天津?qū)W大教育信息咨詢有限公司八年級上學(xué)期數(shù)學(xué)寒假課程學(xué)案勾股定理及其逆定理初步

1、第四講勾股定理及其逆定理初步第一部分知識梳理一、勾股定理1 .如果直角三角形的兩直角邊邊長分別為a、b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2。即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這一定理在我國稱為勾股定理22 .在4ABC中，/0=90°,a、b、c分別是/A、/B、/C的對邊.(1)若a=5,b=12,則c=13;(2)若c=4,a=用,則b=3;(3)若/A=30,a=1,則c=2,b=V3;(4)若/A=45°,a=1,則b=1,c=V2。二、勾股定理的逆定理1 .如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形。我們把這個定理叫做勾股

2、定理的逆定理。2 .勾股定理與勾股定理的逆定理的聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系：都與三角形的三邊有關(guān)并且都包含等式a2+b2=c2;都與直角三角形有關(guān)。區(qū)別：勾股定理是以一個三角形是直角三角形”為條件,進而得到這個直角三角形的三邊數(shù)量關(guān)系，即a2+b2=c2。勾股定理的逆定理是以'個三角形的三邊滿足a2+b2=c2”為條件,進而得到這個三角形是直角三角形。兩者的條件和結(jié)論相反。3 .在兩個命題中，如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論是第二個命題的題設(shè)，那么這兩個命題叫做互逆命題；如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。第二部分例題與解題思路方法歸納類型一：勾

3、股定理求解三角形【例題1】(2010?荷澤)如圖所示，在RtAABC中，/C=90,ZA=30°,BD是/ABC的平分線，CD=5cm,求AB的長.R選題意圖1本題利用了角平分線定義、直角三角形中30。的角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識.R解題思路1先有/A=30°,那么/ABC=60,結(jié)合BD是角平分線，那么可求出/DBC=ZABD=30,在RtADBC中，利用直角三角形中30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求出BD,再利用勾股定理可求BC,同理，在RtAABC中，AB=2BC,即可求AB.R參考答案1解：二.在RtAABC中，/C=90,/A=

4、30°,BD是/ABC的平分線，/ABD=/CBD=30,AD=DB,又RtCBD中，CD=5cm,.BD=10cm,BC=5cm,.AB=2BC=10cm.【課堂訓(xùn)練題】1.如圖所示，AACB和4ECD都是等腰直角三角形，/ACB=ZECD=90°,D為AB邊上一點.(1)求證：ZACEABCD;.AC=BC,EC=DC./ACE=/DCE-/DCA,/BCD=/ACB-/DCA,/ACB=/ECD=90,/ACE=/BCD.在4ACE和ABCD中,ACEABCD(SAS).（2）解：又/BAC=45,EAD=/EAC+/BAC=90,即EAD是直角三角形。.DE=13.

5、為3,則AC的長是（）工A.B.C.D.7R參考答案1解：作ADX13于D,作CEL13于E,/ABC=90,/ABD+/CBE=90又/DAB+ZABD=90/BAD=/CBE又AB=BC,/ADB=/BECABDABCEBE=AD=3在RtABCE中，根據(jù)勾股定理，得BC=,在RtAABC中，根據(jù)勾股定理，得AC贄=2;故選A.2.如圖，直線1上有三個正方形a,b,c,若a,c的面積分別為5和11,則b的面積為（）A.4B.6C.16D.55R參考答案1解：由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD,%1/ACD=90;2.如圖，已知那BC中，/ABC=90°,AB=BC,三角形的

6、頂點在相互平行的三條直線li,12,13上，且ll,12之間的距離為2,12,13之間的距離/ACB+/DCE=ZACB+/BAC=90/ABC=/CED=90,AC=CD,ACBADCE,.AB=CE,BC=DE;在RtAABC中，由勾股定ac2=ab2+bc2=ab2+de2,即/BAC=/DCE,理得：E一E即Sb=Sa+Sc=11+5=16,故選C.類型二：勾股定理的實際應(yīng)用【例題2如圖，在兩面墻之間有一個底端在A點的梯子，當(dāng)它靠在-側(cè)墻上時，梯子的頂端在B點；當(dāng)它靠在另一側(cè)墻上時，梯子的頂端在D點.已知/BAC=60,/DAE=45,點D到地面的垂直距離DE=m.求點B到地面的垂直距

7、離BC.R選題意圖1考查了勾股定理在實際問題中的應(yīng)用。R解題思路1在RtAADE中，運用勾股定理可求出梯子的總長度，在RtAABC中，根據(jù)已知條件再次運用勾股定理可求出BC的長.R參考答案1解：在RtDAE中， /DAE=45,/ADE=/DAE=45AE=DE=, AD2=AE2+DE2=()2+()2=16.AD=4,即梯子的總長為4米.AB=AD=4在RtAABC中，./BAC=60,./ABC=30; .AC=AB=2;BC2=AB2-AC2=42-22=12;BC=m;，點B到地面的垂直距離BC=m.【課堂訓(xùn)練題】1.有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別為6m,8m.現(xiàn)在要將綠

8、地擴充成等腰三角形，且擴充部分是以8m為直角邊的直角三角形，求擴充后等腰三角形綠地的周長.(圖2,圖3備用)圖1圖2圖3R參考答案解：在RtAABC中，/ACB=90,AC=8,BC=6由勾股定理有：AB=10,擴充部分為Rt9CD,擴充成等腰瀉BD,應(yīng)分以下三種情況：如圖1,當(dāng)AB=AD=10時，ACXBD,.CD=CB=6.ABD的周長=10+10+2X6=32m.如圖2,當(dāng)AB=BD=10時，BC=6m,/.CD=10-6=4m,.AD=ABD的周長=10+10+4=(20+)m.如圖3,當(dāng)AB為底時，設(shè)AD=BD=x,則CD=x-6,由勾股定理得：AD=x,解得,x=.ABD的周長為m

