流體力學課件第3章流體運動的基本原理

1、1第一節(jié)、流體運動的描述方法第一節(jié)、流體運動的描述方法 一、拉格朗日法（一、拉格朗日法（lj） 以流體質點作為著眼點，以流體個別質點隨時間的以流體質點作為著眼點，以流體個別質點隨時間的運動為基礎，通過綜合足夠多的質點運動確定整個流動。運動為基礎，通過綜合足夠多的質點運動確定整個流動。22、質點位置方程（即、質點位置方程（即軌跡方程）軌跡方程）),(),(),(tcbazztcbayytcbaxx1、基本思想：質點系法、基本思想：質點系法說明：說明：3（1）流速方流速方程程 均為（均為（a，b，c，t）的函數。）的函數。 tzutyutxuzyx；222222tzatyatxazyx；（2）加速

2、度加速度方程方程 4二、歐拉法（二、歐拉法（IM）1、基本思想：流場法基本思想：流場法2、流場描述、流場描述 流場的運動要素及相關物理量都是時、空坐標流場的運動要素及相關物理量都是時、空坐標（x,y,z,t）的連續(xù)函數）的連續(xù)函數 ： ），（tzyx歐拉變量歐拉變量（1）歐拉）歐拉速度方程速度方程 ），（），（），（tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx5（2）歐拉加速度）歐拉加速度（難點難點） 確定加速度需要確定加速度需要跟定流體質點跟定流體質點，即此時，即此時x，y，z不再不再是任意的空間點，而是流體質點在運動過程中先后經過是任意的空間點，而是流體質點在運動過程中先后經過的點，成

3、為時間的點，成為時間t的函數，所以該流體質點的速度應寫為：的函數，所以該流體質點的速度應寫為：),(),(),(ttztytxuu其中位置坐標對時間的導數等于速度矢量：其中位置坐標對時間的導數等于速度矢量：),(),(zyxuuuudtzyxd），（tzyxuu6dtdzzudtdyyudtdxxutudtudazuuyuuxuutuazyxzuuyuuxuutuaxzxyxxxxzuuyuuxuutuayzyyyxyyzuuyuuxuutuazzzyyxzz即即或或），（tttuztuytuxuuzyxp*、基于質點的運動過程分析、基于質點的運動過程分析），（tzyxuup質點移動的距離為質

4、點移動的距離為:），（zyxP流體質點的速度為：流體質點的速度為：經經 t后，該流體質點運動到后，該流體質點運動到），（tuztuytuxPzyxtu 在在P點流體質點的速度為：點流體質點的速度為：Pxpzytu O7），（），（tzyxutttuztuytuxuzyx泰勒泰勒展開，忽略高階微小量展開，忽略高階微小量：ttuzuuyuuxuutzyxuttutuzutuyutuxutzyxuuuuzyxzyxpp）（），（），（8tuat0lim加速度定義：加速度定義：ppuuu位變加速度位變加速度：時變加速度時變加速度：恒定流：恒定流：tuzuuyuuxuuazyx9均勻流：均勻流：固定空間

5、點速度隨時間變化引起的加速度；（非穩(wěn)態(tài)）固定空間點速度隨時間變化引起的加速度；（非穩(wěn)態(tài)）速度隨位置變化引起的加速度。（非均勻）速度隨位置變化引起的加速度。（非均勻）時變加速度等于零；時變加速度等于零；位變加速度等于零。位變加速度等于零。（1）水位恒定）水位恒定（2）水位變化）水位變化10例：例：直線過直線過O（0，0）和）和B（8，6），若流體質點沿該直線），若流體質點沿該直線以速度以速度)/( 322smyxu解：解：xyxxyxauux33cos2222yyxyyxauuy33sin2222xtuyuuxuuaxxyxxx9ytuyuuxuuayyyyxy922229yxaaayxxOy

6、（x，y）B11運動，求質點在運動，求質點在B點的點的加速度。加速度。)/(90366492)(smaB一、流動分類一、流動分類1、層流與紊流、層流與紊流 有序性。有序性。 水頭損失與流速的水頭損失與流速的1次方成正比；次方成正比； 在流速較小且雷諾數在流速較小且雷諾數Re較小時發(fā)生較小時發(fā)生; 遵循遵循牛頓內摩擦定律牛頓內摩擦定律，粘性抑制質點作橫向運動。，粘性抑制質點作橫向運動。vdRedydu12第二節(jié)、流體運動的若干概念第二節(jié)、流體運動的若干概念特點：特點：層流 流體質點不互相混雜，流體質點流體質點不互相混雜，流體質點有條不紊地作有條不紊地作直線直線運動。運動。（1）層流）層流(2)紊

