第七章第1節(jié)向量極其線性運算ppt課件

1、向量及其線性運算第一節(jié)一、空間直角坐標(biāo)系二、向量及其運算三、向量的坐標(biāo)四、小結(jié)1、空間點的直角坐標(biāo)平面直角坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)系xyoP),(yxxyP點點),(yx圖形圖形方程方程.面面幾幾何何問問題題可可以以用用代代數(shù)數(shù)方方法法解解決決平平:問題問題?數(shù)數(shù)方方法法解解決決空空間間幾幾何何問問題題能能否否用用代代一、空間直角坐標(biāo)系x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點定點o空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 三個坐標(biāo)軸的正方向三個坐標(biāo)軸的正方向符合右手系符合右手系.即以右手握住即以右手握住z軸，軸，當(dāng)右手的四個手指當(dāng)右手的四個手指從正向從正向x軸以軸以2 角角 度轉(zhuǎn)向正向度轉(zhuǎn)向正向y軸軸時，大拇指的指

2、向時，大拇指的指向就是就是z軸的正向軸的正向. 幾個基本概念、空間直角坐標(biāo)系) 1 (xyozxoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限、坐標(biāo)面及卦限)2(、坐標(biāo))3(,P對于空間點對于空間點xyzoP與與三三坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸交交于于軸軸的的平平面面點點作作垂垂直直于于三三個個坐坐標(biāo)標(biāo)過過,P,點點zyxxzy),(zyxP11,),(點的坐標(biāo)點的坐標(biāo)為為稱稱Pzyxx為橫坐標(biāo)為橫坐標(biāo)x為縱坐標(biāo)為縱坐標(biāo)y為豎坐標(biāo)為豎坐標(biāo)z顯然顯然)0 , 0 , 0(O),(00 xAAB),(00 yBC),(zC00:問題問題?),(在什么位置在什么位置121P2、空間

3、兩點間的距離到原點的距離、點),() 1 (zyxPxyzo),(zyxPABCQ222QPOQOp222zOCQP而而222AQOAOQ22OBx 22yx 2222zyxOP222zyxOP即即設(shè)設(shè)),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點點xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知22212NMNMd(2)、空間兩點間的距離,22221NMPNPM,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空間兩點間距離公式

4、空間兩點間距離公式特殊地：若兩點分別為特殊地：若兩點分別為,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M例例 1 1 求證以求證以)1 , 3 , 4(1M、)2 , 1 , 7(2M、)3 , 2 , 5(3M三點為頂點的三角形是一個等腰三角形三點為頂點的三角形是一個等腰三角形.解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原結(jié)論成立原結(jié)論成立.解解設(shè)設(shè)P點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為),0 , 0 ,(x因因為為P在在x軸軸上上， 1P

5、P 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求點為所求點為).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M為為起起點點，2M為為終終點點的的有有向向線線段段.1M2M a21MM模長為模長為1 1的向量的向量. .21MM00a零向量：零向量：模長為模長為0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .單位向量：單位向量：1、向量的概念或或或或或或二、向量及其運算自由向量：自由向量：不考慮起點位

6、置的向量不考慮起點位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .負向量：負向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向徑：向徑：aba a空間直角坐標(biāo)系中任一點空間直角坐標(biāo)系中任一點 與原點與原點構(gòu)成的向量構(gòu)成的向量. . OMM1 加法：加法：cba abc平行四邊形法則平行四邊形法則特殊地：假設(shè)特殊地：假設(shè)ababc|bac 分為同向和反向分為同向和反向bac|bac 三角形法則三角形法則2、向量的加減法bac向量的加法符合下列運算規(guī)律：向量的加法符合下列運算規(guī)律：（1 1交換律：交換律：.abba （2 2結(jié)合律：結(jié)合律：

7、cbacba )().(cba （3）. 0)( aa2 減法減法)( baba abcbabac )(ba ba ab設(shè)設(shè) 是是一一個個數(shù)數(shù)，向向量量a與與 的的乘乘積積a 規(guī)規(guī)定定為為, 0)1( a 與與a同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反反向向，|aa aa2a21 3、向量與數(shù)的乘法數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：（1 1結(jié)合律：結(jié)合律：)()(aa a)( （2 2分配律：分配律：aaa )(baba )(.ababa ，使，使一的實數(shù)一的實數(shù)分必要條件是：存在唯分必要條件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末

8、向量設(shè)向量設(shè)向量定理定理0兩個向量的平行關(guān)系兩個向量的平行關(guān)系同方向的單位向量，同方向的單位向量，表示與非零向量表示與非零向量設(shè)設(shè)aa0按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量一個與原向量同方向的單位向量.例例1 1 化化簡簡 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 例例2 2 試用向量方法證明：對角線互相平分試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形的四邊形必是平行四邊形. .證證AMMC

