高中數(shù)學(xué)必修5復(fù)習(xí)課件第31講(必修5)三角形中的三角函數(shù)

1、1.能熟練利用正弦定理、余弦定能熟練利用正弦定理、余弦定理將三角形的邊角轉(zhuǎn)化理將三角形的邊角轉(zhuǎn)化.2.掌握三角形形狀的判斷，三角掌握三角形形狀的判斷，三角形內(nèi)三角函數(shù)的求值及三角恒等式形內(nèi)三角函數(shù)的求值及三角恒等式的證明的證明.1.ABC中中,已知已知sinA=2sinBcosC,sin2A=sin2B+sin2C,則三角形的形則三角形的形狀是狀是( )DA.等邊三角形等邊三角形 B.等腰三角形等腰三角形C.直角三角形直角三角形 D.等腰直角三角形等腰直角三角形 由由sin2A=sin2B+sin2C,得得a2=b2+c2.所以所以ABC為直角三角形，為直角三角形，A=90，由由sinA=2s

2、inBcosC，得，得2sin2B=1.因?yàn)橐驗(yàn)锽為銳角，所以為銳角，所以sinB= ,從而從而B=45，C=45，所以所以ABC為等腰直角三角形，故選為等腰直角三角形，故選D.222.在銳角在銳角ABC中，已知中，已知cosA= , sinB= ,則則cosC的值是的值是( )B51335A. B. C. 或或 D.-56651665166556651665 因?yàn)橐驗(yàn)閏osA= ,sinB= ,所以所以sinA= = ,cosB= = ,所以所以cosC=cos-(A+B)=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=- + = .5133521 cos A121321 sin

3、 A455134512133516653.在在ABC中中,設(shè)命題設(shè)命題p: = = ,命命題題q:ABC是等邊三角形，則命題是等邊三角形，則命題p是命題是命題q的的( )CsinaBsinbCsincAA.充分不必要條件充分不必要條件 B.必要不充分條件必要不充分條件C.充要條件充要條件 D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件 p: = = ，由正弦定理由正弦定理 = = ，所以所以sinA=sinB=sinC,所以所以A=B=C a=b=c,故選故選C.sinaBsinbCsincAsinaAsinbBsincC4.在在ABC中，三個(gè)內(nèi)角滿足中，三個(gè)內(nèi)角滿足2A=B+C，且，且最大邊與

4、最小邊分別是方程最大邊與最小邊分別是方程x2-12x+32=0的兩根，則的兩根，則ABC外接圓的面積為外接圓的面積為( )AA.16 B.64C.124 D.156 由方程由方程x2-12x+32=0，解得，解得x=4或或x=8,不妨設(shè)不妨設(shè)b=8,c=4,因?yàn)橐驗(yàn)?A=B+C,所以所以A+B+C=3A=180,A=60,由余弦定理得，由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos60=64+16-284 =48.所以所以a=4 .由正弦定理，得由正弦定理，得2R=asinA= =8,R=4,所以所以S圓圓=R2=16,故選故選A.1234 3325.ABC中，已知中，已知a=x,b=2,B=4

5、5,若解此三若解此三角形有兩解角形有兩解,則則x的取值范圍是的取值范圍是 .(2,2 )2 sinA= x= x,因三角形有兩解，因三角形有兩解，所以所以45A2,且且 x1,解得解得2xb2+c2,或或90A180;(4)銳角三角形：若銳角三角形：若a為最大邊，且滿足為最大邊，且滿足a2b2+c2或或A為最大角，且為最大角，且0A90.2.在在ABC中常用的一些基本關(guān)系式中常用的一些基本關(guān)系式(1)A+B+C= ;(2)sin(B+C)= ,cos(B+C)= ，tan(B+C)= ;(3)sin = ;(4)cos = ;(5)tanA+tanB+tanC= .sinA-cosA-tanA

6、2BC2BCcos2Asin2AtanAtanBtanC例例1 在在ABC中，中，A、B、C所對的邊長分所對的邊長分別為別為a、b、c，且滿足，且滿足(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC，試判斷，試判斷ABC的形狀的形狀. (方法一方法一)化成角的關(guān)系求解化成角的關(guān)系求解.由條件可得，由條件可得，a2sin(A-B)-sin(A+B)=-b2sin(A+B)+sin(A-B).利用和差角公式展開利用和差角公式展開,得得a2cosAsinB=b2sinAcosB,由正弦定理由正弦定理,上式化為上式化為sin2AcosAsinB=sin2BsinAcosB.因?yàn)橐驗(yàn)閟inAsin

7、B0，所以，所以sinAcosA=sinBcosB,即即sin2A=sin2B,因?yàn)橐驗(yàn)锳、B為三角形的內(nèi)角，為三角形的內(nèi)角，所以所以A=B,或或A+B= ，故故ABC為等腰三角形或直角三角形為等腰三角形或直角三角形.2(方法二方法二)化為邊的關(guān)系求解化為邊的關(guān)系求解.由條件由條件(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC,可得可得(a2+b2)(acosB-bcosA)=(a2-b2)c(a2+b2)( - )=(a2-b2)c(a2+b2)(a2-b2)=(a2-b2)c2a2+b2=c2或或a=b.故故ABC的形狀為直角三角形或等腰三角形的形狀為直角三角形或等腰三角形.222

