840.925.840.15（二）非振蕩瞬態(tài)過程 ：1 閉環(huán)極點(diǎn)的一階系統(tǒng)二階系統(tǒng)可等效為具有時：，且時：112112r2175. 415 . 112 . 06 . 01TTtTTTtwtwtssnnd 例：例： 圖示系統(tǒng)，要求單位階躍響應(yīng)無超調(diào)，調(diào)節(jié)時間不大于1秒，求開環(huán)增益K。 ) 11 . 0(ssKR(s)E(s)C(s)-解：解： 根據(jù)題意，應(yīng)選擇=1，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： )2() 11 . 0()(2nnssssKsGnnTK211 . 025 . 25Kn例例 已知二階系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。當(dāng)輸入量為單位階躍函數(shù)時，若要求 ，峰值時間 ，試確定系統(tǒng)

25、參數(shù)K和，并計(jì)算上升時間和調(diào)節(jié)時間； 由條件所確定的K值不變，取0時，系統(tǒng)的超調(diào)量又是多少？自然振蕩角頻率是否改變？% 10%pt0.7(s) R(s)C(s)Ks(0.5s 1)1sKT(s)s(0.5s 1) K(1s) 22Ks2(1 K )s2K2n22nns2s pdt2n0.7s1 dpt4.49 rad/s0.7 n25.59 rad / s0.7 10.59 22n5.59K15.62221e0.1 222(ln 0.1)0.59(ln 0.1) n22(1K )n10.59 5.5910.15sK15.6 rdarccos 0.59t0.49s4.49 sn33ts.10 s

26、0.05)0.595.59 =1 ( 22KT (s)s2s2K2)n2K2 15.6 rad/s5.59 rad/s n20.180.592 21%e100%17.6%10% 結(jié)論：引入微分負(fù)反饋可增大系統(tǒng)的阻尼比，結(jié)論：引入微分負(fù)反饋可增大系統(tǒng)的阻尼比，降低超調(diào)量，但不改變自然振蕩角頻率。降低超調(diào)量，但不改變自然振蕩角頻率。四、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)：21)()(ss：Rttr 時222222222)12()s(2212*1)(Cnnnnnnnnwswswwswswswswss 欠阻尼：)2sin(112t)(n2nn tetcdt)2sin(112tn2nn tedt瞬態(tài)分量：穩(wěn)態(tài)分量：

27、nss2nn2)2sin(112)()()(n etetctrtedt則穩(wěn)態(tài)誤差又dpt 得誤差響應(yīng)的峰值時間求導(dǎo)對)2sin(12)(nn tetedtdpptsspmtpeeteeetennnn1)()211(2)( 誤差響應(yīng)的峰值離量為從而誤差響應(yīng)的最大偏ns35%8 .0 t誤差帶，和當(dāng)取近似表達(dá)式：則誤差響應(yīng)調(diào)節(jié)時間的t1t2t3t4)(te )(tc )(tc)(te五、改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施二階系統(tǒng)超調(diào)產(chǎn)生過程1. 0,t1誤差信號為正，產(chǎn)生正向修正作用，以使誤差減小，但因系統(tǒng)阻尼系數(shù)小，正向速度大，造成響應(yīng)出現(xiàn)正向超調(diào)。2. t1,t2誤差信號為負(fù)，產(chǎn)生反向修正作用，但開始

28、反向修正作用不夠大，經(jīng)過一段時間才使正向速度為零，此時輸出達(dá)到最大值。3. t2,t3誤差信號為負(fù)，此時反向修正作用，大，使輸出返回過程中又穿過穩(wěn)態(tài)值，出現(xiàn)反向超調(diào)。4. t3,t4誤差信號為正，產(chǎn)生正向修正作用，但開始正向修正作用不夠大，經(jīng)過一段時間才使反向速度為零，此時輸出達(dá)到反向最大值。t1t2t3t4)(te )(tc )(tc)(te二階系統(tǒng)超調(diào)產(chǎn)生原因1. 0,t1 正向修正作用太大，特別在靠近t1 點(diǎn)時。2. t1,t2 反向修正作用不足。減小二階系統(tǒng)超調(diào)的思路1. 0,t1 減小正向修正作用。附加與原誤差信號相反的信號。2. t1,t2 加大反向修正作用。附加與原誤差信號同向的

