215三重積分PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1215三重積分三重積分設(shè)設(shè)),(zyxf是空間有界閉區(qū)域是空間有界閉區(qū)域 上的有界函數(shù)，將閉上的有界函數(shù)，將閉 區(qū)域區(qū)域 任意分成任意分成n個小閉區(qū)域個小閉區(qū)域1v ，2v , ,nv ，其，其 中中iv 表示第表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的體積個小閉區(qū)域，也表示它的體積, , 在每個在每個 iv 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)),(iii 作乘積作乘積iiiivf ),( ， ), 2 , 1(ni ， 并作和， 并作和, , 如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值最大值 趨近于零時，這和式的極限存在，則稱此極趨近于零時，這和式的極限存在，則稱此極限限為函數(shù)為函數(shù)),(zy

2、xf在閉區(qū)域在閉區(qū)域 上的三重積分，記上的三重積分，記為為 dvzyxf),(, ,即即 .),(lim),(10iniiiivfdvzyxf .叫做體積元素叫做體積元素其中其中dv第1頁/共56頁, 來劃分來劃分用平行于坐標(biāo)面的平面用平行于坐標(biāo)面的平面在直角坐標(biāo)系中，如果在直角坐標(biāo)系中，如果.lkjizyxv 則則三三重積重積記為記為 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 . . .積元素積元素叫做直角坐標(biāo)系中的體叫做直角坐標(biāo)系中的體其中其中dxdydz三重積分的性質(zhì)與二重積分的類似三重積分的性質(zhì)與二重積分的類似。特別地特別地，被積函數(shù)被積函數(shù)1),( zyxf時，時

3、， 的體積的體積 dv . . 第2頁/共56頁直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分)(1xyy )(2xyy 如圖，如圖，,Dxoy面上的投影為閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域在在閉區(qū)域閉區(qū)域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直線作直線過點(diǎn)過點(diǎn)Dyx 穿出穿出穿入，從穿入，從從從21zzxyzo D),(yxab),(1yxzz ),(2yxzz 2S1S1z2z第3頁/共56頁的函數(shù)，則的函數(shù)，則只看作只看作看作定值，將看作定值，將先將先將zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上的二重積分上的二重積

4、分在閉區(qū)間在閉區(qū)間計算計算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得得是是 x、y 的函數(shù)的函數(shù)。 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx第4頁/共56頁 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意注意相交不多于兩點(diǎn)情形相交不多于兩點(diǎn)情形的邊界曲面的邊界曲面區(qū)域區(qū)域內(nèi)部的直線與閉內(nèi)部的直線與閉軸且穿過閉區(qū)域軸且穿過閉區(qū)域平行于平行于Sz )1(分若干個小區(qū)域來討論分若干個小區(qū)域來討論相交多

5、于兩點(diǎn)時，把相交多于兩點(diǎn)時，把的邊界曲面的邊界曲面閉區(qū)域閉區(qū)域內(nèi)部的直線與內(nèi)部的直線與軸且穿過閉區(qū)域軸且穿過閉區(qū)域若平行于若平行于 )2(Sz第5頁/共56頁三重積分化為三次積分的過程：三重積分化為三次積分的過程：。面上投影，得到面上投影，得到向向Dxoy )1(xyzo D )2(軸投影，得到軸投影，得到向向xDab ).()(, :21xyyxybxaD,),( )3(作直線作直線過點(diǎn)過點(diǎn)Dyx 得到得到).,(),(21yxzzyxz 1z2z),(yx ).,(),(),()( , :2121yxzzyxzxyyxybxa事實(shí)上，事實(shí)上， dvzyxf),(.),()()(),(),(

6、2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx第6頁/共56頁。面上投影，得到面上投影，得到向向Dxoy )1( )2(軸投影，得到軸投影，得到向向 yD . ),()(:11dycyxxyxD,),( )3(作直線作直線過點(diǎn)過點(diǎn)Dyx 得到得到).,(),(21yxzzyxz 事實(shí)上，事實(shí)上， ).,(),(, ),()( :2111yxzzyxzdycyxxyxxyzo Dcd1z2z),(yx dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 dcyxyxyxzyxzdzzyxfdxdy第7頁/共56頁。面上投影，得到面上投影，得到向向yzDyoz )1( )2(軸投影，得

7、到軸投影，得到向向 yDyz . ),()(:11byayzzyzD,),( )3(作直線作直線過點(diǎn)過點(diǎn)yzDzy 得到得到).,(),(21zyxxzyx 事實(shí)上，事實(shí)上， ).()( , ),(),(:2111yzzyzbyazyxxzyxD),(zyabxyzo 1x2x dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 bayzyzzyxzyxdxzyxfdzdy第8頁/共56頁例例 1 1 計算三重積分計算三重積分 xdxdydz，其中，其中 為三個坐標(biāo)為三個坐標(biāo) 面及平面面及平面12 zyx所圍成的閉區(qū)所圍成的閉區(qū)域域. . 211xozy1。面上投影，得到面上投影，得到向向

