線性代數(shù) 第二章矩陣(Matrix)及其運算

1、 第二章 矩陣(Matrix)及其運算 第一節(jié) 矩陣的定義 一、 矩陣的定義 在實際中，我們常常把 行 列的數(shù)據(jù)看作成一個整體，例如，某廠向三個商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量，可排列成以下的4行3列的數(shù)表這種數(shù)表就是我們所說的矩陣。 nm343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa定義1： 由 個數(shù) 排成 的 行 列的數(shù)表nmija), 2 , 1;, 2 , 1(njmimnmnmmnnaaaaaaaaa212222111211稱為 行 列矩陣矩陣，簡稱 矩陣，通常記作 ，以 為第 行 列元素的矩陣可簡記作 或 ， 矩陣 也記為 。 nmmnmnmmnnaaaaaaaaa

2、A212222111211ijaij)(ijanmija)(nmAnmA元素為實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，元素為復(fù)數(shù)的矩陣成為復(fù)矩陣。我們主要是討論實矩陣。注意：矩陣與行列式的區(qū)別。定義2： 兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時， 就稱它們是同型矩陣，如果 與 是同型矩陣，并且它們的對應(yīng) 元素相等，即 則稱矩陣 與矩陣 相等，記作 。 稱元素都是零的矩陣為零矩陣，記作 。)(ijaA )(ijbB ijijba), 2 , 1;, 2 , 1(njmiBA ABO二、 特殊矩陣行數(shù)與列數(shù)都等于 的矩陣 稱為 階矩陣或 階方陣。 nnnA1、 階方陣n2、行矩陣和列矩陣 稱只有一行的矩陣 為行矩陣（又稱行

3、向量），稱只有一列的矩陣 為列矩陣（又稱列向量）。 naaaA21nbbbA213、單位矩陣 稱 階方陣 為 階單位矩陣， 簡記為 。 n100010001nEnE4、對角矩陣 稱 階方陣 為對角矩陣，記作 。 nn00000021),(21ndiag第二節(jié) 矩陣的運算一、矩陣的加、減法 1、定義定義1： 設(shè)有兩個 矩陣 和 ， 規(guī)定 和 的和為 記作 。 nm)(ijaA )(ijbB ABmnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221211112121111BA注意：只有兩個矩陣是同型矩陣，才能進行加法運算。定義2：設(shè)矩陣 ，稱矩陣 為 的負 矩陣，記

4、作 。 )(ijaA )(ijaAA 定義3： )( BABA注意： OAA)(2、運算法則 （1） ；ABBA（2） ； )()(CBACBA二、數(shù)乘運算 1、定義 定義4： 數(shù) 與矩陣 的乘積規(guī)定為Amnmmnnaaaaaaaaa212222111211記作 或 。 AA2、運算法則（1）)()(AA（2）AAA)(（3）BABA)(矩陣相加與矩陣數(shù)乘運算，統(tǒng)稱為矩陣的線性運算。三、 矩陣與矩陣相乘1、定義定義5： 設(shè) 是一個 矩陣， 是一個 矩陣，那么規(guī)定矩陣 與 矩陣的乘積是一個 矩陣 ， 其中 記作 。)(ijaA sm)(ijbB nsABnm)(ijcC skkjiksjisji

5、jiijbabababac12211AB注意：只有當?shù)谝粋€矩陣（左矩陣）的列數(shù)等于第 二個矩陣（右矩陣）的行數(shù)時，才能進行矩 陣相乘。 例1： 求矩陣 ， 的乘 積 。20121301A431102311014BAB例2： 已知 ， ，求 和 。 2142A6342BABBA注意：（1）由這個例子可知，矩陣的乘法不滿足 交換律，即在一般情形下， ，要 使 成立，必須滿足一定的條件。 BAAB BAAB （2）由這個例子還可知， ， ， 但卻有 ，所以由所以由 ，不能得，不能得 出出 或或 的結(jié)論。若的結(jié)論。若 ，而，而 ，不能得出，不能得出 的結(jié)論的結(jié)論。 OA OB OAB OAB OA O