29、信號。 3. t2,t3減小反向修正作用。附加與原誤差信號相反的信號。4. t3,t4 加大正向修正作用。附加與原誤差信號同向的信號。 即在0,t2 內(nèi)附加一個負(fù)信號，在t2,t4內(nèi)附加一個正信號。減去輸出的微分或加上誤差的微分都具有這種效果。1：比例-微分控制 比例-微分控制時系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： )2(2nnssR(s)E(s)C(s)-sTd)2() 1()(2ndnsssTsG閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 222)21(2) 1()(nnnddnsTssTs系統(tǒng)的阻尼比為： nddT21可見，采用比例-微分控制，增加了系統(tǒng)的阻尼比，使系統(tǒng)超調(diào)量下降，調(diào)節(jié)時間縮短，且不影響常值

30、穩(wěn)態(tài)誤差及系統(tǒng)的自然頻率。 需要注意的是，采用比例-微分控制后，系統(tǒng)為有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)，不再是典型二階系統(tǒng)，性能指標(biāo)計(jì)算公式為： 設(shè)： )1/(2)/1()/1()/(11222222dnnddddddnddndzzrarctgarctgzarctgTz 1）峰值時間 21dndtp2）超調(diào)量 %1001%2 pndtwder3）調(diào)節(jié)時間 ndnddnndsrzztln3)1ln(21ln)2ln(213222 2：測速反饋控制 測速反饋控制時系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： )2(2nnssR(s)E(s)C(s)sKt- 12112)2(1)2()(222sKsKsssKsssG

31、ntnntnnntnn閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 222)21(2)(nnntnsKss系統(tǒng)的阻尼比為： nttK21可見，測速反饋控制不影響系統(tǒng)的自然頻率，增大了系統(tǒng)的阻尼比，減小了系統(tǒng)的超調(diào)量，另外，測速反饋控制降低了系統(tǒng)的開環(huán)增益，從而加大了系統(tǒng)在斜坡信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。采用測速反饋控制后，系統(tǒng)仍為典型二階系統(tǒng)，性能指標(biāo)的計(jì)算公式同前。 3：比例-微分控制與測速反饋控制的比較 對于理想的線性控制系統(tǒng)，在比例-微分控制和測速反饋方法中，可以任取一種來改善系統(tǒng)性能。然而，實(shí)際控制系統(tǒng)有許多必須考慮的因素，例如系統(tǒng)的具體組成、作用在系統(tǒng)上噪聲的大小及頻率、系統(tǒng)的線性范圍和飽和程度等。下面僅討論幾種主要

32、差別： 1）附加阻尼來源：微分控制的阻尼作用來源于系統(tǒng)輸入端誤差信號的速度，而測速反饋控制的阻尼作用來源于系統(tǒng)輸出端響應(yīng)的速度，因此對于給定的開環(huán)增益和指令輸入速度，后者對應(yīng)較大的穩(wěn)態(tài)誤差值。 3）對開環(huán)增益和自然頻率的影響：微分控制對系統(tǒng)的開環(huán)增益和自然頻率均無影響，測速反饋雖不影響自然頻率，但會降低開環(huán)增益。因此，對于確定的常值穩(wěn)態(tài)誤差，測速反饋控制要求有較大的開環(huán)增益，開環(huán)增益的加大，必然導(dǎo)致系統(tǒng)自然頻率的增加，在系統(tǒng)存在高頻噪聲時，可能引起系統(tǒng)共振。 4）對動態(tài)性能的影響：微分控制相當(dāng)于在系統(tǒng)中加入實(shí)零點(diǎn)，可以加快上升時間。在相同阻尼比的情況下，比例-微分控制系統(tǒng)的超調(diào)量會大于測速反饋

