專題9高考解題中的數(shù)學(xué)思想PPT課件

1、HUN-文科數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)最高層次的提煉與概括,數(shù)學(xué)思想方法較之?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)具有更高的層次,具有理性的位置,它是一種數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí),屬于思想和才干的范疇,它是數(shù)學(xué)知識(shí)的精華,是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.縱觀近幾年的高考試題,都加大了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的調(diào)查,把數(shù)學(xué)思想方法的調(diào)查寓于各部分知識(shí)的調(diào)查之中,以知識(shí)為載體,著重調(diào)查才干與方法標(biāo)題很常見(jiàn).預(yù)測(cè)2019年高考中,還會(huì)有較多的標(biāo)題以數(shù)學(xué)知識(shí)為背景,調(diào)查數(shù)學(xué)思想方法,對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的調(diào)查不會(huì)減弱,會(huì)更加鮮明,更加注重.對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)【函數(shù)與方程的思想】函數(shù)思想,就是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化的觀念,集合與對(duì)應(yīng)的思想,去分析和研討數(shù)學(xué)問(wèn)題

2、中的等量關(guān)系,建立或構(gòu)造函數(shù)關(guān)系,再運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問(wèn)題,到達(dá)轉(zhuǎn)化問(wèn)題的目的,從而使問(wèn)題獲得處理的思想.方程思想,就是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手,運(yùn)用數(shù)學(xué)言語(yǔ)將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型方程或方程組,經(jīng)過(guò)解方程或方程組,或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題,使問(wèn)題獲得處理的思想.對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)運(yùn)用函數(shù)思想處理問(wèn)題主要從下面四個(gè)方面著手:一是根據(jù)方程與函數(shù)的親密關(guān)系,可將二元方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)來(lái)處理;二是根據(jù)不等式與函數(shù)的親密關(guān)系,常將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)展處置;三是在處理實(shí)踐問(wèn)題時(shí),常涉及最值問(wèn)題,通常是經(jīng)過(guò)建立目的函數(shù),利用求函數(shù)最值的方法加以處理;四是中學(xué)數(shù)學(xué)中

3、的某些數(shù)學(xué)模型(如數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,利用函數(shù)相關(guān)知識(shí)或借助處置函數(shù)問(wèn)題的方法進(jìn)展處理.運(yùn)用方程思想處理問(wèn)題主要從以下四個(gè)方面著手:一是把問(wèn)題中對(duì)應(yīng)的知量與未知量建立相等關(guān)系,一致在方程中,經(jīng)過(guò)解方程處理;對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)(2019年上海)在平行四邊形ABCD中,A=,邊AB、AD的長(zhǎng)分別為2、1.假設(shè)M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn),且滿足=,那么的取值范圍是.3|BMBC|CNCDAMAN二是從分析問(wèn)題的構(gòu)造入手,找出主要矛盾,抓住某一個(gè)關(guān)鍵變量,將等式看成關(guān)于這個(gè)主變?cè)?常稱為主元)的方程,利用方程的特征解決;三是根據(jù)幾個(gè)變量間的關(guān)系,符合某些方程的性質(zhì)和特征(如利用根

4、與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程等),經(jīng)過(guò)研討方程所具有的性質(zhì)和特征處理;四是中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型(如函數(shù)、曲線等),經(jīng)常轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題去處理.熱點(diǎn)一:構(gòu)造函數(shù)性質(zhì)解題在解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題時(shí),常經(jīng)過(guò)構(gòu)造函數(shù),借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)求解.對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)【解析】(法一)如圖,由知AB=2,AD=1,A=可得ADBD,又因?yàn)?可得|CN|=2|BM|,假設(shè)設(shè)|BM|=x(0 x1),那么|CN|=2x,=(1-x),=x,=1,可知=(+)(+)=(+x)+(1-x)=1+x(1-x)+4(1-x)+x=-x2-2x+5=-(x+1)2+6,在0 x1時(shí),為減函