7、流紊流質點相互混摻，流體質點沿不規(guī)則的路徑運動。質點相互混摻，流體質點沿不規(guī)則的路徑運動。特點特點:無序性、隨機性、有旋性、混合性無序性、隨機性、有旋性、混合性水頭損失與流速的水頭損失與流速的1.752次方成正比次方成正比在流速較大且雷諾數較大時發(fā)生在流速較大且雷諾數較大時發(fā)生13紊流,2紊流中質點運動要素具有隨機性（蟻群運動），流紊流中質點運動要素具有隨機性（蟻群運動），流速的大小、方向隨機變化。速的大小、方向隨機變化。2.恒定流與非恒定流恒定流與非恒定流（1）恒定流（定常流、穩(wěn)態(tài)流）恒定流（定常流、穩(wěn)態(tài)流） 流場中各空間點上的流體運動參流場中各空間點上的流體運動參數均不隨時間而變化：數均不

8、隨時間而變化：0tU0 0 0tututuzyx， 嚴格的恒定流只可能發(fā)生在層流。嚴格的恒定流只可能發(fā)生在層流。 紊流中，若紊流中，若時均流速時均流速不隨時間變化，可認為是恒定不隨時間變化，可認為是恒定流：流： 或或TdtuTu01液液位位140tu（2）非恒定流）非恒定流 （非定常流、非穩(wěn)態(tài)流）（非定常流、非穩(wěn)態(tài)流） 流體流動空間點上各運動參數與隨時間有關的流動：流體流動空間點上各運動參數與隨時間有關的流動：至少一個不等于至少一個不等于0。液液位位15），（，zyxtUUtU0tututuzyx，A、流動隨時間按一定規(guī)律變化；、流動隨時間按一定規(guī)律變化；B、流場中任意空間點的、流場中任意空間

9、點的運動要素不隨時間變化；運動要素不隨時間變化；C、各過流斷面的速度分布相同；、各過流斷面的速度分布相同；D、各過流斷面的壓強相同。、各過流斷面的壓強相同。 恒定流是：？恒定流是：？3.均勻流與非均勻流均勻流與非均勻流（1）均勻流：）均勻流：流體質點在運動過程中流體質點在運動過程中速度速度不變的流動。不變的流動。 1） 質點流速平行，過水斷面是平面；質點流速平行，過水斷面是平面；2）同一流線上各）同一流線上各質點速度相等；質點速度相等；3）沿程各過水斷面形狀和大小保持一樣。）沿程各過水斷面形狀和大小保持一樣。（2）非均勻流：）非均勻流：流線不是平行直線的流動。流線不是平行直線的流動。 0su1

10、6特點：特點：0su特點：特點： 流速大小或方向或二者同時沿程改變，即沿流程方流速大小或方向或二者同時沿程改變，即沿流程方向速度分布不均，如收縮管、擴散管或彎管中的流動。向速度分布不均，如收縮管、擴散管或彎管中的流動。174、一元流、二元流、三元流、一元流、二元流、三元流 按液流運動要素所含按液流運動要素所含空間坐標變量空間坐標變量的個數分為：的個數分為： 流動流體的運動要素是一個空間坐標的函數。流動流體的運動要素是一個空間坐標的函數。流動要素是二個空間坐標的函數。流動要素是二個空間坐標的函數。 運動要素是三個空間坐標函數。水運動要素是三個空間坐標函數。水在斷面形狀與大小沿程變化的河道中流在斷

11、面形狀與大小沿程變化的河道中流動，水對船的繞流，大壩泄水等：動，水對船的繞流，大壩泄水等：t)(s,uut)y,(x,uut)z,y,(x,uu181、跡線：、跡線： 例：例： 消去參數消去參數t并給定（并給定（a，b，c）即得相應質點的跡線方）即得相應質點的跡線方程。程。 （1）拉格朗日法跡線方程）拉格朗日法跡線方程），（tcbaxx），（tcbayy），（tcbazz某一質點在某一某一質點在某一時段時段內的運動內的運動軌跡軌跡曲線。曲線。（2）歐拉法跡線方程）歐拉法跡線方程 若質點若質點P在時間在時間dt內從內從A點運點運動到動到B點，則質點移動速度為：點，則質點移動速度為：dtrdu得跡

