完整版數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

1、數(shù)列求和及綜合應(yīng)用解答題1.(2014湖北高考文科T19)已知等差數(shù)列時滿足:ai=2，且以郃成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式.記Sn為數(shù)列an的前n項和，是否存在正整數(shù)n,使得$>60n+800?若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由【解題指南】(1)由2,2+d,2+4d成等比數(shù)列可求得公差d,從而根據(jù)通項公式表示出數(shù)列an的通項.(2)根據(jù)an的通項公式表示出an的前n項和公式Sn,令$>60n+800，解此不等式.【解析】(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,依題意，2,2+d,2+4d成等比數(shù)列，故有(2+d)2=2(2+4d),化簡得d2-4d=0,解得d=0或d=4.當

2、d=0時,an=2;當d=4時,an=2+(n-1)4=4n-2,從而得數(shù)列an的通項公式為an=2或an=4n-2.當an=2時,Sn=2n.顯然2n<60n+800,此時不存在正整數(shù)n,使得9>60n+800成立.r,n2(4n2)n2當an=4n-2時,$=-=2n.2令2n2>60n+800，即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去)，此時存在正整數(shù)n,使彳#&>60n+800成立,n的最小值為41.綜上，當an=2時，不存在滿足題意的n.當an=4n-2時，存在滿足題意的n,其最小值為41.2. (2014湖北高考理

3、科T18)已知等差數(shù)列an滿足：a1=2,且a1，a2,a3成等比數(shù)列.第1頁共15頁(1) 求數(shù)列an的通項公式.(2) 記Sn為數(shù)列an的前n項和，是否存在正整數(shù)n,使得Sn60n800?若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由.【解題指南】(I)由2,2d,24d成等比數(shù)列可求得公差d,從而根據(jù)通項公式表示出數(shù)列an的通項；(n)根據(jù)a。的通項公式表示出a。的前n項和公式&,令Sn60n800,解此不等式?！窘馕觥?1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,依題意，d,2d,24d成等比數(shù)列，故有(2d)22(24d)化簡得d24d0,解得d0或d4當d0時，an2當d4時，an2(n1)44n

4、2從而得數(shù)列an的通項公式為an2或an4n2。當an2時，Sn2n。顯然2n60n800此時不存在正整數(shù)n,使得Sn60n800成立。當an4n2時，Snn2(4n2)22n2人22令2n60n800,即n30n4000,解得n40或n10(舍去)，此時存在正整數(shù)n,使得Sn60n800成立，n的最小值為41。綜上，當an2時，不存在滿足題意的n；當an4n2時，存在滿足題意的n,其最小值為41。3. (2014湖南高考理科T20)(本小題滿分13分)n已知數(shù)列an滿足a1,|an1an|p,nN.(1)若an是遞增數(shù)列，且a1，2a2,3a3成等差數(shù)列，求p的值；1(2)若p，且a2n1是

5、遞增數(shù)列，a2n是遞減數(shù)列，求數(shù)列An的通項公式.2【解題提示】(1)由an是遞增數(shù)列，去掉絕對值，求出前三項，再利用an2a2,3a3成等差數(shù)列，得到關(guān)于p的方程即可；第2頁共15頁（2）a2n1是遞增數(shù)列，a2n是遞減數(shù)列，可以去掉絕對值，再利用疊加法求通項公式?！窘馕觥浚?）因為an是遞增數(shù)列，所以an1anpn,2又a14所以數(shù)列an的通項公式為an3,a?p1,a3pp1,因為a1，2a2,3a3成等差數(shù)列，所以4a2a1_._2_23a3,4p413p3p3,3p解得1c,_p一,p0,當p0,an1an30,與am是遞增數(shù)列矛盾,所以（2）因為a2n1是遞增數(shù)列，所以a2n1a2

6、n1a2na2na2n10由于122na2n1a2na2na2n1由得a2na2n10,所以a2na2n2n11212n22n1因為a2n是遞減數(shù)列，所以同理可得1a2na2n2n由得an1n12n，所以anala2a1a3a2anan1n312212132n124.（2014湖南高考文科T17）（本小題滿分12分）已知數(shù)列an的前n項和Sn（1）求數(shù)列an的通項公式;設(shè)bn2an求數(shù)列bn的前2n項和.【解題提示】（1）利用an,Sn的關(guān)系求解,（2）分組求和。第3頁共15頁【解析】(1)當n1時，a1S11;當n2時，anSnSn122nn(n1)(n1)22故數(shù)列an的通項公式為annn

