完整初2103根式的恒等變形

1、第2103講根式的恒等變形、知識和方法要點表示方根的代數(shù)式稱為根式，即含有根號，且根號內有字母的代數(shù)式稱為根式。對于根式中的字母的一組允許的值，代入此根式得到的值稱為根式的值。根式的恒等變形是指利用根式的基本性質將根式化為與其恒等的根式。二次根式具有以下基本性質1) (7a)2a(a0)；aa02) .a2|a|0a0;aa03) b點cVa(bc)Va(a0);4)用而/ab(a0,b0)；aa5) j=b(a0,b0)；6) (7a)n友(a0)。根式的恒等變形有它的特殊性，需要較強的代數(shù)式變形技巧。通常要對題目中的條件根式和欲變形根式綜合考慮，尋求一個簡單而清晰運算線路進行變形。常用的方

2、法有：分解因式法，配方法，平方法，換元法等?；喐奖仨毣阶詈喐綖橹?，所謂最簡根式，是指滿足以下三個條件的根式：1)被開方數(shù)(式)的哥指數(shù)與根指數(shù)互質；2)被開方數(shù)(式)的每一個因式的哥指數(shù)都小于根指數(shù)；3)被開方數(shù)(式)不含有分母。、典型題例選講例1化簡：，眄何。(復合根式化簡；配方法)【分析】這是一個數(shù)字型的復合二次根式的化簡問題。可通過配方法進行化簡。應首先變形為適合配方的形式，然后進行配方?！窘獯稹炕喨缦?；T54"438T43(5-3)243卜53)43(106)o2.(2).22【評注】配方法是復合二次根式化簡的最常用的方法。例2化簡：。2眄2點432衣也2板。(復

3、合根式化簡；平方法)【分析】這是一個數(shù)字型的復合二次根式的化簡問題。，可通過平方法進行化簡。應前兩項使用平方法，后兩項使用平方法后相加?！窘獯稹恳驗?2石W石如2飛,2圾214242鳳2行花,2。322322(322322)262-322、322兩式相加得也收42晅73272J32隹花2。所以，原式而2?！驹u注】為了書寫簡潔，平方運算在根號下進行。例3化簡:O（復合根式化簡；方程法）【分析】如果設x42廣72=言，兩邊平方可得關于x的方程x2出x的值。【解答】設x，2,2&戶L,兩邊平方，得x20,解這個方程就可能求于是即x滿足方程解方程得所以，.2222Lx22J2J2衣L2x2x,

4、2xx20,x2或x1（舍去）。2?！驹u注】本題還涉及到,242亞加匚是否收斂，即它是否表示一個實數(shù)的問題。例4設y是偶數(shù)，最簡根式3x2xy與y；，4xy2是同次根式，求y的值。（根式概念；分類討論）【分析】首先利用偶次根式對根底數(shù)大于等于零（本題只能大于零）的要求，解得y的范圍，然后討論求得滿足要求的y的值?！窘獯稹坑赏胃降囊饬x，得3xyy6,知x2,于是給定根式為yj4與丫即y,它們?yōu)榕即胃剑谑?y0,6y0,推得y4,2,0,或2。1）當y4時，兩個根式為瓜與庭,其中屈不是最簡根式；2）當y2時，兩個根式為狗與石，其中4/4不是最簡根式；3）當y0時，兩個根式為游與蛇,其中V4

5、不是最簡根式；4）當y2時，兩個根式為短與我,它們是最簡根式，符合題意；所以，所求的y2?！驹u注】本題考察同次根式、最簡根式等基本概念。例5已知1x0,化簡：Jx22工Jx224。xx（根式化簡；配方法）【分析】這是一個字母根式的化簡問題。觀察知，兩個根底數(shù)都是完全平方式，而一個數(shù)平方再開根號等于這個數(shù)絕對值，然后根據(jù)已知給出的x的范圍打開絕對值解決問題?！窘獯稹炕喨缦略絁（x；）2卜x）2|x1|x1|（x1）（xx）2x0xxxxxx【評注】永遠要記住平方再開根號等于絕對值。3x2xyy2例6設a,x,y是兩兩不同的頭數(shù)，且；a（xa）qa（ya）Jxaq'ay,求的值。（根式

6、求值；隱含條件）x,y的值，就可以代入欲求xxyy【分析】考慮到偶次根式的根底數(shù)大于或等于零的隱含條件，容易從條件式解出值代數(shù)式進行簡單求值。【解答】因為a（xa）0,xa0知a0,a（ya）0,ay0知a0,由此得a0。于是x,yxy。2222所以，原式3yyyy1-O222c2cyyy3y3從偶次根式的根底數(shù)大于或等于零的隱含條件得到解題所需的中間結果。例7設5x5,且x0,化簡:（根式化簡；分式性質）【分析】觀察欲化簡根式的特點，注意到二與二都是正數(shù)，且互為倒數(shù)，采用將此根式的分子、分母5x5x同乘上JU即可一次性去掉根號解決問題。;5x【解答】化簡如下【評注】采用分母有理化解題將比較煩