12、線方程得跡線方程:dtdzdydxzyxuuuYOABZ202、流線流線 表示表示某一瞬時某一瞬時流體各點流動流體各點流動趨勢的曲線，其上任一點的趨勢的曲線，其上任一點的切線切線方向方向與該點流速方向重合。即同與該點流速方向重合。即同一時刻不同質點的速度方向線。一時刻不同質點的速度方向線。性質：性質： 1）流線不能相交；）流線不能相交；3）流場中每一點都有流線通過，所有流線形成流譜；）流場中每一點都有流線通過，所有流線形成流譜； 2）流線不能是折線，而是一條光滑曲線）流線不能是折線，而是一條光滑曲線;4）非穩(wěn)態(tài)流場流線隨時變；穩(wěn)態(tài)流場流線不隨時間變；）非穩(wěn)態(tài)流場流線隨時變；穩(wěn)態(tài)流場流線不隨時間

13、變； 21rv演示演示1演示演示3演示演示2 設設r為為流線上某一位置流線上某一位置的矢徑，的矢徑，u是該點的速度矢是該點的速度矢量。因速度與流線相切，量。因速度與流線相切，所以流線微元段對應的矢所以流線微元段對應的矢徑增量徑增量dr必然與該點的速必然與該點的速度度u平行平行,則：則：2.1流線方程流線方程 u0rdu0rdukujuiuuzyx0kdydxuujdxdzuuidzdyuudzdydxuuukjirduyxxzzyzyx22kdzjdyidxrdZOuY根據行列式的性質，有：根據行列式的性質，有：23例例 ：已知流速場方程如下，：已知流速場方程如下，C為常數，求流線方程。為常數

14、，求流線方程。 02222zyxuyxCyuyxCxu，zyxudzudyudx流線微分方程流線微分方程24解：由流線微分方程解：由流線微分方程zyxudzudyudx2222yxCydyyxCxdxydyxdxyCxlnlnln1xCy1200Czdzuz，又該流線為該流線為OxyOxy平面上的一簇通過原點的平面上的一簇通過原點的直線，這種流動稱為平面直線，這種流動稱為平面點源點源流動（流動（C C0 0時）或平面時）或平面點匯點匯流動（流動（C C0 0時）時） 。將：將：t=0， x=-1,y=-1時，時，C=-1解：（解：（1）由流線方程）由流線方程tyutxuyx，yxudyudxt

15、ydytxdxCtytxlnlnln）（）（25例例3-4： 平面流動速度分布方程如下平面流動速度分布方程如下1xy試求：試求： 1）t=0時，過點時，過點M（-1，-1）的流線；）的流線；2）求在）求在t=0時位于時位于x=-1，y=-1點處流體質點的跡線。點處流體質點的跡線。得瞬時流線：得瞬時流線：Ctytx）（(t=0時，x=-1，y=-1,得C1=0, C2=0，即所求跡線方程為：11tecxt12tecyt（2）由跡線方程）由跡線方程:dtudyudxyx由非齊次線性常微分方程求解通式得：由非齊次線性常微分方程求解通式得：dttydytyutxuyxdttxdx02 yx1 tx1

16、ty跡線與流線的比較跡線與流線的比較概概念念 定定 義義 備備 注注流流 線線 表示流體流動趨勢的一條曲線，在表示流體流動趨勢的一條曲線，在同一瞬時線上各質點的速度向量都同一瞬時線上各質點的速度向量都與其相切，描述了流場中不同質點與其相切，描述了流場中不同質點在同一時刻的運動情況。在同一時刻的運動情況。 t為參變量。為參變量。 跡跡 線線指某一質點在某段時間內的運動軌指某一質點在某段時間內的運動軌跡，它描述流場中同一質點在不同跡，它描述流場中同一質點在不同時刻的運動情況。時刻的運動情況。 t為自變量。為自變量。 zyxudzudyudxdtudzudyudxzyx27三、流管、流束、總流三、流