5、數(shù),所以25,答案為2,5.(法二)由法一,可知如圖建立平面直角坐標(biāo)系xDy,3|BMBC|CNCDDNDCBMADDCADAMANABBMADDNDCADADDCAMAN對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)設(shè)|BM|=a(0a1),那么|CN|=2a,|DN|=2(1-a),故A(0,1),C(,-1),M(,-a),=(,-a-1),=+(1-a)=(0,-1)+(1-a)(,-1)=(-a,a-2),可得=-a2-2a+5=-(a+1)2+6,可得25.【答案】2,5【歸納拓展】此題將向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為以x或a為變量的函數(shù),然后經(jīng)過(guò)函數(shù)的值域求出取值范圍.利用函數(shù)求最值時(shí)要留意自變量的取值范圍,如此題中假設(shè)忽

6、視0 x或a1,將得出錯(cuò)誤的范圍.33AM3ANADDC333AMANAMAN對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)熱點(diǎn)二:構(gòu)造函數(shù)模型解題在處理運(yùn)用問(wèn)題時(shí),將變量間的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系,經(jīng)過(guò)建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù),把所研討的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)問(wèn)題,到達(dá)化難為易,化繁為簡(jiǎn)的目的.(2019年湖南)某企業(yè)接到消費(fèi)3000臺(tái)某產(chǎn)品的A,B,C三種部件的訂單,每臺(tái)產(chǎn)品需求三種部件的數(shù)量分別為2,2,1(單位:件).知每個(gè)工人每天可消費(fèi)A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.該企業(yè)方案安排200名工人分成三組分別消費(fèi)這三種部件,消費(fèi)B部件的人數(shù)與消費(fèi)A部件的人數(shù)成正比,比例系數(shù)為k(k為正整數(shù)).對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)

7、(1)設(shè)消費(fèi)A部件的人數(shù)為x,分別寫出完成A,B,C三種部件消費(fèi)需求的時(shí)間;(2)假設(shè)這三種部件的消費(fèi)同時(shí)開(kāi)工,試確定正整數(shù)k的值,使完成訂單義務(wù)的時(shí)間最短,并給出時(shí)間最短時(shí)詳細(xì)的人數(shù)分組方案.【解析】(1)設(shè)完成A,B,C三種部件的消費(fèi)義務(wù)需求的時(shí)間(單位:天)分別為T1(x),T2(x),T3(x),由題設(shè)有T1(x)=,T2(x)=,T3(x)=,其中x,kx,200-(1+k)x均為1到200之間的正整數(shù).(2)完成訂單義務(wù)的時(shí)間為f(x)=maxT1(x),T2(x),T3(x),其定義域?yàn)閤|0 x,xN*.2 30006x1000 x2000kx1500200(1)k x2001

8、 k對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)易知,T1(x),T2(x)為減函數(shù),T3(x)為增函數(shù).留意到T2(x)=T1(x),2k于是當(dāng)k=2時(shí),T1(x)=T2(x),此時(shí)f(x)=maxT1(x),T3(x)=max,.由函數(shù)T1(x),T3(x)的單調(diào)性知,當(dāng)=時(shí)f(x)獲得最小值,解得x=.由于4445,而f(44)=T1(44)=,f(45)=T3(45)=,f(44)2時(shí),T1(x)T2(x),由于k為正整數(shù),故k3,1000 x15002003x1000 x15002003x40094009250113001325011對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)此時(shí)=.記T(x)=,(x)=maxT1(x),T(x),易知

9、T(x)是增函數(shù),那么f(x)=maxT1(x),T3(x)maxT1(x),T(x)=(x)=max,.由函數(shù)T1(x),T(x)的單調(diào)性知,當(dāng)=時(shí),(x)取最小值,解得x=.由于36,(37)=T(37)=.此時(shí)完成訂單義務(wù)的最短時(shí)間大于.1500200(1)k x1500200(1 3)x37550 x37550 x1000 x37550 x1000 x37550 x4001140011250925011375132501125011對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)當(dāng)k2時(shí),T1(x)0),那么h(x)=,當(dāng)x(0,1)時(shí),h(x)0,h(x)單調(diào)遞增.h(x)min=h(1)=4.3x3x2(3)(1

