第1講-一元二次方程解法講義

1、第1講一一元二次方程解法講義專 題一兀一次方程的解法教學目標1 .理解一元一次方程及具有美概念2 .會解一元二次方程，并能熟練運用四種方法去解重點、難點1. 一元二次方程的判定，求根公式2. 一元二次方程的解法與應用考點及考試要求1. 一兀二次方程的定義，一般形式，配方式2. 熟練一元二次方程的解法能靈活運用：直接開平法，配方法.，因式分解，公式法去3. 一元二次方程在實際問題中的綜合應用教學內(nèi)容竹點一、概念(1)定義：只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣的整式方程就是一二次方程。 一般表送式：ax2 bx c 0(a 0)注：當b=0時可化為ax2 c 0這是一元二次方程的配方式

2、(3)四個特點：(1)只含有一個未知數(shù)；(2)且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2; (3)是整式方程.要判斷一個方程是否為F二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理.如果能整理為ax2 bx c 0(a 0)的形式，則這個方程就為F二次方程.(4)將方程化為f 形式：ax2 bx c 0 時，應滿足(aw0)難點：如何理解“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”：該項系數(shù)不為“ 0”；未知數(shù)指數(shù)為“ 2”；若存在某項指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論。典型例題：例1、下列方程中是關于x的F二次方程的是().=,2-,_11_ooA 3 x 12 x 1B_2 _ 2 0 C ax

3、bx c 0 D x 2x x 1x x變式：當k時，關于x的方程kx2 2x x2 3是一元二次方程。例 2、方程 m 2 xm 3mx 1 0是關于 x的一兀一次方程，則 m的值為。十點二、方程的解概念：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。應用：利用根的概念求代數(shù)式的值；典型例題：例1、已知2y(1)基本思想方法：解一元二次方程就是通過“降次”將它化為兩個一元一次方程 (2)方法：直接開方法；因式分解法；配方法；公式法類型一、直接開方法：就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如x2 m m 0,其解為：x <'m對于x a 2 m , ax m 2

4、bx n 2等形式均適用直接開方法典型例題：例 1、解方程：1 2x2 8 0;( 2) (3x 1)2 73 1 x 2 9 0; 22(4) 9 x 116 x 2(5) 9x 24x 16 11例2、解關于x的方程：ax2 b 03.下列方程無解的是()A. x2 3 2x2 1 B. x 2 20類型二、配方法基本步驟:1.先將常數(shù)c移到方程右邊2.將二次項系數(shù)化為1 y 3的值為2,則4y2 2y 1的值為。例2、關于x的一元二次方程a 2 x2 x a2 4 。的一個根為0,則a的值為。說明：任何時候，都不能忽略對一元二次方程二次項系數(shù)的限制.例3、已知關于x的一元二次方程ax2

5、bx c 0 a 0的系數(shù)滿足a c b,則此方程必有一根為。說明：本題的關鍵點在于對“代數(shù)式形式”的觀察，再利用特殊根“ -1 ”巧解代數(shù)式的值。例4、已知a,b是方程x2 4x m 0的兩個根，b,c是方程y2 8y 5m 0的兩個根，則 m的值為 o例 5、已知 a b, a2 2a 1 0 , b2 2b 1 0,求 a b a b變式：右a 2a 1 0, b 2b 1 0,則 的值為。b a6、方程a b x2 b c x c a 0的一個根為()A 1 B 1 Cb c Da 7、若 2x 5y 3 0,WJ4x?32y C. 2x 3 12_D. x 9 0考點三、方程解法3.

6、方程兩邊分別加上一次項系數(shù)的一半的平方4.方程左邊成為一個完全平方式:在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值之類的問題。典型例題：例1、試用配方法說明x2 2x 3的值恒大于0, 10x2 7x 4的值包小于0。例2、已知x、y為實數(shù)，求代數(shù)式x2. 一 y2 2x 4y 7的最小值。例3、已知x2 y2 4x 6y 13 0, x、y為實數(shù)，求*"的值。變式1:已知x2 口 x 1 4 0,則x 1.x xx例4、分解因式：4x2 12x 3類型三、因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積 的形式，讓兩個一次因式分別等于零

7、，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法x x1 x x20 x x1,或 x x2方程特點：左邊可以分解為兩個一次因式的積，右邊為“0”，方程形式：如 ax m2 bx n 2 , x a x b x a x c , x2 2ax a2 0分解方法：提公因式，利用平方差與完全平方公式，十字相乘法 針對練習：例1、2x x 35x3的根為(5x1一，x232A5八A x B x 3 C210 / 9例 2.(1) 4a2 169b2 (平方差)(2)8x4y 6x3y2 2x3y (提公因式)(3) (m n)2 4(m

8、 n)2 (平方差)，一、_22(5 ) 12xy x 36y (完全平方式)(4) a2 6a 9 (完全平方式)2、 ,一,(6) (a b) 5(a b) 4 (十子相乘法)23 (8) 5n(2m n) 2(n 2m)(提公因式)例 3、若 4x y 2 3 4x y 4 0 ,貝U 4x+y 的值為例4、方程x2 |x| 6 0的解為(A. x13,x22 B.x13,x22 C.x13,x23 D.x12,x22例 5、解方程：x2 273 1x 273 4 0例6、已知2x23xy2y2變式：已知2x2 3xy2y0,且 x 0, y例7、解下列方程(2x- 3) 2 = (3x