17、管、流束、總流28 在流場中取一條不與流線重合的封閉曲線，那么通過在流場中取一條不與流線重合的封閉曲線，那么通過該曲線的所有流線構成的管狀曲面稱為該曲線的所有流線構成的管狀曲面稱為流管流管；管中的流體；管中的流體稱為稱為流束流束；無限多微元流束組成的總的流束稱；無限多微元流束組成的總的流束稱總流總流。流管表面有流體進出嗎？流管表面有流體進出嗎？WHYWHY？四、過流斷面、濕周和水力半徑四、過流斷面、濕周和水力半徑29 與流線處處相垂直與流線處處相垂直的斷面（曲面或平面）。的斷面（曲面或平面）。過流斷面內的流體與固體壁接觸線的長度過流斷面內的流體與固體壁接觸線的長度 （m）。）。 過流斷面的面積

18、過流斷面的面積與濕周之比與濕周之比:AR 21dA2A1A1v1n2n1vdA1、過流斷面：、過流斷面：2、濕周、濕周：3、水力半徑、水力半徑：30五、流量與平均流速五、流量與平均流速2、平均流速、平均流速 假定過流斷面假定過流斷面A上的流體質點都以上的流體質點都以v速速度流動，即度流動，即AqudAAvvAudAqvAAv11、流量、流量:單位時間內流過過流斷面的流體量。單位時間內流過過流斷面的流體量。AvudAqAmudAq*、體積流量、體積流量*、質量流量、質量流量:在在過流斷面過流斷面A上取微元面積上取微元面積dA, u為微元上的點速為微元上的點速,則則31六、漸變流過流斷面的性質（六

19、、漸變流過流斷面的性質（im）、漸變流過流斷面近似平漸變流過流斷面近似平面，其上各點的流速方向近乎平行；面，其上各點的流速方向近乎平行；、漸變流漸變流過流斷面近似平過流斷面近似平面，其上各點的動（水）壓強近似面，其上各點的動（水）壓強近似按靜壓強規(guī)律分布，即同一過流斷按靜壓強規(guī)律分布，即同一過流斷面上：面上：Cgpz證明證明:（zx）：）：P621、系統(tǒng)及其特點、系統(tǒng)及其特點 系統(tǒng)是指確定不變的物質集合；系統(tǒng)以外的物系統(tǒng)是指確定不變的物質集合；系統(tǒng)以外的物質稱為外界；系統(tǒng)與外界的分界面稱為邊界。質稱為外界；系統(tǒng)與外界的分界面稱為邊界。特點：特點：32t1t3t2研究系統(tǒng)用拉格朗日法描述研究系統(tǒng)

20、用拉格朗日法描述2 2、控制體及其特點、控制體及其特點 在流場中劃定的一個固定的在流場中劃定的一個固定的空間區(qū)域空間區(qū)域，該區(qū)域完全被，該區(qū)域完全被流動流體所充滿?？刂企w的邊界面是一個封閉曲面流動流體所充滿?？刂企w的邊界面是一個封閉曲面( (控制控制面面) )。采用歐拉法研究采用歐拉法研究33特點：特點：控制體的邊界面固定不變；控制體的邊界面固定不變；控制面上可以有質量和能量交換；控制面上可以有質量和能量交換；控制面上受到控制體以外流體或固體控制面上受到控制體以外流體或固體施加在的力；施加在的力；占據控制體的流體質點隨著時間是在占據控制體的流體質點隨著時間是在不斷更換。不斷更換。第三節(jié)第三節(jié)

21、有旋流運動和無旋流動有旋流運動和無旋流動一、流體質點的運動特點一、流體質點的運動特點 2、流體流體微團微團平移：平移：保持原狀和方位保持原狀和方位轉動轉動：形狀不變、方位變：形狀不變、方位變變形：變形：線變形、角變形線變形、角變形 1、 剛體剛體：平移、轉動或兼而有之。：平移、轉動或兼而有之。二、渦量及旋轉角速度二、渦量及旋轉角速度kzjyix流速場的旋度矢量。流速場的旋度矢量。zyxuuuzyxkjiurotu 1、渦量、渦量kujuiuuzyx哈密頓哈密頓算子算子渦量渦量旋度旋度36) , ,(zyxzyxxyzxyzkjikyuxujxuzuizuyu）（）（）（kuuyxjuuxziu