10、)xxx對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)一切x(0,+),2f(x)g(x)恒成立,ah(x)min=4.【答案】【歸納拓展】此題將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題,然,4后經(jīng)過(guò)導(dǎo)數(shù)判別單調(diào)性,求出最值.在多個(gè)字母變量的問(wèn)題中,選準(zhǔn)“主元往往是解題的關(guān)鍵.普通地,在一個(gè)含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中,確定適宜的變量和參數(shù),從而提示函數(shù)關(guān)系,使問(wèn)題更明朗化.或者含有參數(shù)的函數(shù)中,將函數(shù)自變量作為參數(shù),而參數(shù)作為函數(shù),更具有靈敏性,從而巧妙地處理有關(guān)問(wèn)題.對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)熱點(diǎn)四:方程在解析幾何中的運(yùn)用在解析幾何中,我們經(jīng)常將直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系,轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的方程,從方程的角度來(lái)研討、分析問(wèn)題.(2019年

11、廣東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,知橢圓C1:+=1(ab0)的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且點(diǎn)P(0,1)在C1上.(1)求橢圓C1的方程;(2)設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.22xa22yb對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)【解析】(1)由題意得故所求的橢圓方程為+y2=1.(2)由題意可知切線的斜率一定存在,設(shè)直線l的方程為y=mx+n,由y2=4my2-4y+4n=0,由題意得(-4)2-4m4n=0mn=1,2221,11abb222,1.ab22x2,4ymxnyxynm對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)又由x2+2(mx+n)2=2(1+2m2)x2+4mnx+2(n2-1)=0.

12、又由題意得(4mn)2-4(1+2m2)2(n2-1)=0n2=2m2+1,由、得或故直線l的方程為y=x+或y=-x-.【歸納拓展】此題利用方程的曲線將曲線有切點(diǎn)的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有實(shí)解的代數(shù)問(wèn)題.普通地,當(dāng)給出方程的解的情況求參數(shù)的22,12ymxnxy2,22mn2,22.mn 222222對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)范圍時(shí)可以思索運(yùn)用“判別式法,其中特別要留意解的范圍.總結(jié):(1)函數(shù)和方程是親密相關(guān)的,對(duì)于函數(shù)y=f(x),當(dāng)y=0時(shí),就轉(zhuǎn)化為方程f(x)=0,也可以把函數(shù)式y(tǒng)=f(x)看做二元方程y-f(x)=0;(2)函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化,對(duì)于函數(shù)y=f(x),當(dāng)y0時(shí),就轉(zhuǎn)化為不等

13、式f(x)0,借助于函數(shù)圖象與性質(zhì)處理有關(guān)問(wèn)題,而研討函數(shù)的性質(zhì),也離不開(kāi)解不等式;(3)數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù),用函數(shù)的觀念處置數(shù)列問(wèn)題非常重要;對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)(4)函數(shù)f(x)=(1+x)n(nN*)與二項(xiàng)式定理是親密相關(guān)的,利用這個(gè)函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以處理很多二項(xiàng)式定理的問(wèn)題;(5)解析幾何中的許多問(wèn)題,例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問(wèn)題,需要經(jīng)過(guò)解二元方程組才干處理,涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論;(6)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算,經(jīng)常需求運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法處理.【化歸與轉(zhuǎn)化的思想】轉(zhuǎn)化與化歸的思想,就是在研討和處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采

14、用某種方式,借對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)助某種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或知條件將問(wèn)題經(jīng)過(guò)變換加以轉(zhuǎn)化,進(jìn)而到達(dá)處理問(wèn)題的思想.等價(jià)轉(zhuǎn)化有一些方式可以遵照,總是將籠統(tǒng)轉(zhuǎn)化為詳細(xì),化復(fù)雜為簡(jiǎn)單(高維向低維的轉(zhuǎn)化,多元向一元的轉(zhuǎn)化,高次向低次的轉(zhuǎn)化等)、化未知為知.化歸與轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)是提示聯(lián)絡(luò),實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.除極簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題外,每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的處理都是經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化為知的問(wèn)題實(shí)現(xiàn)的.從這個(gè)意義上講,處理數(shù)學(xué)問(wèn)題就是從未知向知轉(zhuǎn)化的過(guò)程,是一步步轉(zhuǎn)化的過(guò)程.歷年高考,等價(jià)轉(zhuǎn)化思想無(wú)處不見(jiàn),我們要不斷培育和訓(xùn)練自覺(jué)的轉(zhuǎn)化認(rèn)識(shí),這將有利于強(qiáng)化處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)變才干,提高思維才干和技藝.對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)熱點(diǎn)一:普通問(wèn)題與特殊問(wèn)題