8、2acbc2222bcac三角形中的恒等式或三角形的形三角形中的恒等式或三角形的形狀判斷等問題，要注意根據(jù)條件的特狀判斷等問題，要注意根據(jù)條件的特點(diǎn)靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理點(diǎn)靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理.一般一般考慮兩個(gè)方向進(jìn)行變形，一個(gè)方向是考慮兩個(gè)方向進(jìn)行變形，一個(gè)方向是邊，走代數(shù)變形之路，通常是正弦定邊，走代數(shù)變形之路，通常是正弦定理、余弦定理結(jié)合使用；另一個(gè)方向理、余弦定理結(jié)合使用；另一個(gè)方向是角，走三角變形之路是角，走三角變形之路.例例2 在在ABC中，中，已知已知sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0，求角求角A、B、C的大小的大小. (方法一方法一

9、)由由sinA(sinB+cosB)-sinC=0，得得sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0，所以所以sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0,即即sinB(sinA-cosA)=0.因?yàn)橐驗(yàn)锽(0,)，所以，所以sinB0，從而，從而cosA=sinA,由由A(0,)，知，知A= ，從而，從而B+C= ,由由sinB+cos2C=0，得，得sinB+cos2( -B)=0,即即sinB-sin2B=0,亦即亦即sinB-2sinBcosB=0.由此得由此得cosB= ,B= ,C= ,所以所以A= ，B= ，C= .43434123512

10、43512(方法二方法二)由由sinB+cos2C=0，得，得sinB=-cos2C=sin( -2C).由由0B、C,所以所以B= -2C或或B=2C- ,即即B+2C= 或或2C-B= ,由由sinA(sinB+cosB)-sinC=0,得得sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0,所以所以sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0,32322322即即sinB(sinA-cosA)=0.因?yàn)橐驗(yàn)閟inB0，所以，所以cosA=sinA,由由A(0,),知知A= ，從而從而B+C= ,知知B+2C= 不合要求，不合要求，再由再由2C-B= ，

11、得，得B= ，C= ，所以所以A= ，B= ，C= .434322351243512 本題主要考查三角形問題等知識，本題主要考查三角形問題等知識，關(guān)鍵是運(yùn)用關(guān)鍵是運(yùn)用sin(A+B)=sinC代換及解題方向代換及解題方向的確定的確定.例例3 有一塊半徑為有一塊半徑為1 m,中心角為中心角為 的扇的扇形鐵皮材料，為了獲得面積最大的矩形形鐵皮材料，為了獲得面積最大的矩形鐵皮，工人師傅常讓矩形的一邊在扇形鐵皮，工人師傅常讓矩形的一邊在扇形上，然后作其最大的內(nèi)接矩形上，然后作其最大的內(nèi)接矩形.請求出最請求出最大面積大面積.3 如圖，設(shè)如圖，設(shè)COB=(0 ),則則BC=sin=AD,OB=cos.又又

12、 =tan ,所以所以O(shè)A= AD= sin，所以所以AB=cos- sin,則則S矩形矩形ABCD=sin(cos- sin)= sin2+ cos- = sin(2+ )- ,當(dāng)當(dāng)sin(2+ )=1,即即= 時(shí)，時(shí)，矩形面積取最大值矩形面積取最大值 m2.ADOA3333333333123636336366636 與圓相關(guān)的最值問題，常設(shè)角參與圓相關(guān)的最值問題，常設(shè)角參數(shù)（注意范圍），把題目中出現(xiàn)的邊數(shù)（注意范圍），把題目中出現(xiàn)的邊角用含角的三角函數(shù)表示，再轉(zhuǎn)化求角用含角的三角函數(shù)表示，再轉(zhuǎn)化求三角函數(shù)的最值三角函數(shù)的最值.其中確定是什么樣的其中確定是什么樣的三角形，用哪些定理或哪些邊角

13、關(guān)系，三角形，用哪些定理或哪些邊角關(guān)系，列出等式或不等式是關(guān)鍵列出等式或不等式是關(guān)鍵.1.解斜三角形問題往往用到正弦定理與余解斜三角形問題往往用到正弦定理與余弦定理以及三角變換，解題時(shí)角度的選取是弦定理以及三角變換，解題時(shí)角度的選取是關(guān)鍵關(guān)鍵.并關(guān)注角的取值范圍并關(guān)注角的取值范圍.如已知兩邊及其中如已知兩邊及其中一邊的對角解三角形，要注意解的情況一邊的對角解三角形，要注意解的情況.2.對于解斜三角形的實(shí)際應(yīng)用問題，要理對于解斜三角形的實(shí)際應(yīng)用問題，要理解題意，分清已知與所求，根據(jù)題意畫出示解題意，分清已知與所求，根據(jù)題意畫出示意圖，抽象或構(gòu)造出三角形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)意圖，抽象或構(gòu)造出三角形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形，要明確先用哪個(gè)公式或定理，化為解三角形，要明確先用哪個(gè)公式或定理，先求哪些量，確定解三角形的方法先求哪些量，確定解三角形的方法.在演算過在演算過程中，要算法簡練，算式工整、計(jì)算正確，程中，要算法簡練，算式工整、計(jì)算正確，還要注意近似計(jì)算的要求還要注意近似計(jì)算的要求.對于實(shí)際應(yīng)用問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語、對于實(shí)際應(yīng)用問題中的有關(guān)名詞、術(shù)語、要理解清楚，如坡度、俯角、仰角、方向角、要理解清楚，如坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等，正確畫出