33、控制系統(tǒng)的超調(diào)量。 2)使用環(huán)境：微分控制對噪聲具有明顯的放大作用，當(dāng)系統(tǒng)輸入端噪聲嚴(yán)重時，一般不宜選用微分控制；同時微分器的輸入信號為系統(tǒng)的誤差信號，其能量水平低，需要相當(dāng)大的放大作用，為了不明顯惡化信噪比，要求選用高質(zhì)量的放大器。測速反饋控制對系統(tǒng)輸入端的噪聲有濾波作用，同時測速發(fā)電機(jī)的輸入信號能量水平較高，因此對系統(tǒng)組成元件沒有過高的質(zhì)量要求，使用場合比較廣泛。 )1cos(1)(21)(1 1)2()()z-(sKC(s) 211122212211j1jkknkqirktsktsirknknkkknkknkkkqiiinknkkiqjmteDeAtcsCsBssAssssssnkii

34、Res1s2s3n5nIm在高階系統(tǒng)的諸多閉環(huán)極點(diǎn)中，把無閉環(huán)零點(diǎn)靠近，且其它閉環(huán)極點(diǎn)與虛軸在高階系統(tǒng)的諸多閉環(huán)極點(diǎn)中，把無閉環(huán)零點(diǎn)靠近，且其它閉環(huán)極點(diǎn)與虛軸的距離都在該復(fù)數(shù)極點(diǎn)與虛軸距離的五倍以上，則稱其為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。的距離都在該復(fù)數(shù)極點(diǎn)與虛軸距離的五倍以上，則稱其為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。一閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念二高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的近似分析ndj S 5|ReS| 1,2321111111)()()()()()(2)()()(knknkkkSSkniimjjkssknikmjjkssiniimjjijsssssszsKssssszsKDssssszsKAkki 由此可見高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)是一階和二

35、階系統(tǒng)。暫態(tài)響應(yīng)分量的合成則有如下結(jié)論：（1）各分量衰減的快慢由指數(shù)衰減系數(shù) 及 決定。系統(tǒng)的極點(diǎn)在S平面左半部距虛軸愈遠(yuǎn)，相應(yīng)的暫態(tài)分量衰減愈快。iSnkk （2）系數(shù) 和 不僅與S平面中的極點(diǎn)位置有關(guān)，并且與零點(diǎn)有關(guān)。 a.零極點(diǎn)相互靠近，且離虛軸較遠(yuǎn)， 越小，對 影響越小； b.零極點(diǎn)很靠近，對 幾乎沒影響； c.零極點(diǎn)重合（偶極子）， 對 無任何影響； d.極點(diǎn) 附近無零極點(diǎn)，且靠近虛軸，則對 影響大。iAkDiA)(tc)(tc)(tciS)(tc 5|ReS|3 （3）若 時，則高階系統(tǒng)近似成二階系統(tǒng)分析。一穩(wěn)定的概念與定義 定義：若線性系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其過渡過程隨時間的推

36、移逐漸衰減并趨于零，則稱系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定；反之若在初始擾動影響下，系統(tǒng)的過渡過程隨時間推移而發(fā)散，則稱其不穩(wěn)定。二線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的固有特性，與外界輸入信號無關(guān)。 則0,F(S)0,R(S)令 )()(C(S) 取拉式變拉式變 )()(MM(P)R(t)D(P)C(t) 設(shè)系統(tǒng)的運(yùn)動方程為)()()()(D(S)M(S)f0 SDSMSDSMSFSRtfPf)(lim 0ReS 0)(lim 0ReS )(A )( ,0D(S) )1,2,3,.n(i S C(S) titi)()(i1i1D(S)(S)M00tctcSSeAtCiiiiSSiSDSMnitSin