22、uzyuuuzyxkjiyxxzzyzyx展開：展開： 原來互相垂直的兩鄰邊原來互相垂直的兩鄰邊的角轉速平均值角轉速平均值定義為流體微團繞某轉軸的角速度。2、角速度及數學描述、角速度及數學描述設在設在Oxy平面內，微團平面內，微團ABCD經過經過 t時間后到達時間后到達ABCD:dxdtxuADx的伸長*、AD的伸長的伸長xuxxx2d1ddyyuuyydyyuuxxdxxuuyydxxuuxxxuADBCdxdtxuy ADBCCDBdydtyuxdydxdydxyuyx0zdtxudxdxdtxutgdyy11dtyudydydtyutgdxx22*、直角、直角DAB的減小的減小2d1dd

23、yyuuyydyyuuxxdxxuuyydxxuuxxxuADBCdxdtxuy ADBCCDBdydtyuxdydxdydxyuyx0z）（xuzuzxxoz21同理可得：同理可得：根據根據角速度角速度的定義的定義(順順-、逆、逆+）: )(21)(21yuxuxyyxxoyZ軸軸X軸軸Y軸軸z , ;21yudtdxudtdxyyx）（zuyuyzyoz21yx2d1ddxdtxuy ADBCCD Bdydtyuxdydxyx0zzxyzyzxyxyzxyuxuxuzuzuyu212121212121）（）（）（下標代表？下標代表？（坐標軸）（坐標軸）0. 0至少有一個不為、zyx 流體質

24、點（微團）在運動中不僅發(fā)生平動（或形變），流體質點（微團）在運動中不僅發(fā)生平動（或形變），而且繞著而且繞著自身的瞬時軸線自身的瞬時軸線作旋轉運動。作旋轉運動。 （如：旋風、旋流器中的強制渦）。（如：旋風、旋流器中的強制渦）。41 渦量是矢量，和流線一樣可定義渦線，該線上任意一渦量是矢量，和流線一樣可定義渦線，該線上任意一點的切線與渦量的方向一致。點的切線與渦量的方向一致。0rdzyxdzdydx0 rduzyxudzudyudx流線方程流線方程或或00zyx2、無旋運動：、無旋運動： 流體在運動中，流體質點或微團只有平動或變形，但流體在運動中，流體質點或微團只有平動或變形，但不發(fā)生旋轉運動。即

25、流體質點或微團不繞其自身任意軸轉不發(fā)生旋轉運動。即流體質點或微團不繞其自身任意軸轉動。動。 說明：說明：3、無旋運動的特性、無旋運動的特性速度有勢速度有勢 無旋運動：無旋運動：0u 若某矢量的旋度為若某矢量的旋度為0，該矢量必然是某個，該矢量必然是某個標量函數標量函數 （勢函數）（勢函數）的的梯度梯度（即全導數），即（即全導數），即:gradu流體在環(huán)形流道中的流動一定為有旋運動。（流體在環(huán)形流道中的流動一定為有旋運動。（ ）判斷：判斷： graduzuyuxuzyx，即即kxjxix例：例： 流速場如下流速場如下 ，流動是無旋流還是有旋流？若為無旋，流動是無旋流還是有旋流？若為無旋，求勢函數

26、。求勢函數。解（解（1）確定角速度：）確定角速度：0zyxuaxuayu，；）（）（0002121zuyuyzxu或或該流動為無旋流，所以為有勢流該流動為無旋流，所以為有勢流. ；）（）（02121aayuxuxyz；）（）（0002121xuzuzxy0kyuxujxuzuizuyuxyzxyz）（）（）（對速度函數積分即得勢函數：對速度函數積分即得勢函數：axydxyaxdyydxaaxdyaydxdyudxuyx）（）（由勢函數的定義：由勢函數的定義：0022zyxuuyzku，zuyaxuxayuzyx0，kyzkyjyzkzkyzykjyzzkikyuxujxuzuizuyuuxyz