6、B OA OYXA)(YX 例3： 某廠向三個商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量可列成矩陣 這四個產(chǎn)品的單價及單位重量可列成矩陣 求 ，并指出 的含義。343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA4241323122211211bbbbbbbbBABAB2、線性方程組的矩陣表示111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa12nxxxx12mbbbb令11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb對線性方程組利用矩陣的乘法，線性方程組可表示為矩陣形式 稱 為方程組的系數(shù)矩陣。AxbA3、線性

7、變換的概念111 11221221 122221 122nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xa xya xaxax稱為變量 到變量 的線性變換。12,nx xx12,my yy111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa12nxxxx12nyyyyyAx則線性變換可表示為 變量 與變量 之間的關(guān)系式:12,nx xx12,my yy4、運算法則)()(BCACAB（1）（2）)()()(BABAAB（3）ACABCBA)(CABAACB)(（4）nmnmmAAEnmnnmAEA5、方陣的冪運算設(shè) 是 階方陣，定義：AnAAAAAAAAkk121, 由矩陣乘法的結(jié)合

8、律知： ， ，（ 為正整數(shù)） lklkAAAkllkAA)(lk,注意： kkkBAAB)(例4： 設(shè) ，求 。 101AkAAA,32注意：由 ，不能得出 （例如 ） OAkOA 0001A若 , 則),(21ndiag),(21knkkkdiag四、矩陣的轉(zhuǎn)置 1、定義 定義6： 把矩陣 的行換成其對應(yīng)的列所得到的 新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 。AATA例如： ， 。 113021A101231TA2、運算法則AATT)(（1）（2）TTTBABA)(（3）TTAA)(（4）TTTABAB)(例3： 已知 ， ， 求 ， 。231102A102324171BTAB)(TTAB設(shè) 為 階

9、方陣，如果滿足 ，那么稱 為對稱矩陣對稱矩陣。AnTAA A五、方陣的行列式1、定義定義7：由 階方陣 的元素所構(gòu)成的行列 式（不改變各元素的位置），稱為 方陣 的行列式，記作 或 。 nAA| AAdet注意：方陣與行列式是兩個不同的概念， 階方 陣是 個數(shù)按一定方式排成的數(shù)表，而 階行列式則是這些數(shù)按一定的運算法 則所確定的一個數(shù)。 n2nn2、運算規(guī)則 |AAT（1）|AAn（2）|BAAB （3） 注意：（1） |BABA（2） 一般來說， ，但總有 （只要 存在） BAAB |BAAB BAAB,六、共軛矩陣 1、定義定義7： 當 為復(fù)矩陣時，用 表示 的共軛復(fù)數(shù)，則稱矩陣 為 的共

10、軛矩陣，記作 。)(ijaA ijaija)(ijaAA2、運算法則 BABA（1）（2）AA（3）BAAB 第三節(jié) 逆矩陣一、定義定義1： 對于 階矩陣 ，如果存在一個 階 矩陣 ，使得 則稱矩陣 是可逆的，并把矩陣 稱為 的逆矩陣，記作 。nAnBEBAABAAB1A注意： （1） 如果矩陣 是可逆的，那么 的 逆矩陣一定是唯一的。 AA（2） 如果 是 的逆矩陣，則 是 的逆矩陣。BABA定理1：若矩陣 可逆，則 。 A0|A定義2： 設(shè) 是 階矩陣，把行列式 的各 個元素的代數(shù)余子式 所構(gòu)成的 階 矩陣 稱為矩陣 的伴隨矩陣，記作 。 An| AijAnnnnnnnAAAAAAAAA2