7、瑣。例8已知ab0,且a2b2a2b2,化簡：a、：12b、；15?！痉治觥炕?。觀察所給條件式與欲化簡式的特點，利用條件式首先可將欲化簡式的根底數(shù)化簡,（根式化簡；分式性質）這時問題就簡單解：由a2b2a2b2得1,即1口，1a2b2a2b2b2原式心出ab|b|a|a|a|b|b|ab2.22.2ab當b0aab當a0b°abababab2.22.2abababab【評注】要對對a,b進行討論。例9設a,b,c,x,y,z是非零實數(shù)，且a2b2c2x22_2yzaxbycz，-的值。c【分析】觀察所給條件式的特點,可以通過配方法，得到ax0,by由此簡單求值。【解答】由a2b2c

8、2配方得于是即222xyzaxbycz,得2_22_22_2(a2axx)(b2byz)(c2czz)(ax)2(by)2(cz)20,ax0,by0,cz0,ax,by,cz。0,c0,（根式求值；配方法）z0,即ax,by,cz,所以，(x1z事。7y(6Tx5jy),求X汨y的值。2xxy3y【評注】巧妙利用條件式進行配方，妙！例10設x0,y0,且Vx(Vx21)(根式求值；因式分解)【分析】觀察欲求值式的特點，只須從條件式中求出旅：jy即可，由此將條件式分解因式，得到Jx5jy解決問題。【解答】由條件式得分解因式得因為衣亞0,故即xxyy所以，2xxy3y(Vx)2Wx7y5(77)

9、20,(x5,y)(.x.y)0,35.y0,x5yo25y5yy29y1_50y5y3y58y2例11化簡：J2a22Va4a21。(根式化簡；配方法)【分析】觀察欲化簡的根式，a4a21可以分解因式，這樣Va4a21就可以寫成兩個根式的乘積，再采用配方法進行化簡?！窘獯稹恳驗閍4a21(a42a21)a2(a21)2a2(a2a1)(aa1),所以原式VCa2a12&2a142a1(aa1)(a2a1)22,a2a1a2a1(a2a1)2(a2a1a2a1)2Va2a14a2a1?！驹u注】例12設由于a2a1,1x1,且xaa1的判別式都小于零，有°,化簡：(/圣2aa1

10、0,aa10o1x11、-=2)(-21),1xx1xIxI(根式化簡；提高題)j1x和3x進行【分析】本題欲化簡根式比較復雜，根據(jù)欲化簡根式的特點，可以圍繞著兩個簡單根式恒等變形達到化簡的目的。【解答】化簡如下原式（'1J-x(1x)2x.1x1x(1x1x)1x21|X|2x221x2x1x)21x21|x|1x21|x|x|x|x1x【評注】一邊化簡一邊觀察，尋找下一步的最佳運算方向。1例13已知2x33y34z3,-x1,求版x3y24?的值?！痉治觥坑傻谝粋€條件式，連比設k,則32x23y24z23kk,xy（根式求值；提高題）k3k,下面只須解決求3k的值，將zx,v,z表

11、示為k的表達式，代入第二個條件式即可解決問題。令2x33y34z3k,則#2x23y24z23k代入x2|x|1當1x0o當0x1x解之得所以,32x23y24z2【評注】在奧數(shù)中，與本題類似的題還有幾個。例14已知（&2006x）（Jy22006y）2006,求x23xy4y26x6y81的值?！痉治觥績蛇呁艘怨草V根式，將已知式化簡，從中可解出入法解決問題。（根式求值；提高題）y0,再將欲求值式因式分解，采用整體代【解答】將條件式兩邊乘收2006x,得,y22006x22006x,同理，將條件式兩邊乘，y22006y,得,x22006兩式相加得所以，原式（xy）（x4y6）y22006y0。y，8181o【評注】在奧數(shù)中，與本題類似的題還有幾個。三、同步練習題1 .已知a0,那么化簡|<a2a|的結果是（A.0B.2aC.2aD.不能確定2 .已知a,b,x,y都是實數(shù)，且滿足等式y(tǒng)訴2|1a：|x4|3y3b2,那么abxy。（2005年上海市初中數(shù)學競賽試題）3 113.當x士時，求代數(shù)式11的值。2