27、xyz2222222222002200）（）（）（）（）（）（解：解：zyxdzdydx由渦線微分方程：由渦線微分方程：得得2222yzkydzyzkzdyydzzdyCyz220022zyxuuyzku，47第四節(jié)、流體運動基本方程第四節(jié)、流體運動基本方程一、連續(xù)性微分方程一、連續(xù)性微分方程 在流場中取邊長為在流場中取邊長為dx,dy,dz的微元的微元6面體為控制體。面體為控制體。設中心點的流速分別為：設中心點的流速分別為：zyxuuu,以以X 向為例向為例，研究控制體內流體的，研究控制體內流體的質量質量變化。變化。左表面流速：左表面流速：dxxuuuxx21左右表面流速：右表面流速：dxx

28、uuuxx21右xzydx48dt時間內在時間內在X 方向方向流出、流進流出、流進微元體的流體微元體的流體質量差質量差：dydzdtdxxuudydzdtdxxuuxxxx)(21)(21dxdydzdtyuMyy)(dxdydzdtyuMzz)(同理：同理：課后自導課后自導左右M-MMxdxdydzdtxux)(xzy49 dt dt時間內各方向流出、流進控制體的流體質量差之和時間內各方向流出、流進控制體的流體質量差之和應等于控制體內因密度變化而應等于控制體內因密度變化而減少減少的質量，即：的質量，即：dxdydzdttMMMzyxdxdydzdttdxdydzdtzuyuxuzyx)()(

29、)(不受流體性質和流動類型的限制。不受流體性質和流動類型的限制。（3-18）0)()()(tzuyuxuzyx流體連續(xù)性微分方程流體連續(xù)性微分方程50（1）恒定流連續(xù)性方程）恒定流連續(xù)性方程0)()()(zuyuxuzyx（2）不可壓縮流體連續(xù)性方程）不可壓縮流體連續(xù)性方程0zuyuxuzyx（3-20）（3-22）例：給定速度場和密度場分布為：例：給定速度場和密度場分布為：tykyyzjzitxu4332，）（解：根據連續(xù)解：根據連續(xù)性方程性方程0301404304232）（）（）（yzttyyyztztxy滿足連續(xù)方程滿足連續(xù)方程,流場存在。流場存在。51）（zuyuxuzuyuxutzy

30、xzyx流場是否存在？流場是否存在？0)()()(tzuyuxuzyx例：已知三維例：已知三維不可壓縮不可壓縮流場，流場，X和和Y方向的速度分別為方向的速度分別為. 32zyxuzxyzxyuyzxu），求（，根據根據不可壓縮不可壓縮流體的連續(xù)性方程：流體的連續(xù)性方程：0zuyuxuzyx由已知）（，zxyuxxuyx 2zxzuz積分得積分得Czxzuz22152解：解：53二、理想流體運動微分方程二、理想流體運動微分方程1、受力分析、受力分析（以（以X向為例）向為例）（1）表面力）表面力取以任意點（取以任意點（x,y,z)為中為中心的六面體，中心壓強心的六面體，中心壓強為為，各側面壓強，各

31、側面壓強通過中心點壓強做泰勒通過中心點壓強做泰勒級數展開取一階微量級數展開取一階微量:ppppzyxxzyMN2dxxpp2dxxpp54X方向表面力方向表面力左：左：dydzdxxppApM)2(右：右：dydzdxxppApN)2(（2）質量力）質量力dxdydzfdVfxx牛頓定律：牛頓定律：xxmaF xzyMN2dxxpp2dxxppoX方向質量力方向質量力即即速度的質點導數速度的質點導數55xzyMN2dxxpp2dxxppo)2()2(zuuyuuxuutudxdydzdxdydzfdydzdxxppdydzdxxppxzxyxxxx速度的質點導數速度的質點導數化簡整理得：化簡整

32、理得：zuuyuuxuutuxpfxzxyxxxx1（3-24）56同理可得同理可得Y、Z方向的結果。即：方向的結果。即：zuuyuuxuutuypfyzyyyxyy1zuuyuuxuutuzpfzzzyzxzz1zuuyuuxuutuxpfxzxyxxxx1uutupf)(1（3-24）（3-25）（一）、受力分析（一）、受力分析1、質量力、質量力dxdydzfzdxdydzfydxdydzfxzyx:向向向三、三、粘性流體粘性流體運動方程運動方程2、表面力表面力zyzxzzyzyxyyxzxyxxpzpypx、方向垂直的微元面上與、方向垂直的微元面上與、方向垂直的微元面上與:57xxpdx