15、的化歸“特殊問(wèn)題往往比“普通問(wèn)題顯得簡(jiǎn)單、直觀和詳細(xì),容易解決,并且在特殊問(wèn)題的處理過(guò)程中,經(jīng)常孕育著普通問(wèn)題的處理方法.有些數(shù)學(xué)問(wèn)題,由于其特殊數(shù)量或位置關(guān)系,孤立地調(diào)查問(wèn)題本身,造成我們只見(jiàn)“樹木不見(jiàn)“森林,難以處理.因此解題時(shí),我們經(jīng)常將普通問(wèn)題與特殊問(wèn)題進(jìn)展轉(zhuǎn)化.(1)知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn=2an+1,那么Sn等于()對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)(A)2n-1.(B)()n-1.(C)()n-1.(D).(2)(2019年山東)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E,F分別為線段AA1,B1C上的點(diǎn),那么三棱錐D1-EDF的體積為.3223112n對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集

16、訓(xùn)【解析】(1)由Sn=2an+1可得Sn=2(Sn+1-Sn),即Sn+1=Sn,S1=a1=1,故Sn是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,故Sn=()n-1.(2)=111=.【答案】(1)B(2)【歸納拓展】(1)選取數(shù)列的特殊項(xiàng),(2)選取了特殊的E,F位置,顯然,當(dāng)普通成立時(shí),利用普通到特殊的轉(zhuǎn)化更簡(jiǎn)單.3232321DEDFV三棱錐1F D EDV三棱錐13121616對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)熱點(diǎn)二:正向思想與逆向思想的化歸在數(shù)學(xué)解題中,通常的思想方式是從知到結(jié)論,然而有些數(shù)學(xué)題按照這種思想方式解那么比較困難,而且經(jīng)常伴隨著較大的運(yùn)算量,有時(shí)甚至無(wú)法處理.在這種情況下,我們要多留意定理、公式、規(guī)

17、律性例題的逆用,正難那么反往往可以使問(wèn)題更簡(jiǎn)單.試求常數(shù)m的范圍,使曲線y=x2的一切弦都不能被直線y=m(x-3)垂直平分.對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)【解析】假設(shè)拋物線上兩點(diǎn)(x1,),(x2,)關(guān)于直線y=m(x-3)對(duì)稱,顯然m0,于是有(+)=m(x1+x2)-3,=-,那么2+x1+6m+1=0,由于存在x1R使上式恒成立,=()2-8(+6m+1)0,即(2m+1)(6m2-2m+1)0恒成立,所以2m+10,所以m-,21x22x1221x22x12221212xxxx1m21x2m21m2m21m12對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)即當(dāng)m-時(shí),拋物線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y=m(x-3)對(duì)稱,所以當(dāng)m-時(shí),

18、曲線y=x2的一切弦都不能被直線y=m(x-3)垂直平分.【歸納拓展】在解答問(wèn)題時(shí),正難那么反是轉(zhuǎn)換的一種有效手段,通常適用于正面情況比較多或者不容易求解時(shí),如此題中問(wèn)題的反面是存在一條弦能被直線y=m(x-3)垂直平分,解出問(wèn)題反面m的范圍,那么原問(wèn)題就出來(lái)了.1212對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)熱點(diǎn)三:命題與等價(jià)命題的化歸由命題A(或問(wèn)題A)可推出命題B(或問(wèn)題B),反之,命題B(或問(wèn)題B)亦可推出命題A(或問(wèn)題A).即A與B互為充要條件時(shí),稱為A與B等價(jià).利用這種等價(jià)性將原命題(或原問(wèn)題)轉(zhuǎn)化成易于處置的新命題(或新問(wèn)題)的方法可以把不熟習(xí)的問(wèn)題向熟習(xí)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化.(2019年江蘇)在平面直角坐標(biāo)系x

19、Oy中,圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,假設(shè)直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),那么k的最大值為.對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)【解析】直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)等價(jià)于直線y=kx-2與圓(x-4)2+y2=4相切于T,以切點(diǎn)T為圓心,1為半徑的圓T與圓C相外切,即有公共點(diǎn),如圖,tanA=tanBCA=,所以k的最大值tanTBC=tan2A=.1243【答案】【歸納拓展】此題經(jīng)過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化,將兩圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心距關(guān)系,然后轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的間隔,最終求出最值.43對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)總結(jié):常見(jiàn)的化歸方法:(