7、由(1)知，bn2n1n,記數(shù)列bn的前2n項和為T2n，則T2n(212222n)(12342n)記A212222n,B12342n,2n、則a2(12)22n12,12B(12)(34)(2n1)2nn故數(shù)列bn的前2n項和T2nAB22n1n2項和為S,且S5.(2014廣東高考文科T19)(14分)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n滿足Sn2-(n2+n-3)S1-3(n2+n)=0,nN.(1)求a1的值.(2)求數(shù)列an的通項公式.(3)證明:對一切正整數(shù)n,有+<-.ag1)a2(a21)an(41)3【解題提示】(1)可直接令n=1.(2)用n表示出S,利用an=S.-Sn-

8、1(n>2).(3)先對每一項進行放縮再裂項相消整理求和【解析】(1)令n=1,則S1=a1,G2-(12+1-3)S1-3(12+1)=0，即q2+a1-6=0,解得a1二2或a=-3(舍去).(2)Sn2-(n2+n-3)$-3(n2+n)=0可以整理為(Sn+3)S-(n2+n)=0,第4頁共15頁因為數(shù)列an中an>0,所以SW-3,只有s=n111+n.當n12時,an=S-Sn-i=n+n-(n-1)-(n-1)=2n,上-.一.一»t*而a1=2，所以數(shù)列an的通項公式為an=2n(nCN).(3)因為an(an1)2n(2n1)4n(n111'(n

9、-)(n1-)44-1所以一1a1(a1+1)a2(a2+1)1an(an1)11n-41二41<14n33故對一切正整數(shù)n,有+.+ai(a11)a2(a21)<1an(anD341_114分)N.若an為等比數(shù)列，且(2)設(shè)an1bnnN,記數(shù)列cn的前n項和為Sn6 .(2014浙江高考理科T19)(本題滿分bn已知數(shù)列an和bn滿足a1a2an22na12,b36b2.11)求an求Sn;求正整數(shù)使得對任意nN,均有SkSn第5頁共15頁aia2a3an(%2)"【解析】(1)由題總,b3b26知a3(&)b3b2(我)68n*、又由a12,得公比q2(q

10、2舍去)，所以數(shù)列an的通項an2(nN)n(n1)所以a1a2a3an22(蜴""所以數(shù)列H的通項bnn(n1)(nN)(2)由cn1)知111J1anbn2nnn1N*)S,所以n12n(n因為c10c2>0,c3>0,c4>0cn當5時,1n(n1)n(n1)12nn(n1)(n1)(n2)(n1)(n2)n(n1)二5(51)而2n2n12n1得2n25所以，當n15時，5<0綜上，對任意nN*恒有故k4.17 .(如4.考理科-T到已知數(shù)列滿足3an*gmN*,a,1.(1)若%2ax,%9,求x的取值范圍;1一一一一.(2)若an是公比為

11、q等比數(shù)列，Sna1a2Lan,-SnSn13Sn,nN*,求q的3取值范圍；(3)若a,a2,L,ak成等差數(shù)列，且aa?Lak1000,求正整數(shù)k的最大值，以及k取最大值時相應(yīng)數(shù)列a1,a2,L,ak的公差.【解題指南】11(11艮據(jù)-a2a33a2,-a3a43a4可求得x的氾圍.(2)需對q分類討論，右q1,33易得符合題意，若q1時，再通過放縮法解不等式組即得結(jié)論.(3).當k=1000,1一一2d=0是一組解，故kmax1000,根據(jù)1anan13an,可得d,然后根據(jù)闞32k12a2Lak1000,得到關(guān)于d的關(guān)系式，而d得到關(guān)于k的不等式，2k1解此不等式即得.【解析】第6頁共

12、15頁，、-12(1跖題息，-a2a33a2,-x6;33(2)由已知得,anqnx27;綜上可得;36；當q1時，sn當1<q3時,Sn1n,馬s3nqsi13sn,W-n33n,成立.Qqqn+11,3snsn13»,即qn+11q1n.3-q1n1一3,此不等式即31qqn13q1,故3qn1qn2=qn(3q-1)-2>2qn2對于不等式qn13qn+20,又當1q2時，q301得q23q0,解得1n1n.cq3q+21q2當1q1時,3qn(q3)2q(q3)2(q1)(q2)0成立此不等式即sn3qnqqnqn3q1，鼻snsn133、,即1qn+11q3q1

