第3章_平均數(shù)、標準差與變異系數(shù)

1、第 3 章平均數(shù)、標準差與變異系數(shù) 數(shù)據(jù)有兩種變化趨勢：集中趨勢和離散趨勢。 表示數(shù)據(jù)集中趨勢的指標有多個，如平均數(shù)（算術平均數(shù)、幾何平均數(shù)）、中位數(shù)、眾數(shù)，使用最多的是算術平均數(shù)。 表示數(shù)據(jù)離散趨勢的指標有多個，如極差、平均離差、方差與標準差，使用最多的是方差與標準差。 資料中各觀察值的總和除以觀察值的個數(shù)所得的商，稱為算術平均數(shù)算術平均數(shù)，簡稱為平均平均數(shù)或均數(shù)。數(shù)或均數(shù)。用符號 表示。 平均數(shù)的意義：平均數(shù)的意義： 平均數(shù)用來描述資料的集中性，即指出資料中數(shù)據(jù)集中較多的中心位置,常用于同類性質(zhì)資料間的相互比較。x一、集中趨勢計算方法計算方法1. 直接法直接法 適用于樣本含量較小的非頻數(shù)資

2、料 如果一個含量為n的樣本，其n個觀察值分別用x1、x2xn表示，則它們的平均數(shù)為 其中，（Sigma）為總和符號， 表示從第一個觀察值x1累加到第n個觀察值xn，若在意義上已明確時，簡記為x。121ninixxxxxnnniix1常數(shù)的總和等于該常數(shù)的n倍，即代數(shù)和的總和等于總和的代數(shù)和，即總和符號內(nèi)的常數(shù)因子可以提取到總和符號之外，即其中C為常數(shù)（a為常數(shù)）ninCC1iiiiiizyxzyx)(njkiijkinjijxx1111iixaaxkkkfffxfxfxfx2122112. 加權法加權法 如果樣本中有n1個x1，有n2個x2，那么，n1+n2個數(shù)的平均數(shù)是加權平均數(shù)。 同理：

3、各組的次數(shù) fi 是權衡各組中值 xi在資料中所占比重大小的數(shù)量，因此f被稱為是x的“權”，加權法也由此而得名。212211nnxnxnxffxfxfkiikiii11 在計算離散型頻數(shù)資料的平均數(shù)時， 式中x為組值，f為頻數(shù)，N為總頻數(shù)（f），k為組數(shù)。Nfxxkii1)( 表表3-13-15050只小雞出殼天數(shù)的頻數(shù)分布表只小雞出殼天數(shù)的頻數(shù)分布表10915021.82fxxf 在計算連續(xù)型頻數(shù)資料的平均數(shù)時， 式中m為組中值，f、N和k同上式。Nfmxkii1)(組 別組中值m頻數(shù)（f）fm44.2545.029045.7546.529347.2548.01048048.7549.512

4、59450.2551.026132651.7552.544231053.2554.043232254.7555.5291609.556.2557.01162757.7558.515877.559.2560.0212060.7561.54246合計20010695表3-2 某純系蛋雞200枚蛋重的頻數(shù)分布表 =10695/200 =53.475x平均數(shù)有以下幾個基本特性： （1）平均數(shù)的計算與樣本內(nèi)每個值都有關，它的大小受每個值的影響。 （2）若每個xi都乘以相同的數(shù)k，則平均數(shù)亦應乘以k。 （3）若每個xi都加上（或減去）相同的數(shù)A，則平均數(shù)亦應加上（或減去） A。 將資料中所有觀察值從小到大

5、依次排列，處于中間位置的數(shù)。以Md表示。 適用條件適用條件 資料呈偏態(tài)分布偏態(tài)分布或頻數(shù)分布類頻數(shù)分布類型不明型不明，以及一端或兩端無確定數(shù)值一端或兩端無確定數(shù)值,這種資料用中位數(shù)作為代表值比用算術平均數(shù)為好。 非頻數(shù)資料，先將各觀察值由小到大排資料，先將各觀察值由小到大排列，列，當n為奇數(shù)時，第(n+1)/2位置的觀察值即為中位數(shù)，即： Md =x (n+1)/2其中：L中位數(shù)所在組的下限；i組距；f中位數(shù)所在組的頻數(shù)；n總頻數(shù)；c小于中數(shù)所在組的累積頻數(shù)。/2 1n 2 / n2) 12 /(2 /nndxxM)2(cnfiLMd當n為偶數(shù)時， 和 位置的兩個觀察值之和的二分之一即為中位數(shù)

6、，即： 若資料已分組，并編制成了頻數(shù)分布表，可利用頻數(shù)若資料已分組，并編制成了頻數(shù)分布表，可利用頻數(shù)分布表計算中數(shù)。分布表計算中數(shù)。潛伏期（小時）潛伏期（小時）病例數(shù)病例數(shù)f 累計例數(shù)累計例數(shù)02525125883244012336231464812158605163721164)(8 .23)252164(581212)2(25,58,12,164,12小時此例cnfiLMCfLnid例某地區(qū)有164人因沙門氏菌食物中毒，其潛伏期資料經(jīng)整理如下表，試計算中位數(shù)。 資料中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)或頻數(shù)最多一組的組中值，記為Mo。 fmax=24, Mo=22 50 50只小雞出殼天數(shù)的頻數(shù)分布表只