11、12221212111A*A例如 ，求 。 343122321A*A定理2： EAAAAA|* 若 ， ，實際上，這個結(jié)論對于 的矩陣也成立。 0|AnAAA|*1*|nAA0|A222563462*A定理3： 若 ，則矩陣 可逆，且 ，其中 為矩陣 的伴隨矩陣。 0|AA*1|1AAA*AA這個定理告訴了我們一種求逆矩陣的方法。例如在上例中 的逆矩陣為 A1112/532/32311A定義3：當 時，稱 為奇異矩陣，否則 稱 為非奇異矩陣。0|AAA 由定理1，3可知， 是可逆矩陣的充分必要條 件是 為非奇異矩陣（即 ）。 AA0|A二、 運算規(guī)律 （1） 若 可逆，則 也可逆， 且 ； A

12、1AAA11)(（2）若 可逆，數(shù) ，則 可逆，且 ；A0A111)(AA（3） 若 為同階矩陣且都可逆，則 可逆， 且 BA,AB111)(ABAB 當 時，定義 ， （其中 為正整數(shù)）； 0|AEA 0kkAA)(1k 則 ， （這里的 為整數(shù)， 不再要求是正整數(shù)）。 lklkAAAkllkAA)(lk,例1： 已知 ,求 和 。012411210A|*A1A例2： 設(shè) ， ， ， 求矩陣 使?jié)M足 。 343122321A3512B130231CXCAXB 例3：設(shè) ， ，求 。312441213ABAAB3B注意：這里 1)3(EAAB例4: 設(shè) 為三階行列式， ， 是 的伴隨 矩陣，（

13、1）化簡 ；（2）求 。 A21|A*AA*12)3(AA*12)3(AA例5、設(shè)矩陣 滿足 ，證明 及 都可逆。 AA2AE22AAEO例6、設(shè)矩陣 ，矩陣 滿足 其中 為 的伴隨矩陣， 是單位矩陣， 求 。 100021012AEBAABA*2*AAE| BB第四節(jié) 矩陣分塊法一、分塊矩陣的定義對行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣進行運算時，我們可以采用分塊的方法，使大矩陣的運算化成小矩陣的運算。 將矩陣 用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為 的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。 AA例如 將 矩陣 ，分成子塊的分法有很多，如 433433323124232221141312

14、11aaaaaaaaaaaaA第一種分法所得到的分塊矩陣為 ，其中 22211211AAAAA2221121111aaaaA2423141312aaaaA),(323121aaA),(343322aaA二、分塊矩陣的運算1、分塊矩陣的加法設(shè)矩陣 與 的行數(shù)和列數(shù)相同，采用相同的分塊法，它們的分塊矩陣分別為 ， 則 。ABsrsrAAAAA1111srsrBBBBB1111srsrssrrBABABABABA111111112、分塊矩陣的數(shù)乘設(shè) ， 為數(shù)，則 srsrAAAAA1111srsrAAAAA11113、分塊矩陣的轉(zhuǎn)置 設(shè) 是一個分塊矩陣，則 srsrAAAAA1111TsrTrTsT

15、TAAAAA1111設(shè) ， 是兩個分塊矩 陣，其中 的列數(shù)分別等于 的行數(shù)，則 ststlmAAAAA1111trtrnlABBBB1111itiiAAA,21tjjjBBB,214、分塊矩陣的乘法 ，其中 （ ） srsrCCCCAB1111tkkjikijBAC1rjsi, 1, 1 例1 ， ， 求 。 1011012100100001A0211140110210101BAB注意：用分塊矩陣做乘法運算，分塊時一定要保證 的列數(shù)分別等于 的行數(shù)。 itiiAAA,21tjjjBBB,215、分塊對角矩陣的行列式和逆矩陣 設(shè) 為 階矩陣，若 的分塊矩陣只有在主對角線上的子塊非零，其它子塊都為