9、2)4x+14x-523 x+2(4) 5m 2 - 17m + 14=0 b2 =0(5) (x2+x+1)(x 2+x + 12)=42(6) 2x2 + (3a-b)x- 2a2+3ab-類型四、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計算 判別式的值，當判別式大于等于零時, 把各項系數(shù)a, b, c 的值代入求根公式，就可得到方程的根。條件： a 0,且b2 4ac 0 公式： x -b4ac , a 0,且b2 4ac 02a典型例題：例1、選擇適當方法解下列方程：22 31 x 6.(2) x 3 x 68. x 4x 1 0 3x2 4x 1 0 3 x 1 3x 1 x 1 2

10、x 5說明：解一元二次方程時，首選方法是因式分解法和直接開方法、其次選用求根公式法；一般不選擇配方法。例2、在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1) x2 2<2x 3；(2) 4x2 8x 1. 2x2 4xy 5y2說明：對于二次三項式ax2 bx c的因式分解，如果在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解，一般情況要用求根公式，這種方法首先令ax2 bx c=0,求出兩根，再寫成ax2 bx c = a(x x1)(x x2).分解結果是否把二次項系數(shù)乘進括號內(nèi)，取決于能否把括號內(nèi)的分母化去.類型五、“降次思想”的應用主要內(nèi)容：求代數(shù)式的值；解二元二次方程組。典型例題：例1、已知x2 3x 2x2 1-!的值。

11、1例3、已知a是一元二次方程x2 3x 13 Oo 20的一根,求a:1的值例2、如果x2 x 1 0 ,那么代數(shù)式x3 2x2 7的值說明：在運用降次思想求代數(shù)式的值的時候，要注意兩方面的問題：能對已知式進行靈活的變形;能利用已知條件或變形條件，逐步把所求代數(shù)式的高次幕化為低次幕，最后求解。例4、用兩種不同的方法解方程組2x y 6, 2(1)x 5xy 6y 0.(2)說明：解二元二次方程組的具體思維方法有兩種：先消元，再降次；先降次，再消元。 但都體現(xiàn)了一種共同的數(shù)學思想一一化歸思想，即把新問題轉化歸結為我們已知的問題考點四、根與系數(shù)的關系前提：忖于ax2 bx c 0而言，當滿足a 0

12、、0時，才能用韋達定理主要內(nèi)容：x1 x2 , x1x2 c a a應用：版體代入求值。典型例題： 例1、已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程 2x2 8x 7 0的兩根，則這個直角三角形的斜邊是()A. 3B.3C.6 D.，6說明：要能較好地理解、運用一元二次方程根與系數(shù)的關系，必須熟練掌握a b、a b、ab、a2 b2之間的運算關系.例2、解方程組： x y J (2) x2 y2 1Q xy 24; x y 2.說明：一些含有x y、x2 y2、xy的二元二次方程組，除可以且代入法來解外，往往還可以利用根與系數(shù)的關系，將解二元二次方程組化為解一元二次方程的問題.有時，后者顯得更為簡

13、便 例3、已知關于x的方程k2x2 2k 1 x 1 0有兩個不相等的實數(shù)根xi,x2,(1)求k的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)k,使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出 k的值；若不存在，請說 明理由。例4、已知a b , a22a 1 0 , b2 2b 1 0,求 a b 變式：若a2 2a 1 0 , b2 2b 1 0,則a b的值為 b a例5、已知，是方程x2x 1 0的兩個根，那么 4 3測試題目： 一、選擇題1 .解方程：3x2+27=0 得().(A)x= ± 3(B)x=-3(C)無實數(shù)根 (D)方程的根有無數(shù)個2 .方程(2-3x) + (3x-2) 2=0

14、 的解是().221X、二一西= Xo =(A) 二，x2=-1(B) 二，'二22 /=一(C)x 1=x2=(D)- ,x 2=13.方程(x-1) 2=4的根是().(A)3,-3(B)3,-1(C)2,-3(D)3,-2- -jc + 1 = 04 .用配方法解方程：5 正確的是().2士#(A)(B)x-(C)l 3J 9,原方程無實數(shù)解I 3)9原方程無實數(shù)解5 .一元二次方程-黯* 2#界=2 =0用求根公式求解，先求a,b,c的值，正確的是().(A)a=1,b= J-(B)a=1,b=-,c=2(C)a=-1,b=- - - ,c=-2(D)a=-1,b=，c=26

15、.用公式法解方程：3x2-5x+1=0,正確的結果是().5 + 7135-J135± J13K 工 x =(A)6(B) ,3(C)6(D)都不對二、填空X1 +X +=fx+)7 .方程9x2=25的根是.3.8 .已知二次方程x2+(t-2)x-t=0 有一個根是2,則t=,另一個根是.9 .關于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一個根是0,則m的值為.10 .關于x的方程(m2-m-2)x 2+mx+n=0H一元二次方程的條件為 .11 .方程(x+2)(x-a)=0 和方程x2+x-2=0有兩個相同的解，貝U a=.三、用適當?shù)姆椒ń庀铝嘘P于x和y的方程1

16、2 . (x+2) (x-2) =1.13.(3x-4)2=(4x-3)13 .3x 2-4x-4=0.15.x2+x-1=0.16.x 2+2x-1=0.17.(2y+1)2 -一_+3(2y+1)+2=0.18.2x2- : -；19.x2-bx-2b 2=0.20.a 2x2+2abx+b2- 4=0(a * 0).21.(b-c) x2- (c-a ) x+ (a-b) =0 (aw c)22 .用因式分解法、配方法、分式法解方程 2x2+5x-3=0.(A)因式分解法(B)配方法(C)公式法23 .解方程：(1)函-1)”=耳岫心-d工24 .已知 |2m-3|=1 ,試解關于 x 的方程 3mx (x+1) -5 (x+1) (x-1 ) =x225、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克 40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分析，若按每千克 50元銷售，一個月 能售出500千克，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，