7、小雞出殼天數(shù)的頻數(shù)分布表10915021.82fxxfMd=22組 別組中值m頻數(shù)（f）fx44.2545.029045.7546.529347.2548.01048048.7549.51259450.2551.026132651.7552.544231053.2554.043232254.7555.5291609.556.2557.01162757.7558.515877.559.2560.0212060.7561.54246合計20010695表3-2 某純系蛋雞200枚蛋重的頻數(shù)分布表 =10695/200 =53.475xfmax=44, Mo=52.5Md=53.35 定義定義 指n

8、個觀察值乘積的n次方根。即 適用條件適用條件 主要應用于數(shù)據(jù)呈倍數(shù)關系呈倍數(shù)關系或不對稱分布不對稱分布的資料，算術平均數(shù)對這類資料的代表性差算術平均數(shù)對這類資料的代表性差。如抗體效價（1：10，1：100，1：1000，1：10000）、增長率或生長率、動態(tài)發(fā)展速度等。nnnnxxxxxxG1).(.2121計算計算1 1、應用公式計算（實際應用時常取對數(shù)）、應用公式計算（實際應用時常取對數(shù)）nnxxxG.21niinxnxxxnG121lg1lglglg1lgniixnG11lg1lg 例 海蝦養(yǎng)殖試驗，各旬的生長速度3.0，1.5 1.3，1.2，1.2，1.1，1.1，求海蝦的旬平均生長

9、速度。 解： 即海蝦平均生長速度為1.38。 其算術平均數(shù)為14. 01 . 1lg22 . 1lg25 . 1lg3lg71lgG38. 114. 0lg1G121.48nxxxxn 當資料編成頻數(shù)分布表時當資料編成頻數(shù)分布表時， 各組組中值； 各組次數(shù)；)lg(lg1fxfGiixif 資料的另一方面的特征是變異程度。如： A 組資料： 3 、 4 、 5 、 6 、 7 平均數(shù)為： 5 B 組資料： 1 、 3 、 5 、 7 、 9 平均數(shù)為： 5 這里的平均數(shù) 5 對于 A 組資料的代表性好？還是對于 B 組資料的代 表性好？可見，只表明了數(shù)據(jù)的集中程度是遠遠不夠的，還需要進一步說明

10、數(shù)據(jù)的變異程度。只有通過變異程度的描述，才知道代表值的代表性。表示數(shù)據(jù)變異特征的數(shù)值叫變異數(shù)變異數(shù)。常用的變異數(shù)有：極差、平均離差、方 差、標準差、變異系數(shù)等。 極差（全距）極差（全距） 極差 = 最大值 - 最小值 只利用了資料中最大值和最小值，不能準確表達資料中各個觀察值的變異程度。 平均離差平均離差 1xxdn它不能表示整個資料中所有觀察值的總偏離程度使用不方便，在統(tǒng)計學中未被采用消除離均差的負號離均差的平方之和（簡稱平方和平方和，記為SS）稱為均方均方（縮寫為MS），又稱為樣本樣本方差方差，記為S2標準差標準差S S)(xx0)(xxxx)(xx2)(xx2)(xx) 1/()(2nx

11、x) 1/()(2nxxS離均差離均差 首先求出離均差，即每個數(shù)與它們的平均數(shù)之間的離差；然后將所有的離均差平方，再相加，得出離均差平方和；最后用n-1除離均差平方和（按照統(tǒng)計學理論，不要用樣本含量n去除），所得的商稱為樣本方差，用符號s2表示。 方差s2是離均差平方的平均數(shù)。雖然方差在實際應用中用得最廣泛，但因它的單位是原始數(shù)據(jù)單位的平方，所以它不能直接地指出某個數(shù)x與平均數(shù)之間的偏離究竟達到什么程度。為此，采用標準差s做標準，衡量x與平均數(shù)之間的離散程度。 自由度 (degree of freedom) ：統(tǒng)計學借此來反映一批變量的約束條件。 例如一個有 5 個觀察值的樣本，因為受到統(tǒng)計數(shù)

12、的約束，在5個離均差中，只有4個數(shù)值可以在一定范圍內(nèi)自由變動取值，而第五個離均差必須滿足這一限制條件。 自由度記作 DF ， 一般樣本自由度等于觀察值個數(shù) ( n ) 減去約束條件的個數(shù) ( k ) ，即 DF n k 。 1)(122nxxsnii1)(12nxxsnii樣本方差樣本標準差 為了方便計算，將離均差平方和轉(zhuǎn)化為另一種形式，同時略去下標，上式可表示為：1)(22nnxxs 在計算離散型頻數(shù)資料的標準差時， 式中x為組值，f為頻數(shù)，N為總頻數(shù)（f），k為組數(shù)。1)(22NNfxfxs 在計算連續(xù)型頻數(shù)資料的標準差時， 式中m為組中值，f、N和k同上式。1)(22NNfmfms標準差的特性標準差的特性（一）標準差的大小受資料中各觀察值的影響，觀察值間變異大的標準差也大，反之則??；（二）計算標準差時，各觀測值加上或減去一個常計算標準差時，各觀測值加上或減去一個常數(shù)，標準差的值不變數(shù)，標準差的值不變； (三)當每個觀察值都乘以一個常數(shù)a時，所得的標準差是原來標準差的a倍樣本的方差為總體的方差為 資料的單位不同或平均數(shù)相差很大時，直接利用標準差比較資料間變異程度是不妥的，需用變異系數(shù)。 變異系數(shù)同標準差一樣是衡量資料變異程度的統(tǒng)計量。變異系數(shù)消除了不同單位和平均數(shù)的影響，可以用來比較不同資料的相對變異程度。 變異系數(shù)是標準差與平均數(shù)