16、零子塊，且主對角線上的非零子塊都是方陣，即 AnAsAOOAAA21其中 都是方陣，則稱為分塊對角矩陣。), 2 , 1(siAi（1） 若 為分塊對角矩陣，則 ；|21sAAAAA（2）若 為分塊對角矩陣，且 （ ）， 則 可逆，且 A0|iAsi, 2 , 1A112111sAOOAAA（3）若 為分塊對角矩陣，則 AkskkkAOOAAA21kskkkAAAA|21例2： ，求 和 。 400073021AAdet1A例3： 設(shè) 均為可逆方陣，求分塊矩陣 的逆陣。 BA,00BAC 第五節(jié) 矩陣的初等變換一、初等變換的定義舉例：求解線性方程組 9796342264422243214321

17、43214321xxxxxxxxxxxxxxxx97963232224243214321432143212)3(),2()1(xxxxxxxxxxxxxxxx343363550222424324324324321)1(3)4(),1(2)3(),3()2(xxxxxxxxxxxxx362042444324321)2(3)4(),2(5)3( , 2)2(xxxxxxxxx00304244324321)3(2)4(),4()3(xxxxxxxx所以 33443231xxxxx在解方程組的過程中，我們一般是采用以下三種變換： （1）將某一個方程的兩邊同時乘（除）以一個非 零常數(shù)；（2）交換兩個方程

18、的次序；（3） 將某一個方程的兩邊同乘（除）一個數(shù)后， 與另一個方程相加。定義1: 下面三種變換稱為矩陣的初等行變換: （1）對調(diào)兩行(對調(diào) 兩行,記作 );ji,jirr （2）以數(shù) 乘某一行中的所有元素(第 行乘 ,記作 );0kikkri（3）以數(shù) 乘某一行中的所有元素加到另 一行對應(yīng)的元素上去 (第 行乘 加到 第 行上,記作 );kjkijikrr 我們把初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為初等變換。類似地,可以定義初等列變換, 并分別記作 , , ; jicc ick jikcc 二、等價的定義 定義2： 如果矩陣 經(jīng)有限次的初等變換變 成矩陣 ，就稱矩陣 與矩陣 等 價，記作 或 。AB

19、BABA AB矩陣之間的等價關(guān)系具有以下性質(zhì)： （1） （反身性）；AA （2）若 ，則 （對稱性）； BA AB （3） 若 ，則 （傳遞性）。CBBA,CA 97963422644121121112B12197963211322111241211213Brrr23,234330635500222041211321413Brrrrrr3213,53100062000011104121122423Brrrrr42000003100001110412114334Brrrr5000003100030110401012132Brrrr所以對應(yīng)的方程組為 5B33443231xxxxx矩陣 ， 的特點

20、是：可劃一條階梯線，線的下方全為0，每個臺階只有一行。將這類矩陣稱為行階梯形矩陣。 4B5B另外，矩陣 還有以下的特點： 5B非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在的列的其它元素都為0。稱這類矩陣為行最簡形矩陣。任何矩陣 總可經(jīng)有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡形矩陣。nmA對行最簡形矩陣再進行初等列變換，可變成一種形狀更簡單的矩陣。 例如 000003100030110401015BFccccccccc00000001000001000001214433215,334任何矩陣 ，總可以經(jīng)過初等變換把它化為 矩陣 ，稱矩陣 為矩陣 的標準形。 nmAnmrOOOEFFA所有與矩陣

21、 等價的矩陣組成一個集合，稱為一個等價類。在一個等價類中，標準型 是形狀最簡單的矩陣。AF三、初等矩陣的定義定義1： 由單位矩陣 經(jīng)過一次初等變換所得 到的矩陣稱為初等矩陣。E三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣。 1、對調(diào)兩行或兩列 例如 10000001001001001000010000100001314rrE一般情況下，對調(diào)第 行（列）和第 行（列）所得到的初等矩陣記作為 。 ij),(jiEm2、將某一行（列）乘一個數(shù)0k例如 100000000100001100001000010000134kEkr將第 行（列）乘一個數(shù) 所得到的初等矩陣記作為 。i0k)( kiEm3、將某一行（列）乘