8、Dxoy .210, 10 :xyxD, ),(的直線的直線軸軸作平行與作平行與過點(diǎn)過點(diǎn)zDyx 得到得到.210yxz 解解D于是，于是， dxdydzx 10021021 xyxxdzdydx第9頁/共56頁 10021 0 21 xdyxzdxyx 100221)2(xdyxyxxdx 1002221)(dxxyyxxx 1032)2(41dxxxx1 0 4324132241 xxx.481 于是于是， dxdydzx 10021021 xyxxdzdydx, ),(的直線的直線軸軸作平行與作平行與過點(diǎn)過點(diǎn)zDyx 得到得到.210yxz 第10頁/共56頁例例 2 2 化三重積分化三

9、重積分 dxdydzzyxfI),(為三次積分，為三次積分， 其中積分區(qū)域其中積分區(qū)域 為由曲面為由曲面 222yxz 及及 22xz 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. . 解解由由 22222xzyxz, , 得交線投影區(qū)域得交線投影區(qū)域 , 122 yx故故 ： 22222221111xzyxxyxx, , 第11頁/共56頁.),( 11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI因此，因此，故故 ： 22222221111xzyxxyxx, , 第12頁/共56頁oxyz12例例 3 3 計算三重積分計算三重積分 dxdydzz 。 其中其中 ：平面：平面 , 0 , , 2 ,

10、 1 zxyxx及及 yz 2 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. . 。面上投影，得到面上投影，得到向向Dxoy .0, 21:xyxD, ),(軸的直線軸的直線作平行與作平行與過點(diǎn)過點(diǎn)zDyx 得到得到.20yz 解解D .200, 21: yzxyx，即即第13頁/共56頁于是于是， dxdydzz 21020 xyzdzdydxoxyz12。面上投影，得到面上投影，得到向向Dxoy .0, 21:xyxD, ),(軸的直線軸的直線作平行與作平行與過點(diǎn)過點(diǎn)zDyx 得到得到.20yz 解解D .200, 21: yzxyx，即即 210281xdyydx 213241dxx.325 第14頁

11、/共56頁截面法的一般步驟：截面法的一般步驟： (1) (1) 把積分區(qū)域把積分區(qū)域 向某軸（例如向某軸（例如z軸）投影，得投影軸）投影，得投影 區(qū)間區(qū)間,21cc； (2) (2) 對對,21ccz 用過用過z軸且平行軸且平行xoy平面的平面去截平面的平面去截 ，得截面，得截面zD; ; (3)(3) 計算二重積分計算二重積分 zDdxdyzyxf),( 其結(jié)果為其結(jié)果為z的函數(shù)的函數(shù))(zF； (4) (4) 最后計算單積分最后計算單積分 21)(ccdzzF即得三重積分值即得三重積分值. . zzD第15頁/共56頁例例 4 4 計算三重積分計算三重積分dxdydzz2，其中，其中 是由

12、橢是由橢球球 面面 1222222 czbyax 所成所成的空間的空間閉區(qū)域閉區(qū)域. . : ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzz 解解xyzozD| ),(yxDz 1222222czbyax 第16頁/共56頁)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1( .1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式因此，因此，第17頁/共56頁例例 5 5 計算三重積分計算三重積分dxdydzxy 21，其中，其中 由曲由曲 面面221zxy ，122 zx，1 y

13、所圍所圍成成. . 解解如圖如圖, ,xyzo111dzzxxdxxx21221111222 222211,:11,11.xxzxxyy 221211xzxzDyx dxdzdy原式第18頁/共56頁dxzzxxxx )3(1 111132222 1142)21(31dxxx.4528 dzzxxdxxx21221111222 . 11,11, 11:2222yyxxzxx221211xzxzDyx dxdzdy原式第19頁/共56頁定定理理設(shè)變換T : x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w)將 uvw 空間中的有界閉區(qū)域 uvw 變成 x

14、yz 空間中的有界閉區(qū)域xyz , 且滿足1) x=x(u, v, w), y= y(u, v, w), z=z(u, v, w)C1(uvw)三三 三重積分換元法三重積分換元法第20頁/共56頁2)wzvzuzwyvyuywxvxuxwvuzyx),(),( 0, (u, v, w)uvw若 f (u, v, w)R(), 則有xyzzyxzyxfddd),(xyzwvuwvuzyxwvuzwvuywvuxfddd),(),(),(),(),(第21頁/共56頁例例5. 計算,2dxdydzxI其中是由曲面xzxzbaybyzayz,),0 , 0(,22)0(),0(hhz所圍成的區(qū)域.解