20、1)換元法:例如利用“換元將無(wú)理式化為有理式,高次問(wèn)題化為低次問(wèn)題;(2)數(shù)形結(jié)合法:把形(數(shù))轉(zhuǎn)化為數(shù)(形),數(shù)形互補(bǔ)、互換獲得問(wèn)題的解題思緒;(3)向量法(復(fù)數(shù)法):把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量(復(fù)數(shù))問(wèn)題;(4)參數(shù)法:經(jīng)過(guò)引入?yún)?shù),轉(zhuǎn)化問(wèn)題的方式,易于處理;(5)建模法:構(gòu)造數(shù)學(xué)模型,把實(shí)踐問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題或把一類數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一類數(shù)學(xué)問(wèn)題;對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)(6)坐標(biāo)法:以坐標(biāo)為工具,實(shí)現(xiàn)“數(shù)、“形的對(duì)應(yīng)、轉(zhuǎn)化;(8)特殊化法:將普通問(wèn)題特殊化,從特殊問(wèn)題的解題思緒中,尋覓一般問(wèn)題的解題戰(zhàn)略;(9)普通化方法:有時(shí)問(wèn)題的本質(zhì)特征能夠被詳細(xì)問(wèn)題所掩蓋,這時(shí)應(yīng)把特殊問(wèn)題普通化,尋覓解題思緒;(10

21、)加強(qiáng)命題法:即把命題結(jié)論加強(qiáng)為原命題的充分條件;(11)正與反的轉(zhuǎn)化;(12)函數(shù)與方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化;(13)空間與平面之間的轉(zhuǎn)化;(14)整體與部分的轉(zhuǎn)化等等.對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)【分類討論的思想】在研討和處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),當(dāng)問(wèn)題所給對(duì)象不能進(jìn)展一致研討,我們就需求根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的一樣點(diǎn)和不同點(diǎn),將對(duì)象區(qū)分為不同種類,然后逐類進(jìn)展研討和處理,從而到達(dá)處理整個(gè)問(wèn)題的目的,這一思想方法,我們稱它為“分類討論的思想.解答分類討論問(wèn)題時(shí),我們的根本方法和步驟是:首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍;其次確定分類規(guī)范,正確進(jìn)展合理分類,即規(guī)范一致、不漏不重、分類互斥(沒(méi)有反復(fù));再對(duì)

22、所分類逐步進(jìn)展討論,分級(jí)進(jìn)展,獲取階段性結(jié)果;最后進(jìn)展歸納小結(jié),綜合得出結(jié)論.對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)熱點(diǎn)一:根據(jù)數(shù)學(xué)概念、公式、定理、性質(zhì)的條件分類討論當(dāng)問(wèn)題中涉及的數(shù)學(xué)概念、定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法那么有范圍或條件限制,或者是分類給出的,在不同的條件下有不同的結(jié)論,或在一定的限制條件下才成立,需求分類討論.(1)(2019年全國(guó)新課標(biāo))當(dāng)0 x時(shí),4xlogax,那么a的取值范圍是()12對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)(A)(0,).(B)(,1).(C)(1,).(D)(,2).(2)(2019年江西)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),不等式|2x-1|+|2x+1|6的解集為.【解析】(1)由題意得,當(dāng)0a1時(shí),要使得4xlo

23、gax,(0 x),即當(dāng)0 x時(shí),函數(shù)y=4x在函數(shù)y=logax圖象的下方,又當(dāng)x=時(shí),=2,即函數(shù)y=4x過(guò)點(diǎn)(,2),22222212121212412對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)把點(diǎn)(,2)代入函數(shù)y=logax得a=,即a1時(shí),不符合題意,舍去,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a1,應(yīng)選B.(2)原不等式可化為,或,或,解得-x,即原不等式的解集為x|-x.【答案】(1)B(2)x|-x【歸納拓展】(1)中由于對(duì)數(shù)函數(shù)的概念中底數(shù)不同,函數(shù)單調(diào)性不同,進(jìn)展了分類討論,(2)中由于去絕對(duì)值進(jìn)展了分類討論.類似的還12222222121 2216xxx 112212216xxx 1221216xxx 3232