22、一個數(shù)加到另一行（列）中去例如 1000010001000011000010000100001324kEkrrk將第 行（列）乘一個數(shù) 加到第 行（列）中去，所得到的初等矩陣記作為 。 j)(,(kjiEmi四、初等變換的性質(zhì)設(shè) ，則 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaA444342411413121124232221343332314)3 , 1 (aaaaaaaaaaaaaaaaAE444142433431323324212223141112134) 3 , 1 (aaaaaaaaaaaaaaaaAE44434241343332

23、3124232221141312114)(2(aaaaaaaakakakakaaaaaAkE444342413433323124232221141312114)(2(aakaaaakaaaakaaaakaakAE4443424134333231342433233222312114131211)( 3 , 2(aaaaaaaakaakaakaakaaaaaaAkE4443434241343333323124232322211413131211)( 3 , 2(aakaaaaakaaaaakaaaaakaaakAE定理1： 設(shè) 是一個 矩陣，對 施行一次 初等行變換就相當于在 的左邊乘以相 應(yīng)的

24、階初等矩陣；對 施行一次初 等列變換就相當于在 的右邊乘以相應(yīng) 的 階初等矩陣。AnmAAmAAn注意： 初等矩陣都是可逆矩陣 并且 所以初等矩陣的逆矩陣還是初等矩陣。1| ),(|jiEmkkiEm |)(|1|)(,(|kjiEm),(),(1jiEjiEm)1()(1kiEkiEmm)(,()(,(1kjiEkjiEmm例1：設(shè) 是 階可逆方陣，將 的第 行和 第 行對換后得到的矩陣記為 ; （1）證明: 可逆； （2） 求 。AnAijBB1AB定理2： 設(shè) 為可逆矩陣，則存在有限個初 等矩陣 ，使得 AlPPP,21lPPPA21推論1： 矩陣 的充分必要條件是： 存在 階可逆矩陣

25、和 階可逆矩 陣 ，使得 。 nmBA mPnQBPAQ 接下來，介紹另一種求逆矩陣的方法。 設(shè) ， 則 ，因此 lPPPA2111121111PPPPAll)()(11112211AEEAPPPPll即對 矩陣 施行初等行變換，當把 變成單位矩陣 時，原來的 就變成 ，這是另一種求逆矩陣的方法。nn2)(EAAEE1A例2： 設(shè) ，求 。 343122321A1A解： 103620012520001321100343010122001321)(121323rrrrEA1111005630202310011111000125200112013132212325rrrrrrrr1111002/5

26、32/3010231001)2()1(23rr所以 1112/532/32311A注意：這里是利用初等行變換，也可對 采用初等列變換求得 的逆矩陣。EAA若已知 和 ，可以用類似的方法求出 和 。ABBA11BA因為 ，所以 )()(11BAEBAA)()(1BAEBA初等行變換因為 ， 所以 。 11BAEABA1BAEBA初等列變換例3： 已知 ， ，求矩陣 ，使得 。343122321A341352BXBAX 解： BAX BAX11226209152052321343431312252321)(121323rrrrBA3110064020230013110091520412013132212325rrrrrrrr311003201023001)2()1(23rr所以 313223X第六節(jié) 矩陣的秩一、矩陣秩的定義定義1：在 的矩陣 中，任取 行 列 ，位于這些行列交叉處 的 個元素，不改變它們在 中的次 序，而得到的 階行列式，稱為矩陣 的 階子式。 nmAkk),min(nmk 2kAkAk 注意：（1） 的矩陣 一共有 個 階子式； nmAknkmCCk（2）要注意它與余子式的區(qū)別。 定義2： 如果在矩陣 中至少有一個不等于0的 階子式 ，且所有 階子式（如 果存在的話）全為0，則稱 為矩陣 的最高階非零子式，稱數(shù) 為矩陣 的秩，記作 ，并規(guī)定 。 ArD1r