37、iSSA則若則若則的根為線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：其特征根全部位于S平面的左半部。 : 2541R(S)C(S) .23解的穩(wěn)定性。試判斷系統(tǒng)例 SSS , -23S -1,2S -1,1S 02)(S21)(S2)3S21)(S(S025S24S3S 故系統(tǒng)穩(wěn)定。負(fù)實(shí)部由于三個特征根都具有 0asa.sasaD(s)011 -n1 -nnn 三穩(wěn)定判據(jù) 1.Routh穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)的特征方程為線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：勞斯表中第一列系數(shù)全部為正。勞斯判據(jù)指出，若勞斯表中第一列系數(shù)全部為正，則所有閉環(huán)極點(diǎn)均位于左半s平面；若勞斯表第一列系數(shù)有負(fù)數(shù)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，說明有閉環(huán)極點(diǎn)位于右半s平面

38、，且位于右半s平面的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)正好等于勞斯表第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)。 c c b b b . . . . . . . . . . . . . c c s . b b b s .a a a a s . a a a a s 1315121213111761315412132112 13-n3212-n7-n5-n3-n1 -n1 -n6-n4-n2-nnn bbaabbbaabaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnnnnnn 勞斯陣列的個數(shù)。別該特征方程正實(shí)部根試用Routh判據(jù)判 054s3s2ss 設(shè)有下列特征方程 例1.234 5 s 0 6 s 5 1s 0 4 2

39、s 5 3 1 s : 0152-41124-32 2 34 該系統(tǒng)寫勞斯表為解符號改變一次符號改變一次。故有兩個實(shí)部為正的根次陣列第一列符號改變二 R Ro ou ut th h , : 023s-s . 3解正的特征根的個數(shù)。試應(yīng)用判據(jù)判別實(shí)部為設(shè)系統(tǒng)的特征方程為例 2 s 0 s 2 0 s 3- 1 s 02-3-2 3 改變一次改變一次2.Routh判據(jù)的特殊情況a. a.某行第一個元素為零，其余均不為零。某行第一個元素為零，其余均不為零。方法一:有兩實(shí)部為正的根。有兩個實(shí)部為正的根。則取得新方程乘以原方程以 6 0s 0 20 1s 0 6 2/3- 2s 0 7- 3 3s 6

40、3- 1 4s 067s-23s-33s42)3s-3a)(s(s , 3,)( saas改變一次改變一次方法二:b. b.勞斯表某行全為零勞斯表某行全為零勞斯表中出現(xiàn)某行系數(shù)全為零，這是因?yàn)樵谙到y(tǒng)的特征方程中出現(xiàn)了對稱于原點(diǎn)的根（如大小相等，符號相反的實(shí)數(shù)根；一對共軛純虛根；對稱于原點(diǎn)的兩對共軛復(fù)數(shù)根）。對稱于原點(diǎn)的根可由全零行上面一行的系數(shù)構(gòu)造一個輔助方程式F(s)=0求得，而全零行的系數(shù)則由全零行上面一行的系數(shù)構(gòu)造一個輔助多項(xiàng)式F(s)對s求導(dǎo)后所得的多項(xiàng)式系數(shù)來代替，勞斯表可以繼續(xù)計(jì)算下去。 需要指出的是，一旦勞斯表中出現(xiàn)某行系數(shù)全為零，則系統(tǒng)的特征方程中出現(xiàn)了對稱于原點(diǎn)的根，系統(tǒng)必是

41、不穩(wěn)定的。勞斯表中第一列系數(shù)符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程式根中位于右半s平面的根的數(shù)目。 : 04-4s-7s-3s-2s-s :23456解。試確定正實(shí)部根的個數(shù)已知系統(tǒng)特征方程為例 s 0 0 0 s 4- 3- 1 s 0 4- 3- 1 s 4- 7- 2- 1 s 3 456 06s-4sdsdF(s) 04-3s-F(s):324 s輔助方程 4- s 0 16.7- s 4- 1.5- s 0 6- 4 s 4- 3- 1 s 4- 3- 1 s 4- 7- 2- 1 s 0123456。另外二根為再由原特征方程得。得出產(chǎn)生全零行的根為求解輔助方程有一個實(shí)部為正的根。符號改變一次2321-: 0