三角函數(shù)恒等變形小結(jié)

1、三角函數(shù)、三角恒等變形三角函數(shù)、三角恒等變形 小結(jié)與復(fù)習(xí)小結(jié)與復(fù)習(xí)1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：cossintan22cossin1(2) 商數(shù)關(guān)系：商數(shù)關(guān)系：(1) 平方關(guān)系：平方關(guān)系：【基本公式【基本公式】3、兩角和與差的三角函數(shù)公式：、兩角和與差的三角函數(shù)公式： ) cos( sinsincoscos ) sin( sincoscossin ) tan(.tantan1tantan 4、二倍角公式：、二倍角公式： cossin2 sin2 22sincos cos21cos22 2sin21 2tan1tan2 tan2升降冪公式：升降冪公式： 2cos22c

2、os1 2sin22cos1 5、半角公式：、半角公式：2cos12sin2cos12coscos1cos12tancos1sin2tansincos12tan12tan2sin2 2tan12tan1cos22 2tan12tan2tan2 萬能公式：萬能公式：xbxacossin 22ba )cossin(2222xbabxbaa 22ba )cossinsin(cosxx 22ba . )sin( xtan, ).ba ba 其其中中由由（的的象象限限共共同同確確定定)sin(cossin22 xbaxbxa6 6、輔助角公式、輔助角公式7、積化和差、和差化積公式：、積化和差、和差化積公

3、式：1sincossin()sin()2；1cossinsin()sin()2；1coscoscos()cos()2；1sinsincos()cos().2 ；2cos2sin2sinsin；2sin2cos2sinsin；2cos2cos2coscos.2sin2sin2coscos1,1 1,1 奇函數(shù)奇函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù) 2 2 2 R R R 【三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)【三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)】222k,2k,()kZ3222k,2k,()kZ2k,2k ,()kZ2k ,2k,()kZ2,()xkkZ 0(, ),()kkZ ,()xkkZ 02(, ),()kkZ 正余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)

4、正余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)R 正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)02(, ),()kkZ 的圖象及性質(zhì)sin()yAx定義域值域圖象變換奇偶性周期性單調(diào)性對稱性1理解三角函數(shù)中的理解三角函數(shù)中的4個個“三三”：（1）從知識層面看：三角函數(shù)公式系統(tǒng)的三條主線）從知識層面看：三角函數(shù)公式系統(tǒng)的三條主線同角關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、變換公式（和、差、倍、半角）同角關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、變換公式（和、差、倍、半角）.（2）從問題層面看：三角變換三大問題）從問題層面看：三角變換三大問題求值、化簡、證明求值、化簡、證明.（3）從方法層面看：）從方法層面看：“三個統(tǒng)一三個統(tǒng)一”解決三角函數(shù)問解決三角函數(shù)問題時要從題時

5、要從“統(tǒng)一角度、統(tǒng)一函數(shù)名、統(tǒng)一運(yùn)算結(jié)構(gòu)統(tǒng)一角度、統(tǒng)一函數(shù)名、統(tǒng)一運(yùn)算結(jié)構(gòu)”方方面思考，這也是審題、解題的算法基礎(chǔ)面思考，這也是審題、解題的算法基礎(chǔ).（4）從算法層面看：使用公式的三重境界）從算法層面看：使用公式的三重境界順用、逆用、變用順用、逆用、變用.【知識導(dǎo)析【知識導(dǎo)析】 2理解三角恒等變換與代數(shù)變換的區(qū)別理解三角恒等變換與代數(shù)變換的區(qū)別. 3歸納并掌握三角恒等變換在研究相關(guān)函數(shù)性質(zhì)時歸納并掌握三角恒等變換在研究相關(guān)函數(shù)性質(zhì)時的方法流程的方法流程. 代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換對于三角變換，由于不同的三角函數(shù)式不僅會有對于三角變換，由于不同

6、的三角函數(shù)式不僅會有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會有所包含的角，結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，因此三以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之間的聯(lián)系，這是三角式恒等變換的重要特點(diǎn)間的聯(lián)系，這是三角式恒等變換的重要特點(diǎn) 4由于向量與三角函數(shù)之間天然的聯(lián)系，注意收集由于向量與三角函數(shù)之間天然的聯(lián)系，注意收集并積累向量與三角函數(shù)交匯的問題并積累向量與三角函數(shù)交匯的問題.例例1. 設(shè)設(shè).)cos(,20,2,32)2sin(,91)2cos(的值的值求求且且 ,2)2()