9、BMMD AD AM MDMC BMBC AD與與 平行且相等平行且相等,BC結(jié)論得證結(jié)論得證.ABCDMab1、向量在軸上的投影與投影定理.上的有向線段上的有向線段是軸是軸，設(shè)有一軸設(shè)有一軸uABuuAB.ABABABuuABuABAB ，即，即的值，記作的值，記作上有向線段上有向線段叫做軸叫做軸那末數(shù)那末數(shù)是負的，是負的，軸反向時軸反向時與與是正的，當(dāng)是正的，當(dāng)向時向時軸同軸同與與，且當(dāng)，且當(dāng)滿足滿足如果數(shù)如果數(shù)三、向量的坐標(biāo)ouAB1軸軸同同方方向向的的單單位位向向量量，是是與與設(shè)設(shè)ue.)(eABAB 的相互位置如何，的相互位置如何，三點三點軸上任意三點，不論這軸上任意三點，不論這是是

10、設(shè)設(shè)uCBA,eBCeABeAC)()()( 即即,)(eBCAB .BCABAC ,BCABAC e證證,1uOA ,1euOA 故故eueu12 .)(12euu ouAB1e1u2u,2euOB 同理，同理，OAOBAB 于是于是空間兩向量的夾角的概念：空間兩向量的夾角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a與與向向量量b的的夾夾角角),(ba ),(ab 類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在它們的夾角可在0與與 之間任意取值之間任意取值. 0(

11、) 空間一點在軸上的投影空間一點在軸上的投影u AA 過過點點A作作軸軸u的的垂垂直直平平面面，交交點點A 即即為為點點A在在軸軸u上上的的投投影影.空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影uAA BB 已知向量的起點已知向量的起點A和終點和終點B在在軸軸u上的投影分別為上的投影分別為BA ,那那么軸么軸u上的有向線段上的有向線段BA 的的值，稱為向量在軸值，稱為向量在軸u上的投影上的投影.ABjuPr.BA 向向量量AB在在軸軸u上上的的投投影影記記為為關(guān)于向量的投影定理關(guān)于向量的投影定理1 1） 向量向量AB在軸在軸u上的投影等于向量的模乘以上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦

12、：軸與向量的夾角的余弦：ABjuPr cos| AB 證證uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u 定理定理1 1的說明：的說明：投影為正；投影為正；投影為負；投影為負；投影為零；投影為零；uabc(4) 相等向量在同一軸上投影相等；相等向量在同一軸上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 關(guān)于向量的投影定理關(guān)于向量的投影定理2 2）兩兩個個向向量量的的和和在在軸軸上上的的投投影影等等于于兩兩個個向向量量在在該該軸軸上上的的投投影影之之和和. .PrPr)(Pr2121ajajaajuuuAA BB CC （可推廣到有限多個）（可推廣到有限多個）u1a2a2、

13、向量的坐標(biāo)表達式標(biāo)表達式、起點在原點向量的坐) 1 (xyzo基本單位向量基本單位向量ikijk),(,zyxPa終點為終點為為起點在原點為起點在原點設(shè)向量設(shè)向量a),(zyxPjABCAOi xBOj yCOkzQQAAOQOBOi xj yi xPOaPQQOCOQOkzj yi x的向量的向量起點在原點終點為起點在原點終點為),(zyxPPOa坐標(biāo)表達式坐標(biāo)表達式kzj yi xa也可記為也可記為,zyxa 其其中中,在在三三坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸上上的的投投影影為為azyx的的坐坐標(biāo)標(biāo)稱稱為為akzj yi x,.在三軸上的分向量在三軸上的分向量稱為稱為a顯然顯然,000O,001i,010j,

14、100k式、任一向量的坐標(biāo)表達)2(,),(為為起起點點是是以以設(shè)設(shè)111zyxABAa為終點的向量為終點的向量以以),(222zyxBxyzoABaBAaAOBO)(kzjyix222)(kzjyix111kzzjyyixx)()()(121212,121212zzyyxxa即即(3)、向量運算的坐標(biāo)表達式、向量運算的坐標(biāo)表達式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 2例例,451321ba

15、已知已知ba32 求求:解解 ba32,45133212,12153642,6191解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 設(shè)設(shè)),(zyxM為直線上的點，為直線上的點，例例 3 3 設(shè)設(shè)),(111zyxA和和),(222zyxB為為兩兩已已知知點點，而而在在AB直直線線上上的的點點M分分有有向向線線段段AB為為兩兩部部分分AM、MB，使使它它們們的的值值的的比比等等于于某某數(shù)數(shù))1( ，即即 MBAM，求求分分點點的的坐坐標(biāo)標(biāo). ABMxyzo由題意知：由題意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz

16、 ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM為為有有向向線線段段AB的的定定比比分分點點.M為為中中點點時時，,221xxx ,221yyy .221zzz 非零向量非零向量 的方向角：的方向角：a非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 3、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式xyzo 1M 2M 由圖分析可知由圖分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR

17、向量模長的坐標(biāo)表示式向量模長的坐標(biāo)表示式21212121RMQMPMMM ,zyxaaaaMM21設(shè)設(shè)0222 zyxaaa當(dāng)當(dāng) 時，時，,cos222zyxxxaaaaaa ,cos222zyxyyaaaaaa .cos222zyxzzaaaaaa 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：單位向量的方向余弦為特殊地：單位向量的方向余弦為例例 4 4 求求平平行行于于向向量量kjia676 的的單單位位向向量量的的分分解解式式. 解解所求向量有兩個，一個與所求向量有兩個，一個與 同向，

18、一個反向同向，一個反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 解解設(shè)設(shè)向向量量21PP的的方方向向角角為為 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos .32,3 設(shè)設(shè)2P的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 21PP,301zyx例例 6 6 設(shè)設(shè)kjim853 ，kj

19、in742 ，kjip45 ，求求向向量量pnma 34在在x軸軸上上的的投投影影及及在在y軸軸上上的的分分向向量量. 解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x軸軸上上的的投投影影為為13 xa,在在y軸上的分向量為軸上的分向量為j7.對角線的長為對角線的長為|,|,|nmnm ,1 , 1, 1 nm1, 3 , 1 nm, 3| nm,11| nm平行四邊形的對角線的長度各為平行四邊形的對角線的長度各為11, 3.mn 設(shè)設(shè)jim ，kjn 2，求以向量，求以向量nm,為邊的平行四邊形的對角線的長度為邊的平行四邊形的對角線的長度.

20、 7例例:解解空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式（注意它與平面直角坐標(biāo)系的區(qū)別）（注意它與平面直角坐標(biāo)系的區(qū)別）（軸、面、卦限）（軸、面、卦限）四、小結(jié) 21221221221zzyyxxMM 向量的概念向量的概念向量的加減法向量的加減法向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法（注意與標(biāo)量的區(qū)別）（注意與標(biāo)量的區(qū)別）（平行四邊形法則）（平行四邊形法則）（注意數(shù)乘后的方向）（注意數(shù)乘后的方向）四、小結(jié)向量在軸上的投影與投影定理向量在軸上的投影與投影定理.向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo)向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量的坐標(biāo).向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式向量的模與方向余弦的坐標(biāo)

21、表示式.四、小結(jié)（注意分向量與向量的坐標(biāo)的區(qū)別）（注意分向量與向量的坐標(biāo)的區(qū)別）30017P習(xí)題19,18,16,15,13,12,10, 5 , 3 , 1練練 習(xí)習(xí) 題題一、一、 填空題：填空題：1 1、 已知已知rr,4 與軸與軸u的夾角是的夾角是60，則，則rjuPr=_=_ _ _；2 2、 已知兩點已知兩點1M)2,1,0(和和2M)0,1,1( 則則 21MM_；-2-221MM= =_；3 3、 已知兩點已知兩點1M)1,2,4(和和)2,0,3(2M, ,則向量則向量 21MM_ ，21MM=_=_，方向，方向 余弦余弦 cos=_=_； cos= =_； cos= =_；

22、方向方向 角角_ ,_ , _ ,_ , _；4 4 、 已知向量已知向量kjia , ,kjib532 及及 kjic22 , , 0a則則_； 0b= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 0c= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；5 5、一一向向量量與與zoxyozxoy,三三個個坐坐標(biāo)標(biāo)平平面面的的夾夾角角 , 滿滿足足 2cos+ + 2cos+ + 2cos= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二 、一一向向量量的的終終點點在在點點)7,1,2( B，它它在在軸軸X，軸軸Y 和和軸軸Z上上的的投投影影依依次次為為74,4和和

23、 ，求求這這向向量量的的 起起點點的的坐坐標(biāo)標(biāo)A . .三三 、求求平平行行于于向向量量 6,7,6 a的的單單位位向向量量 . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一一、1 1、2 2； 2 2、 4 , 4 , 2,2, 2, 1 ； 3 3、 ;3,43,32,21,22,21, 2 ,1 , 2, 1 4 4、 32,31,32,385,383,382,31,31,31； 5 5、2 2. .二二、 A( (- -2 2, ,3 3, ,0 0) ) . .三三、 116,117,116116,117,116或或 . .思考題思考題已知平行四邊形已知平行四邊形ABCD的對角線的對角線AC,a BDb