24、32323232有:直線的斜率、三種圓錐曲線的定義及位置、等比數(shù)列公比等.對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)熱點(diǎn)二:根據(jù)參數(shù)的變化情況分類討論普通地,遇到標(biāo)題中含有參數(shù)的問(wèn)題,經(jīng)常結(jié)合參數(shù)的意義和對(duì)結(jié)果的影響而進(jìn)展分類討論,如函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用、求最值、一元二次方程根的判別、直線斜率等.(2019年廣東)設(shè)a0,B=xR|2x2-3(1+a)x+6a0,D=AB.(1)求集合D(用區(qū)間表示);(2)求函數(shù)f(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax在D內(nèi)的極值點(diǎn).對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)【解析】(1)設(shè)g(x)=2x2-3(1+a)x+6a,=9a2-30a+9=3(a-3)(3a-1),當(dāng)a1時(shí),方程g(x)=2x2-3(

25、1+a)x+6a=0的判別式=9a2-30a+90,D=(0,+).當(dāng)a=時(shí),=0,此時(shí)B=x|x1,D=(0,1)(1,+).當(dāng)a0,方程g(x)=2x2-3(1+a)x+6a=0,有解為x1=,x2=,且x10 x2,D=(x2,+)13131323(1)93094aaa23(1)93094aaa對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)=(,+);當(dāng)0a0,g(0)=6a0,0,方程g(x)=2x2-3(1+a)x+6a=0,有解為x1=,x2=,且0 x10,g(0)=6a0,方程g(x)=2x2-3(1+a)x+6a=0,有解為x1=,x2=,且x10 x2,D=(x2,+)=(,+).(2)f(x)=6x2

26、-(1+a)x+a=6(x-a)(x-1),又a1,f(x)在R上的單調(diào)性如下23(1)93094aaa3423(1)93094aaa23(1)93094aaa23(1)93094aaa對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)表:當(dāng)a1時(shí),D=(0,+),f(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax在D內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)a和1.當(dāng)a=時(shí),由(1)知D=(0,1)(1,+),所以f(x)的極大值點(diǎn)為x=.當(dāng)0a時(shí),1顯然成立,1x(-,a)a(a,1)1(1,+)f(x)+0-0+f(x)極大值極小值1313131323(1)93094aaa23(1)93094aaa對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)不成立,假設(shè)a,解得a(a-3)0a(0,

27、),f(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax在D內(nèi)有一個(gè)極大值點(diǎn)a;當(dāng)a0時(shí),只須思索矛盾;f(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax無(wú)極值點(diǎn).綜上,當(dāng)a0時(shí),f(x)在D內(nèi)無(wú)極值點(diǎn);23(1)93094aaa29309aa1323(1)93094aaa13對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)當(dāng)0a時(shí),f(x)在D內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn)a;當(dāng)a=時(shí),f(x)在D內(nèi)有極大值點(diǎn);當(dāng)a0)連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡,加上A1、A2兩點(diǎn)所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線.(1)求曲線C的方程,并討論C的外形與m值的關(guān)系;對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)(2)當(dāng)m=-1時(shí),對(duì)應(yīng)的曲線為C1:對(duì)給定的m(-1,0)(0,+),對(duì)應(yīng)的曲

28、線為C2.設(shè)F1、F2是C2的兩個(gè)焦點(diǎn).試問(wèn):在C1上,能否存在點(diǎn)N,使得F1NF2的面積S=|m|a2?假設(shè)存在,求tanF1NF2的值,假設(shè)不存在,請(qǐng)闡明理由.【解析】(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M,其坐標(biāo)為(x,y),當(dāng)xa時(shí),由條件可得=m,即mx2-y2=ma2(xa),又A1(-a,0)、A2(a,0)的坐標(biāo)滿足mx2-y2=ma2,故依題意,曲線C的方程為mx2-y2=ma2.當(dāng)m-1時(shí),曲線C的方程為+=1,C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓;當(dāng)m=-1時(shí),曲線C的方程為x2+y2=a2,C是圓心在原點(diǎn)的圓;1MAk2MAkyxayxa222yxa22xa22yma對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)當(dāng)-1m0時(shí),曲線C的