33、xppxxxx58yxyxxyxuyu)(zyzyyzyuzu)(xzxzzxzuxu)(xxpdxxppxxxx3、廣義牛頓內摩擦定律與切應力互等定理、廣義牛頓內摩擦定律與切應力互等定理*下標的意義及正負號約定（下標的意義及正負號約定（P71頁）頁）： 第第1個角標：應力作用面的法線方向；個角標：應力作用面的法線方向； 第第2個角標：應力的作用方向個角標：應力的作用方向切應力互等定理切應力互等定理59xxpdxxppxxxx60）（）（）（zuyuxuzuppzuyuxuyuppzuyuxuxuppzyxzzzzyxyyyzyxxxx3223223224、實際流體動壓強（正應力）、實際流體動

34、壓強（正應力）)(31zzyyxxpppp正應力和線變形速率之間的關系：正應力和線變形速率之間的關系：61dxdydzfx:質量力X向受力匯總向受力匯總右右上上后后左左前前下下61dxdydxdzdydzpdxdydzzdxdzdyydydzdxxppzxyxxxzxzxyxyxxxxx 負向：）（）（）正向：（)()()(）（xuzuzdydxdzzdydxdxdzdyydxdzdydzxppdydzpdxdydzfdtdudxdydzzxyxzxzxyxyxyxxxxxxxxx625、不可壓縮實際流體運動微分方程、不可壓縮實際流體運動微分方程(N-S方程方程)xuppxxx2yxyxxyx

35、uyu)(xzxzzxzuxu)(xxxxxuxpfdtdu2163zzzuzpfdtdu21yyyuypfdtdu212222222zyx2222222zuyuxuuxxxxxxxuxpfdtdu21拉普拉普拉斯拉斯算子算子64N-S方程方程de矢量形式為：矢量形式為：upfuutuDtuD21非定常項非定常項對流項對流項單位質量力單位質量力單位質量流單位質量流體的壓力差體的壓力差擴散項或擴散項或粘性力項粘性力項（1）理想流體：粘度為）理想流體：粘度為0zpfdtduypfdtduxpfdtduzzyyxxzpfaypfaxpfazzyyxx111N-S方程的幾個特例方程的幾個特例65zpf

36、ypfxpfzyx000zpfypfxpfzyx111（2）靜止流體：速度項為）靜止流體：速度項為0確立了確立了(應力應力)和和(速度速度)之間的關系方程。之間的關系方程。. ;2 ;2yuppxuppyyyxxx. ;）（xuyuyxyxxy不可壓縮流體為例不可壓縮流體為例66xuppxxx2xxp附加粘性正應力附加粘性正應力xupxxx22）正應力可看成由兩部分組成：）正應力可看成由兩部分組成：xxxxppp+附加粘性正應力附加粘性正應力壓力壓力即即67Pppxuxxxxx|00Pppxuxxxxx|00Pppxuxxxxx|00加速加速減速減速等速等速附加正應力的產生是由于速度沿流動方向

37、變化的結果附加正應力的產生是由于速度沿流動方向變化的結果:xxxxupxxx2xxxxppp表現為拉表現為拉表現為壓表現為壓3）由于附加粘性正應力的存在）由于附加粘性正應力的存在, 壓力在數值上一般不等于壓力在數值上一般不等于正應力值：正應力值：3)(zzyyxxpppP68 即：粘性流體中的壓強等于給定點上任意三個相互垂即：粘性流體中的壓強等于給定點上任意三個相互垂直微元面上法向應力的算術平均值。直微元面上法向應力的算術平均值。第五節(jié)、歐拉運動微分方程的積分第五節(jié)、歐拉運動微分方程的積分1、積分條件、積分條件69dzfdyfdxfdWzyxC0 , 0tutututpzyxdtudzdtud

38、ydtudxzyx,積分條件說明積分條件說明dzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyxzyx)(1)(70;1;1;1dtduzpfdtduypfdtduxpfzzyyxx;1;1;1dzdtdudzzpdzfdydtdudyypdyfdxdtdudxxpdxfzzyyxx左右相加左右相加71dzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyxzyx)(1)(不可壓縮流不可壓縮流體定常流動體定常流動:定常流動：流線、定常流動：流線、跡線跡線重合重合xxxxxxduuduuduudtudzdtudydtudxzyx;dp1