13、0,qn1n3qqn1n.cq3q+22(q1)(q2)02=qn(3q-1)-2<2qn2qn(q3)2q(q3)11 q1時，不等式恒成立3綜上，q的取值范圍為1q23設(shè)公差為d,顯然，當k1000,d0時，是一組符合題意的解，故kmax1000則由已知得1+(；2)d1(k1)d3(1(k2)d)(2k1)d2(2k5)d22 2當k1000H,不等式即d-,d22k12k5第7頁共15頁d的取值范圍為d2k1,k(k1)da1a2Lakk10002k1000時，d20002kk(k1)解得1000-999000k1000k1999k的最大值為1999,此時公差22k1.99900

14、0,20002k19981dk(k1)1999199819998 .(2014-江西高考文科T17)已知數(shù)列的前n項和Sn=,nN*.(1)求數(shù)列的通項公式.(2)證明：對任息的n>1,都有mN,使得a1,an,am成等比數(shù)列.【解題指南】利用an=Sn-Sn-1(n>2)解決.a1,an,am成等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化為二a1am.【解析】(1)當n=1時a1=S1二1;當n12時an=Sn-Sn-1=-=3n-2，對n=1也？兩足,所以的通項公式為an=3n-2;(2)證明：由得a1二1,an=3n-2,am=3m-2,要使a1,an,am成等比數(shù)列，需要二a1am,所以(3n-2)2=

15、3m-2,整理得m=3n-4n+2N*,所以對任意n>1,都有mNJ使得=a1am成立，即a1,an,am成等比數(shù)列.19 (2014上海圖考文科T23)已知數(shù)列aj滿足anan13an,nN*,a11.、nnnnI11'*i3(2)若a22®x,a49,求x的取值范圍；1，j(3)若an是等比數(shù)列，且am,求正整數(shù)m的最小值，以及m取最小值時相應(yīng)1000an的公比；求數(shù)列a1,a2,La©的公差的取值范圍.(3)若a1,a2,L,a©成等差數(shù)列,【解題指南】第8頁共15頁3al可把q的范圍求出,(1心艮據(jù)n1n一,求數(shù)列bn的前n項和Tn.anan

16、1a2a33a2,1a3a43a4可求得x的范圍.(2)根據(jù)1ala2333再根據(jù)通項將mfflq表示出來，用放縮法求解.(3).根據(jù)anan13an,可得公差d的關(guān)系式,3對n分類討論可得.【解析】2-x6;31(1位題息，-a2a33a23p1又§a3a43a4,3x27;綜上可得;3x6;(2)設(shè)公比為q,由已知得,an“1qn1,又為3a23七故am=qm1=,1000m110gq1000311logi00°q3lgqm勺最小值為8,故q7-10001,1000'3lg31)77.28設(shè)公差為d,由已知可得1+(n2)d其中2n100即(2n1)d(2n5)

17、d3107(n1)d3(1(n2)d),2得,-2d3n100寸,不等式即d22n5220012199綜上，公差d的取值范圍為2一,2.199已知等差數(shù)列(I)求數(shù)列an的通項公式;10.(2014山東高考理科T19)an的公差為2,前n項和為Sn,且S,S2,S4成等比數(shù)列.(H)令bn【解題指南】(1)先設(shè)出等差數(shù)列的首項.然后根據(jù)已知條件可列方程組求得數(shù)列an的第9頁共15頁bn裂成兩項之和，然后再分奇通項公式.（2）利用裂項求和法求解，注意本題是將數(shù)列數(shù)和偶數(shù)來求數(shù)列bn的前n項和.【解析】（I）d2$a1s2aid,S44ai6d,S,S2,S4成等比S2S1S4解得a11,an2n

18、1(II)bn(1)n1n-anan11)n12n-)1當n為偶數(shù)時，Tn（1所以Tn1,2n113)(2n35)(1157)1(2n312n1)1(2n112n1)當n為奇數(shù)時，Tn（1所以Tn2n12n111111)()()335572n22n1(12n3(.1所以Tn二n一,n為偶數(shù)2n1空二,n為奇數(shù)2n111.（2014山東高考文科T在等差數(shù)列an中，已知d2,19)a2是a與a4等比中項.（I）求數(shù)列an的通項公式;(H)設(shè)bnann1,記Tn。-2-b2banr、L1bn,求Tn.【解題指南】（1）先設(shè)出等差數(shù)列的首項.然后根據(jù)已知條件可列方程組求得數(shù)列an的通項公式.（2）分奇