29、方程為-=1,C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.(2)由(1)知,當(dāng)m=-1時(shí),C1的方程為x2+y2=a2;當(dāng)m(-1,0)(0,+)時(shí),C2的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-a,0),F2(a,0).對(duì)于給定的m(-1,0)(0,+),C1上存在點(diǎn)N(x0,y0)(y00)使得S=|m|a2的充要條件是22xa22yma22xa22yma1m1m對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)由得0|y0|a,由得|y0|=.當(dāng)0a,即m0,或0a,即-1m時(shí),不存在滿足條件的點(diǎn)N.當(dāng)m,0)(0,時(shí),22200020,0,121| |.2xyayam ym a|1m am|1m am152152|1m am152152152152對(duì)點(diǎn)集

30、訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)由=(-a-x0,-y0),=(a-x0,-y0),可得=-(1+m)a2+=-ma2.令|=r1,|=r2,F1NF2=,那么由=r1r2cos=-ma2,可得r1r2=-,從而S=r1r2sin=-=-ma2tan,于是由S=|m|a2,可得-ma2tan=|m|a2,即tan=-.綜上可得:1NF1m2NF1m1NF2NF20 x20y1NF2NF1NF2NF2cosma122sin2cosma12122|mm對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)當(dāng)m,0)時(shí),在C1上,存在點(diǎn)N,使得S=|m|a2,且tanF1NF2=2;當(dāng)m(0,時(shí),在C1上,存在點(diǎn)N,使得S=|m|a2,且tanF1NF2=-

31、2;當(dāng)m(-1,)(,+)時(shí),在C1上,不存在滿足條件的點(diǎn)N.【歸納拓展】在求解直線與圓錐曲線問(wèn)題時(shí),首先要判別圓錐曲線的類型,當(dāng)不能作出判別的,要進(jìn)展分類討論.總結(jié):常見(jiàn)的分類討論問(wèn)題有:(1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論:如絕對(duì)值的定義、不等式的定義、152152152152對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)二次函數(shù)的定義、直線與平面所成的角、直線的傾斜角、兩條直線所成的角等;(2)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論:如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零、偶次方根為非負(fù)、對(duì)數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求、不等式中兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)對(duì)不等號(hào)方向的影響等;(3)由函數(shù)的性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論;(4)由圖形的不確定性引起的分類

32、討論;(5)由參數(shù)的變化引起的分類討論,某些含參數(shù)的問(wèn)題,由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同,或者由于不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)求解或證明方法;(6)其他根據(jù)實(shí)踐問(wèn)題詳細(xì)分析進(jìn)展分類討論,如陳列、組合問(wèn)題,應(yīng)用問(wèn)題等.【數(shù)形結(jié)合的思想】數(shù)形結(jié)合思想,就是把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和圖形結(jié)合起來(lái)調(diào)查的思想方法,即根據(jù)處理問(wèn)題的需求,可以把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)和特征去研討,或者把圖形的性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題去研討.數(shù)形結(jié)合思想,不僅是一種重要的解題方法,而且也是一種重要的思想方法,在高考中經(jīng)常調(diào)查.對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)數(shù)形結(jié)合的思想方法運(yùn)用廣泛,常見(jiàn)的如在解方程和解不等式問(wèn)題中,

33、在求函數(shù)的值域、最值問(wèn)題中,在求三角函數(shù)問(wèn)題中,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑,而且能防止復(fù)雜的計(jì)算與推理,大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)熱點(diǎn)一:代數(shù)問(wèn)題幾何化以形助數(shù)以形助數(shù)就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題中“數(shù)的構(gòu)造,構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形,并利用幾何圖形的特征,規(guī)律來(lái)研討處理問(wèn)題,這樣可以化抽象為直觀,易于顯顯露問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)絡(luò),同時(shí)借助幾何直觀審題,還可以防止一些復(fù)雜的數(shù)字討論.“以形助數(shù)中的“形,或有形或無(wú)形.假設(shè)有形,那么可為圖表與模型,假設(shè)無(wú)形,那么可另行構(gòu)造或聯(lián)想.因此“以形助數(shù)的途徑大體有三種:一是運(yùn)用圖形;二是構(gòu)造圖形;三是借助于代數(shù)式的幾何意義.對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)(1)(2