39、dW)2(2ud！分析！分析！72)2(12uddpdWCupW220)2(2upWd或或73gfffzyx, 0, 0)()(gzddzgdWCgugpz22不可壓縮理想流體沿不可壓縮理想流體沿流線的伯努利方程流線的伯努利方程CupW22那么那么xyz0g（3-34）項目項目名稱名稱物理意義物理意義位置水頭位置水頭單位重量流體的位置勢能單位重量流體的位置勢能 壓強水頭壓強水頭單位重量流體的壓強勢能單位重量流體的壓強勢能 速度水頭速度水頭單位重量流體的動能單位重量流體的動能 測壓管水頭測壓管水頭 單位重量流體的總勢能單位重量流體的總勢能 總水頭總水頭單位重量流體的機械能單位重量流體的機械能74

40、討論：討論：Cgugpz22zgpgu22gugpz22gpzCgugpzgugpz222222211176二、粘性不可壓縮流體二、粘性不可壓縮流體恒定流恒定流伯努利方程伯努利方程upfDtuD21積分條件積分條件：有勢質量力作用、不可壓縮、恒定流：有勢質量力作用、不可壓縮、恒定流0)2(0)2(0)2(222222zyxuupWzuupWyuupWxdtudzdtudydtudxzyx恒定流：恒定流：0770)()2(2222dzudyudxuupWdzyxRzyxdwdzudyudxu)(222切應力在流線微元長度切應力在流線微元長度dl上所作的功：上所作的功：0)2(2RwupWd沿流線

41、積分沿流線積分CwupWR22質量力為重力，垂直向上為質量力為重力，垂直向上為z軸正向，則有：軸正向，則有：CwupgzR2278212222222111RRwupgzCwupgz沿流線取沿流線取1、2兩點，則有兩點，則有)(1221222222111RRwwggugpzgugpz2222222111lhgugpzgugpz* 理想流體沿流線流動時，各水頭之間可能變化或理想流體沿流線流動時，各水頭之間可能變化或互相轉化，但互相轉化，但(水頭水頭 總和總和)是是(不變不變)的：的：* 實際流體沿流線流動時，各水頭之間可能變化或實際流體沿流線流動時，各水頭之間可能變化或互相轉化，且互相轉化，且(水

42、頭水頭 總和總和)(必然沿程降低必然沿程降低)。21HH HHH212222222111lhgugpzgugpz80一、流速勢函數一、流速勢函數與與拉氏方程拉氏方程;,的函數都只是yxuuyxxyyxuu0)(21yuxuxyxoy的必要條件。存在某個原函數其是),(yxdyudxuyx即即yxyxdududyyxxdd81yxuyux ;存在條件：存在條件：恒定、無旋。恒定、無旋。即即根據不可壓縮流體連續(xù)性方程根據不可壓縮流體連續(xù)性方程:0uuyxyx可得：可得：02222yx拉普拉斯方程拉普拉斯方程適用條件適用條件：恒定、不可壓縮流體有勢流動。恒定、不可壓縮流體有勢流動。82 無旋是勢函數

43、存在的（無旋是勢函數存在的（充分必要充分必要）條件，（）條件，（無旋流無旋流）也稱（也稱（有勢流有勢流）。）。無旋必有勢，有勢必無旋。無旋必有勢，有勢必無旋。勢函數的應用與意義勢函數的應用與意義02222yx),(yx伯努力方程壓強Pyxuyux ;Cgugpz22*應用應用83 把求解歐拉運動微分方程的把求解歐拉運動微分方程的非線性問題非線性問題化解為求解特化解為求解特定邊界條件下的拉普拉斯方程的定邊界條件下的拉普拉斯方程的線性問題線性問題。*意義意義二、流函數二、流函數1、流函數與拉普拉斯方程、流函數與拉普拉斯方程對恒定、平面流動對恒定、平面流動,由連續(xù)性方程有：由連續(xù)性方程有：0uuyxyxyxyxuu84的充要條件）的全微分（是某個函數是dyxdyudxuxy,-dyudxudxyxuyuyx ;流函數流函數存在條件：存在條件：恒定、不可壓縮流體平面流動。