15、解:作變換,:2zwxzvyzuT,0 ,| ),(hwvbuawvu：變成則第22頁/共56頁而由公式(5),1),(),(),(),(zyxwvuwvuzyxdxdydzxI2dwwdvvduuhba02742321.11112722933hba2322zyx.21232uwvdudvdwuwvvw2322221第23頁/共56頁,0 r,20 . z的柱面坐標(biāo)的柱面坐標(biāo)就叫點(diǎn)就叫點(diǎn)，則這樣的三個數(shù)，則這樣的三個數(shù)的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為的投影的投影面上面上在在為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)設(shè)設(shè)MzrrPxoyMzyxM , , ,),( 規(guī)定規(guī)定：xyzo),(zyxM),( rP

16、 r簡單地說，柱面坐標(biāo)就是簡單地說，柱面坐標(biāo)就是xoy 面上的極坐標(biāo)面上的極坐標(biāo) + + z 坐標(biāo)坐標(biāo)第24頁/共56頁 .,sin,coszzryrx 柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為關(guān)系為為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面r xyzoz),(zyxM),( rP rxyzo第25頁/共56頁從而zzzyzxzyxrzryrxzrzyx),(),( 1000cossin0sincosrrcossinsincosrr= r第26頁/共56頁xyzzyxzyxfddd),(zrzrrzrrfd

17、dd),sin,cos(所以,一般, r z 表為:r1( ) r2( ),z1(r, ) z2 (r , ). , 第27頁/共56頁 dxdydzzyxf),(.) ,sin ,cos( dzddrrzrrf 如圖，柱面坐標(biāo)系中的如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為體積元素為, dzddrrdv 于是于是， drxyzodzdr rd再根據(jù)再根據(jù) 中中 z，r， 的關(guān)系，化為三次積分。的關(guān)系，化為三次積分。一般，先對一般，先對 z 積分，再對積分，再對 r ，最后對，最后對 積分。積分。第28頁/共56頁例例6 利用柱面坐標(biāo)計算三重積分利用柱面坐標(biāo)計算三重積分, dxdydzz其中其中 所圍成的

18、閉區(qū)域。所圍成的閉區(qū)域。與平面與平面是由曲面是由曲面 4 22 zyxz解解(1) 畫畫 圖圖(2) 確定確定 z，r， 的上下限的上下限將將 向向 xoy 面投影，得面投影，得 4 :22 yxD或或 . 20,20 : rD 過過 (r, )D 做平行于做平行于 z 軸軸的直線，得的直線，得xyzo4xyzo4Ao22 r ),( r第29頁/共56頁xyzo4 ),( r42 zr .,sin,coszzryrx 即即過過 (r, )D 做平行于做平行于 z 軸軸的直線，得的直線，得 4, 20,20 :2 zrr 于是，于是， dxdydzz . dzddrrz 420202 rdzz

19、rdrd Ao22 r, dzddrrdv 第30頁/共56頁 dxdydzz dzddrrz 420202 rdzzrdrd 20422022 drzrdr 20520)(16 21drrrd 202 0 6261821drr2 0 62618221 rr .364 第31頁/共56頁例例 6 6 求求 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx 與拋物面與拋物面 zyx322 所圍的立體所圍的立體. . 解解 zyxzyx3422222求交線求交線：xyzo將將 向向 xoy 面投影，得面投影，得 . 3 :22 yxD . 1, 322zyxoA3 r或或 .30,20

20、 : rD 第32頁/共56頁 dzdrdrzdxdydzzI .413 xyzo 23242030rrzdzrdrd .4322rzr 即即過過 (r, )D 做平行于做平行于 z 軸軸的直線，得的直線，得 .43,30,20 :22 rzrr ),( r .,sin,coszzryrx , dzddrrdv 或或 .30,20 : rD 第33頁/共56頁例例7 計算三重積分計算三重積分, )(22 dvyx其中其中 是由曲是由曲所圍成。所圍成。與平面與平面面面 )0( 22 HHzyxz解解將將 向向 xoy 面投影，得面投影，得222 :HyxD 或或 .0,20 : HrD xyzo

21、HxyzoHxyoHHH H .Hzr 過過 (r, )D 做平行于做平行于 z 軸軸的直線，得的直線，得 ),( r第34頁/共56頁 ,0,20 : HzrHr 即即或或 .0,20 : HrD .Hzr 過過 (r, )D 做平行于做平行于 z 軸軸的直線，得的直線，得xyoHHH H HxyzoH ),( r dvyx )(22. 2 dzddrrr HrHdzrdrd 3020 .,sin,coszzryrx , dzddrrdv 第35頁/共56頁 HHrdrzrd0 320 HdrrHr043)(2 .10 5H ,0,20 : HzrHr 即即 dvyx )(22. 2 dzd