19、數(shù)項和偶數(shù)項來討論求數(shù)列的和【解析】：（I）由題意知：an為等差數(shù)列，設(shè)ana1n1d,a?為a1與a4的等比中項22a2a124且a10,即a1da1al3d,d2解得：a12an2（n1）22n第10頁共15頁（H）由（I）知:anbnan(n1)n(n1)當n為偶數(shù)時:Tn22211222344當Tn22222n為奇數(shù)時:112223442-n2n22343526261口22n22n2n22n1,n為偶數(shù)12. （2014江西圖考理科T17）已知首項都是1的兩個數(shù)列anbn（bnW0,nCN）,滿足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.令Cn=,求數(shù)列Cn的通項公式.若bn=3

20、n+1,求數(shù)列an的前n項和S.【解題指南】（1）將等式兩端同時除以bnbn+1即可求解.（2）由（1）及bn=3n+1可得數(shù)列an的通項公式，分析通項公式的特征利用錯位相減法求&【解析】（1）因為6*0,所以由anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,得-+2=0，即-=2,所以Cn+1-Cn=2,所以Cn是以C1=1為首項,2為公差的等差數(shù)列，第11頁共15頁所以cn=1+(n-1)X2=2n-1.(2)因為bn=3n+1,cn=2n-1.所以an=Cnbn=(2n-1)3.所以S=1X32+3X33+5X34+(2n-1)3n+1,3s=1X33+3X34+(2n-3)3n

21、+1+(2n-1)3n+2,作差得:-2Sn=32+2(33+34+3n+1)-(2n-1)3n+2=9+2X-(2n-1)3n+2=-18+2(n-1)3n+2,所以S=9+(n-1)3n+2.13. (2014安徽高考文科T18)數(shù)列an滿足a11,nan1(n1聞n(n1),nN(1)證明：數(shù)列%是等差數(shù)列；n(2)設(shè)bn3n向，求數(shù)列bn的前n項和Sn【解題提示】利用等差數(shù)列的定義、錯位相消法分別求解。【解析】(1)由已知可得"二冬+1?且生包=1,所以邑是以1為首項，1為公差n+1nn+1nn的等差數(shù)列。(2)由(1)得冬=1+(n-1)=n,所以an=n2,從而bn=n.

22、3n,nSn=1.31+2.32+3.33+.+n.3n3Sn=1.32+2.33+3.34+.+(n-1)3n+n.3n+11o2o3oncn+13.(1-3)nn+1(1-2n).3n+1-3將以上兩式聯(lián)乂可行-2Sn=3+3+3+.+3-n.3=-n.3=1-32c(2n-1).3n+1+3所以Sn=414. (2014新課標全國卷II高考理科數(shù)學T17)(本小題滿分12分)已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1=3an+1.第12頁共15頁1(1)證明an一一=1,當n>1時,a1是等比數(shù)列，并求an的通項公式2(2)證明：1+±+-+±<3aia2an2【

23、解題提示】1,(1)將an+1=3an+1進仃配湊，得an+l+-與1an+2的關(guān)系圖",然后求得an的通項公式(2)求得的通項公式，然后證得不等式.an【解析】(1)因為a1=1,an+1=3an+1,nCN*.所以an+1+=3an+1+=3an222所以an1是首項為a1+1=g,公比為3的等比數(shù)列222一13n-3n1所以an+1=3，所以an=3yJ1_2<1an3n1<3n1-1所以-+a1工+工a?an<1+1+132+13<一.3n2所以，-+,+-<.N.aa2an215.2014四川高考理科T19)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,點(an,

24、bn)在函數(shù)f(x)2x的圖象上(nN*)(1)若a12,點(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列an的前n項和1(2)右a11,函數(shù)f(x)的圖象在點(azb)處的切線在x軸上的截距為2，求數(shù)列的前nIn2項和Tn.【解題提示】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公第13頁共15頁式和前n項和、導數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力【解析】(1)點(an,bn)在函數(shù)f(x)2x的圖象上,為d,所以bn2an,又等差數(shù)列an的公差所以也bn2an10an1a/a-22n因為點(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，所以4b72a8b8,所以2db84b7又a1na13d2nn22(2)函數(shù)由f(x)2xf(x)2xln2f(x)的圖象在點(a2,b2)處的切線方程為所以切線在x軸上的截距為從而anTn1-Tn212122所以Tn2故Tn22-3L222323一一L2211122223n22n.anbnn2n212416.(2014四川高考文科.a2,從而ln2n2n1n2n2門1T19)設(shè)等差數(shù)列a2b21ln2(2aln2)(xa?)1轉(zhuǎn)，故a2In212nn2n112n1an的公差為d,點(an,bn)