7、2( 分析分析:.12cos2)cos(2 解：解：,20,2 ,224,24 )2(cos1)2sin(2 ,954 )2(sin1)2cos(2 ,35 )2()2cos(2cos )2sin()2sin()2cos()2cos( 329543591 .2757 12cos2)cos(2 .729239 例例2. 已知：已知：2sincos2sinsincossin ，求證：求證：1cos2cos2 .2 證明：證明： 由由得得22(sincos )4sin ，sincos2sin ，即即212sincos4sin ，2sincossin ，又又2212sin4sin ，即即1cos21c

8、os212422 ，1cos2cos2 .2 變式：變式： 已知已知，2sin44cos3yxyx求證：求證：.22121 yx證明：證明：，2sin44cos3yxyx由由得得22sin44cos3x22sin44cos3y222sin44cos1x222sin44cos1y222sin42sin22222sin42sin2212sin22sin212sin22sin22)2sin1(2)2sin1()2sin1()2sin1(2121yx.2；）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（；（）函數(shù)的周期）函數(shù)的周期（；函數(shù)的最大值、最小值函數(shù)的最大值、最小值時，時，）當(dāng)）當(dāng)（：，求，求，已知已

9、知32441sincossin32cos322 xRxxxxxy22cos12sin322cos13xxxy 22cos2sin3 xx解：解：2)2cos212sin23(2 xx2)62sin(2 x， 44)1( x. 32362 ， x. 123)62sin(， x，32min y.4max y？經(jīng)過怎樣的變化得到的經(jīng)過怎樣的變化得到的函數(shù)的圖象是函數(shù)函數(shù)的圖象是函數(shù)）（xysin4 3 32 例例3：)(22362223Zkkxk ）由）由（）（得得Zkkxk 326 xxxxy22sincossin32cos3 函數(shù)函數(shù). )(326Zkkk ，減區(qū)間：減區(qū)間：；原函數(shù)周期為原函數(shù)

10、周期為 22)2(T2)62sin(2 xy由（由（1）知：）知：向左平移向左平移/6/6個單位長度個單位長度第第1步步: y=sinx 的圖象的圖象 y=sin(x + )的圖象的圖象6 縱坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)不變各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的1/21/2倍倍橫坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)不變第第2步步: y=sin(x+ )的圖象的圖象 y=sin(2x+ )的圖象的圖象6 6 ？經(jīng)過怎樣的變化得到的經(jīng)過怎樣的變化得到的函數(shù)的圖象是正弦函數(shù)函數(shù)的圖象是正弦函數(shù)）（xysin4 各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2 2倍倍各點(diǎn)沿各點(diǎn)沿y y軸向上平移軸向上平移2 2個單位長度個單

11、位長度知：知：由原函數(shù)由原函數(shù)2)62sin(2 xy第第3步步: y=sin(2x+ )的圖象的圖象 y=2sin(2x+ )的圖象的圖象6 6 第第4步步: y=2sin(2x+ )的圖象的圖象 y=2sin(2x+ )+2的圖象的圖象6 6 向左平移向左平移/12/12個單位長度個單位長度第第1步步: y=sinx 的圖象的圖象 y=sin2x 的圖象的圖象第第2步步: y=sin2x的圖象的圖象 y=sin(2x+ )的圖象的圖象6 縱坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)不變各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的1/21/2倍倍？經(jīng)過怎樣的變化得到的經(jīng)過怎樣的變化得到的函數(shù)的圖象是正弦函數(shù)函數(shù)的圖

12、象是正弦函數(shù)）（xysin4 知：知：由原函數(shù)由原函數(shù)2)62sin(2 xy橫坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)不變各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2 2倍倍第第3步步: y=sin(2x+ )的圖象的圖象 y=2sin(2x+ )的圖象的圖象6 6 各點(diǎn)沿各點(diǎn)沿y軸向上平移軸向上平移2 2個單位長度個單位長度第第4步步: y=2sin(2x+ )的圖象的圖象 y=2sin(2x+ )+2的圖象的圖象6 6 方法方法2： 例例4. 已知已知:).0(cossin2sin ，y,cossin t令令.的最大值和最小值的最大值和最小值求出求出 y解：解：，)0(cossincossin2 y cos