22、drrr HrHdzrdrd 3020 .,sin,coszzryrx , dzddrrdv 第36頁/共56頁的球面坐標(biāo)的球面坐標(biāo)就叫做點(diǎn)就叫做點(diǎn)，樣的三個數(shù)樣的三個數(shù)面上的投影，這面上的投影，這在在為點(diǎn)為點(diǎn)的角，這里的角，這里向線段向線段軸按逆時針方向轉(zhuǎn)到有軸按逆時針方向轉(zhuǎn)到有軸來看自軸來看自為從正為從正軸正向所夾的角，軸正向所夾的角，與與為有向線段為有向線段的距離，的距離，間間與點(diǎn)與點(diǎn)為原點(diǎn)為原點(diǎn)來確定，其中來確定，其中，序的數(shù)序的數(shù)可用三個有次可用三個有次為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)設(shè)設(shè)MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(,0 r.20 ,0 規(guī)定：規(guī)定：xy

23、zo),(zyxMP r 第37頁/共56頁為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為Pxyzo),(zyxM r zyxAxyzor 第38頁/共56頁zyxzyxrzryrxrzyx),(),(由0cossinsinsinsinsincoscoscoscossinsincossinrrrrr第39頁/共56頁sincoscoscoscossin cossin sinsincoscossinsin sinsi

24、nrrrrrr2222cossinsinsinrrsin2r所以xyzzyxzyxfddd),(rrrrrrfdddsin)cos,sinsin,cossin(2第40頁/共56頁 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin( 2 dddrrrrrf球面坐標(biāo)系中的體積元素為球面坐標(biāo)系中的體積元素為,sin 2 dddrrdv 如圖，如圖， drxyzodr dsinr rd d d sinr再根據(jù)再再根據(jù)再 中中 r， ， 的關(guān)系，化為三次積分。的關(guān)系，化為三次積分。一般，先對一般，先對 r 積分，再對積分，再對 ，最后對，最后對 積分。積分。第41頁/共56頁例

25、例8 用球面坐標(biāo)計用球面坐標(biāo)計算算. 2 dvz其中其中. 1 :222 zyx解解畫畫 圖。圖。確定確定 r， ， 的上下限。的上下限。(1) 將將 向向 xoy 面投影，得面投影，得. 20 (2) 任取一任取一,2 , 0 過過 z 軸作半平面，得軸作半平面，得.0 (3) 在半平面上，任取一在半平面上，任取一, , 0 過原點(diǎn)作過原點(diǎn)作射線，得射線，得. 10 rxyzo第42頁/共56頁xyzo(3) 在半平面上，任取一在半平面上，任取一, , 0 過原點(diǎn)作過原點(diǎn)作射線，得射線，得. 10 r即即 . 10,0,20 :r dvz2 .cos,sinsin,cossin rzryrx

26、 dddrrr 2 22sincos 1024020 sin cosdrrdd 01 0 52205sin cosdrd ddrdrdvsin2 第43頁/共56頁 0220 sin cos51dd 0220)(cos cos51dd 20 0 33cos51d 20152d.154 dvz2 .cos,sinsin,cossin rzryrx dddrrr 2 22sincos 1024020 sin cosdrrdd 01 0 52205sin cosdrd ddrdrdvsin2 第44頁/共56頁例例9 計算計算. )( 222 dvzyx其中其中 由曲面由曲面22yxz 和和2222

27、Rzyx 圍成圍成。)0( R將將 向向 xoy 面投影，得面投影，得. 20 任取一任取一,2 , 0 過過 z.40 在半平面上，任取一在半平面上，任取一,4 , 0 過原點(diǎn)作射線，得過原點(diǎn)作射線，得.0Rr 解解軸作半平面，得軸作半平面，得xyzoR第45頁/共56頁即即 .0,40,20 :Rr dddrrr 2 2sin Rdrrdd044020 sin xyzoR dvzyx )( 222 .cos,sinsin,cossin rzryrx).22(515 R 在半平面上，任取一在半平面上，任取一,4 , 0 過原點(diǎn)作射線，得過原點(diǎn)作射線，得.0Rr ddrdrdvsin2 第46頁/共56頁例例 10 10 求曲面求曲面22222azyx 與與22yxz 所圍成的立體體積所圍成的立體體積. . 解解 由錐面和球面圍成，由錐面和球面圍成， xyzoR dvV由三重積分的性質(zhì)，有由三重積分的性質(zhì)，有 .20,40,20 :ar 第47頁/共56頁解解由錐面和球面圍成，由錐面和球面圍成， dvV由三重積分的性質(zhì)，有由三重積分的性質(zhì)，有 .20,40,20 :ar xyzoR adrrdd202020sin4 ddrdrdvVsin2.)12(343a .cos,sinsin,cossin rzryrx ddrdrdvsin2 第4