24、 試用試用 表示平行四邊形四邊上對應(yīng)的向量表示平行四邊形四邊上對應(yīng)的向量.ba,思考題解答思考題解答B(yǎng)CAD AM MD).(21ba DC AB AM MB).(21ba ABCDMab一、一、 填空：填空：1 1、 向量是向量是_的量；的量；2 2、 向量的向量的_叫做向量的模；叫做向量的模；3 3、 _的向量叫做單位向量；的向量叫做單位向量；4 4、 _的向量叫做零向量；的向量叫做零向量；5 5、 與與_無關(guān)的向量稱為自由向量；無關(guān)的向量稱為自由向量；6 6、 平行于同一直線的一組向量叫做平行于同一直線的一組向量叫做_，三，三個或三個以上平行于同一平面的一組向量叫做個或三個以上平行于同一

25、平面的一組向量叫做_ _ _；7 7、兩兩向向量量_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，我我們們稱稱這這兩兩個個向向量量相相等等；8 8、兩兩個個模模相相等等、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _的的向向量量互互為為逆逆向向量量；9 9、把把空空間間中中一一切切單單位位向向量量歸歸結(jié)結(jié)到到共共同同的的始始點點，則則終終點點 構(gòu)構(gòu)成成_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；練練 習(xí)習(xí) 題題1010、把平行于某一直線的一切單位向量歸結(jié)到共同的、把平行于某一直線的一切單位向量歸結(jié)到共同的 始點，則終點構(gòu)成始點，則終點構(gòu)成_；1111、要使、要使baba 成立，向量

26、成立，向量ba,應(yīng)滿足應(yīng)滿足_ _ _；1212、要使、要使baba 成立，向量成立，向量ba,應(yīng)滿足應(yīng)滿足_ _ _ _ . .二二、 用用向向量量方方法法證證明明：對對角角線線互互相相平平分分的的四四邊邊形形是是平平行行四四邊邊形形 .三 、 把三 、 把ABC的的BC邊 五 等 分 ， 設(shè) 分 點 依 次 為邊 五 等 分 ， 設(shè) 分 點 依 次 為4321,DDDD， 再 把 各 分 點 與 點， 再 把 各 分 點 與 點A連 接 ， 試 以連 接 ， 試 以aBCcAB ,表示向量表示向量ADADADAD4321,和和 . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、既有大小、既有大小,

27、 ,又有方向；又有方向； 2 2、大??；、大小； 3 3、模等于、模等于 1 1； 4 4、模等于零；、模等于零； 5 5、起點；、起點； 6 6、共線向量、共線向量, ,共面向量；共面向量； 7 7、模相等且方向相同；、模相等且方向相同； 8 8、方向相反；、方向相反； 9 9、半徑為、半徑為 1 1 的球面；的球面； 1010、距離等于、距離等于 2 2 的兩點；的兩點； 1111、a垂直于垂直于b； 1212、a與與b同向同向 . .三、三、)51(1acAD , ,)52(2acAD , , ).54(),53(43acADacAD 思考題思考題在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各在空間直角

28、坐標(biāo)系中，指出下列各點在哪個卦限？點在哪個卦限？, )3 , 2, 1( A, )4, 3 , 2( B, )4, 3, 2( C. )1 , 3, 2( D思考題解答思考題解答A:; B:; C:; D:; 1 1、下列各點所在象限分別是：、下列各點所在象限分別是： _;1,3,2d_4,3, 2c_4,3,2b_3,2- ,1 a在在、；在在、；在在、；在在、 ；軸軸的的對對稱稱點點是是，關(guān)關(guān)于于軸軸的的對對稱稱點點是是，關(guān)關(guān)于于的的對對稱稱點點是是軸軸，關(guān)關(guān)于于的的對對稱稱點點是是關(guān)關(guān)于于平平面面的的對對稱稱點點是是，關(guān)關(guān)于于平平面面的的對對稱稱點點是是關(guān)關(guān)于于平平面面、點點_,_)1,2,3(2zyxzoxyozxoyp 一、填空題一、填空題練習(xí)題練習(xí)題3、點、點)5,3,4( A在在xoy平面上的射影點為平面上的射影點為_ _, ,在在yoz面上的射影點為面上的射影點為_，在，在 zox軸上的射影點為軸上的射影點為_，在，在軸上軸上x的射影的射影 點為點為_，在，在軸上軸上x的射影點為的射影點為_，在，在 軸上軸上z的射影點為的射影點為_ ; ;4、已知空間直角坐標(biāo)系下，立方體的、已知空間直角坐標(biāo)系下，立