13、sin212 t則則 2sin1 ，212sint tttf 21)(45)21(2 t)4sin(2cossin t又又， 0，4344 1)4sin(22 21， t，上上是是增增函函數(shù)數(shù)在在又又21,145)21()(2 ttf，上是減函數(shù)上是減函數(shù)在在2,21，1)1( f，45)21( f，12)2( f，)21()2()1(fff .145minmax yy，xyO4 43 例例5.設(shè)關(guān)于設(shè)關(guān)于x的函數(shù)的函數(shù)12cos2sin22 axaxy的最小值為的最小值為 f(a)， (1) 寫出寫出 f(a)的表達(dá)式；的表達(dá)式；(2)試確定能使試確定能使21)( af的的a的值的值,并求此

14、時函數(shù)并求此時函數(shù)y的最大值的最大值.解：解：，224)2(cos222 aaax.1,1 t時，時，即，即當(dāng)當(dāng)212 aa1222min aay時，時，即，即當(dāng)當(dāng)22121 aa，2242min aay時，時，即，即當(dāng)當(dāng)212 aa1222min aay1 a41 )2(41)22(224)2(1)(2aaaaaaaf)12(cos2cos2)1(2 axaxy令令,cos xt 則則，224)2(222 aaaty解：解：時，時，當(dāng)當(dāng)2 a1)( af.無解無解時，時，當(dāng)當(dāng)22 a224)(2 aaaf21 即即0342 aa解得：解得：31 aa或或(舍舍)時，時，當(dāng)當(dāng)2 aaaf41)

15、( 21 21 解得：解得：81 a(舍舍)綜上所述綜上所述:時，時，1 a，21)21(cos22 xy, 1,1cos x時，時，當(dāng)當(dāng)1cos x即即時，時，)(2Zkkx .5max y )2(41)22(224)2(1)(2aaaaaaaf由（由（1）知：）知： 例例6. 把一段半徑為把一段半徑為R的圓木鋸成截面為矩形的木料，的圓木鋸成截面為矩形的木料，怎樣鋸法能使截的面積最大？怎樣鋸法能使截的面積最大？ABCD解：解： 如圖設(shè)矩形長為如圖設(shè)矩形長為 x ，寬為，寬為 y , 則則xyS矩形矩形222)2( Ryx)4(222222xRxyxS矩形矩形2244xRx 42224)2(R

16、Rx當(dāng)當(dāng)222Rx 即即Rx2時，時，矩形面積最大矩形面積最大. 此時此時，yRx2答：答：圓木截面為正方形時，截的面積最大圓木截面為正方形時，截的面積最大.R2另解：另解： 如圖設(shè)如圖設(shè)， DBC則則， sin2cos2RCDRBC CDBCS矩形矩形 sincos42R 2sin22R 當(dāng)當(dāng)12sin 即即 902 時，時， 45 矩形面積最大矩形面積最大. 此時此時答：答：圓木截面為正方形時，截的面積最大圓木截面為正方形時，截的面積最大.CDBC ABCDR2,12sin .22RS矩形矩形 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí).有一塊半徑為有一塊半徑為1，圓心角為，圓心角為60的扇形鋼板，的扇形鋼板，從這

17、個扇形中切割下一個矩形，即矩形的各個頂點(diǎn)都在從這個扇形中切割下一個矩形，即矩形的各個頂點(diǎn)都在扇形的半徑或弧上，求這個內(nèi)接矩形的最大面積扇形的半徑或弧上，求這個內(nèi)接矩形的最大面積.OAB解：解：如圖扇形如圖扇形AOB, 由題意矩形的截法有兩種由題意矩形的截法有兩種. （1）內(nèi)接矩形的一邊在扇形的半徑上時）內(nèi)接矩形的一邊在扇形的半徑上時.（2）內(nèi)接矩形有兩個頂點(diǎn)在扇形的弧上時）內(nèi)接矩形有兩個頂點(diǎn)在扇形的弧上時. QPRSOABPQRS，設(shè)設(shè) AOPOROSRSPS ，則則 sin sin33cos RS PQRSSRSPS 2sin33cossin 22cos1332sin21 632cos632sin21 63)2cos212sin23(33 63)302sin(33 30 .63max ）（PQRSSOABQPRS（1）23090 當(dāng)當(dāng)即即時，時，060 ，30230150 . （2）OABPQRSMNT設(shè)設(shè),POM sincos ,MPOM ，則則 由對稱性，由對稱性， tan30NSON 3MP 3NS 3sin , MNOMONcos3sin,PS 2PQRSSMP PS2sin(