34、019年天津)知函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=kx-2的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn),那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是.(2)(2019年江蘇)知正數(shù)a,b,c滿足:5c-3ab4c-a,clnba+clnc,那么的取值范圍是.2|1|1xxba【解析】對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)所以0k1或1kkBA=4,k的取值范圍為(0,1)(1,4).(法二)直接法:要使函數(shù)y=與直線y=kx-2恰好有兩個(gè)交點(diǎn),必需使直線y=kx-2與函數(shù)兩段每段各有一個(gè)交點(diǎn),所以當(dāng)x(-,-1)(1,+)時(shí),方程x+1=k1x-2得k1=1+,在(-,-1)與(1,+)單調(diào)遞減,故k1(-2,1)(1,4);當(dāng)x-1,1),由-x-1=k2x-2(k2-

35、1),2|1|1xx1(11),1( 11)xxxxx 或3x(1)(法一)數(shù)形結(jié)合圖象法,要使函數(shù)y=與直線y=kx-2恰好有兩個(gè)交點(diǎn),如圖,由于y=kx-2過(guò)定點(diǎn)B(0,-2).2|1|1xx1(11),1( 11)xxxxx 或?qū)c(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)有x=,-10或k2-2,所以k1(-,-2(0,+),那么直線y=kx與y=在每一段函數(shù)有且只需一個(gè)交點(diǎn),那么k同時(shí)滿足,故k(0,1)(1,4).(2)由題中條件可轉(zhuǎn)化為:令=x,=y,211k 211k 2|1|1xx1(11),1( 11)xxxxx 或35,4,e ,acabccabccbcacbc對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)標(biāo)題轉(zhuǎn)化為:知x,y滿足

36、求的取值范圍.作出如下圖的可行域,其中C(0.5,3.5),可以求出過(guò)原點(diǎn)O與函數(shù)y=ex的相切的切線是y=ex,且切點(diǎn)P在A,B之間,所以ekOC=7,所以的取值范圍是e,7.35,4,e ,0,0,xxyxyyxyyxyxba【答案】(1)(0,1)(1,4)(2)e,7對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)【歸納拓展】(1)利用圖象判別兩函數(shù)的交點(diǎn),或構(gòu)造兩函數(shù)判別方程解的問(wèn)題時(shí),要留意圖象的準(zhǔn)確性和全面性.(2)此題中參數(shù)比較多,假設(shè)采用代數(shù)法很難求解.假設(shè)利用的幾何意義,視為直線的斜率,就可以利用線性規(guī)劃知識(shí)求解.ba對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)熱點(diǎn)二:幾何問(wèn)題代數(shù)化以數(shù)輔形以數(shù)輔形就是根據(jù)幾何圖形的特征,建立直角坐

37、標(biāo)系(或空間直角坐標(biāo)),構(gòu)造出與之相應(yīng)的代數(shù)方程或函數(shù)解析式,并利用代數(shù)方程的運(yùn)算來(lái)求解幾何問(wèn)題,運(yùn)用代數(shù)方法研討幾何問(wèn)題.“以數(shù)輔形中的“數(shù),普通是坐標(biāo)的運(yùn)算.因此“以數(shù)輔形的途徑大體有三種:一是解析幾何,二是向量法,三是函數(shù).(1)(2019年四川)函數(shù)y=ax-(a0,且a1)的圖象能夠是()1a對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)(2)(2019年江蘇)如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊CD上,假設(shè)=,那么的值是.2ABAF2AEBF對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)【解析】(1)(法一)當(dāng)a1時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,由于01,函數(shù)圖象應(yīng)該向下平移不超越1個(gè)單位,根據(jù)選項(xiàng)排除A、B;當(dāng)0a1,此時(shí)函數(shù)圖象向下平移超越1個(gè)單位,也即是與y軸交點(diǎn)應(yīng)該在x軸下方,所以選擇D.(法二)由解析式知函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(-1,0),所以選D.(2)以AB作x軸,AD作y軸建立坐標(biāo)系xOy,那么A(0,0),B(,0),C(,2),E(,1),設(shè)F(x,2),=(x,2),=(,0),由于=,所以x=,x=1,=(,1),=(1-,2),所以=(1-)+2=.【答案】(1)D(2)1a1a222AFAB2ABAF222AE2BF2AEBF2222對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)【歸納拓展】(1)根據(jù)函數(shù)圖象,判別函數(shù)解析式時(shí),要從函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、正負(fù)性、變換趨勢(shì)、特殊點(diǎn)等性質(zhì)入手.(2)此題假設(shè)采用基向