9、.2.甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險，沒有了水，需要尋找水源.為了不致于走散，他們用兩部對話機聯(lián)系，已知對話機的有效距離為15千米.早晨8:00甲先出發(fā)，他以6千米/時的速度向東行走，1小時后乙出發(fā)，他以5千米/時的速度向北行進，上午10:00,甲、乙二人相距多遠還能保持聯(lián)系嗎？R參考答案1解：如圖，甲從上午8:00到上午10:00一共走了2小時，走了12千米，即OA=12.乙從上午9:00到上午10:00一共走了1小時，走了5千米，即OB=5.在RtAOAB中，AB2=122十52=169.AB=13,因此，上午10:00時，甲、乙兩人相距13千米.15>13,.甲、乙兩人還能保持聯(lián)系

10、.答：上午10:00甲、乙兩人相距13千米，兩人還能保持聯(lián)系.類型三：利用方程思想求解三角形【例題3小明將一幅三角板如圖所示擺放在一起，發(fā)現(xiàn)只要知道其中一邊的長就可以求出求AC的長.R選題意圖1在直角ABDC中根據(jù)勾股定理得到BC的長，進而在直角AABC中，根據(jù)勾股定理，求出AC的長.BC.R解題思路1本題解決的關(guān)鍵是利用勾股定理，先求出兩個直角三角形的公共邊R參考答案1解：BD=CD=2,設(shè)AB=x,貝UAC=2x,，x2+8=4x2,AC=2AB=.1.如圖，滑桿在機械槽內(nèi)運動，/ACB為直角，已知滑桿AB長2.5米，頂端A在AC上運動，量得滑桿下端B距C點的距離為1.5米，當(dāng)端點B向右移

11、動0.5米時，求滑桿頂端R參考答案1解：設(shè)AE的長為x米，依題意得CE=AC-x.AB=DE=2.5,BC=1.5,ZC=9CT,.-AC=2,.BD=C.5,.在RtAECD中，CE=1.5.-2-x=1.5,x=C.5,即AE=C.5.答：梯子下滑C.5米.2 .如圖，/AQB=90°,OA=45cm,OB=15cm,一機器人在點B處看見一個小球從點A出發(fā)沿著AO方向勻速滾向點O,機器人立即從點B出發(fā)，沿直線勻速前進攔截小球，恰好路程BC是多少?R參考答案1解：二.小球滾動的速度與機器人行走的速度相等,在點C處截住了小球.如果小球滾動的速度與機器人行走的速度相等，那么機器人行走的

12、運動時間相等，即BC=CA,設(shè)AC為x,則OC=45x,由勾股定理可知ob2+oc2=bc2,又OA=45,OB=15,把它代入關(guān)系式152+(45-x)2=x2,解方程得出x=25(cm).答：如果小球滾動的速度與機器人行走的速度相等，那么機器人行走的路程BC是25cm.3 .如圖，AABC中，有一點P在AC上移動.若AB=AC=5,BC=6,貝UAP+BP+CP的最小值為（A. 8C.9.8R參考答案B. 8.8D.10解:從B向AC作垂線段BP,交AB于設(shè)AP=x,貝UCP=5x,在RtAABP中,BP2=AB2AP2,0在RtBCP中，BP2=BC2-CP2, .AB2-AP2=BC2

13、-CP2,.-5x=6(5x)解得x=1.4,在RtAABP中，BP=4.8,AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8.故選C.類型四：勾股定理的逆定理【例題4已知a、b、c為4ABC的三條邊，且滿足a2+b2+c2=10a+24b+26c-338.(1)試判斷三角形的形狀；(2)求三角形最長邊上的高.R選題意圖本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用.判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可；直角三角形有兩種求面積的方法.R解題思路(1)先將式子進行化簡，配方成完全平方的形式，求得a,b,c,根據(jù)勾股定理的逆定理進行判斷即可；(2)根據(jù)(1)求出三角

14、形的面積，再由最長邊乘以最長邊上的高除以2也等于這個三角形的面積，求出最長邊上的高.R參考答案解：(1)a2+b2+c2=10a+24b+26c-338 .a2-10a+b2-24b+c2-26c+338=0a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0(a-5)2=0,(b-12)2=0,(c-13)2=0a=5,b=12,c=13 a2+b2=c2=169.ABC是直角三角形；(2)祥BC最長邊為c,設(shè)c上的高為h.Saabc=X5X12=30,又,Saabc=30=30,h=.【課堂訓(xùn)練題】1.已知a,b,c為4ABC的

15、三邊，且(a-c):(a+b):(cb)=-2：7：1,試判斷GABC的形狀.R參考答案1解：(a-c):(a+b)=-2：7.9a+2b-7c=0 .1(a-c):(c-b)=-2：1 .a-2b+c=0 .1(a+b):(c-b)=7：1 -a+8b-7c=0 +得a：c=3:5,-得a：b=3:4.a：b:c=3:4：5ABC是直角三角形.2.已知：AABC的周長是4+2,AB=4,AC=.(1)判斷AABC的形狀；(2)若CD是AB上的中線，DELAB,/ACB的平分線交DE于E,交AB于F,連接BE.求證：DC=DE,并求ADBE的面積.ABC的周長是4+2,AB=4,AC=,BC=

16、(4+2)-4-()=,?AC2+BC2=AB2,.ABC是直角三角形；(2)過點C作CM±AB交AB于M,.DE，AB, .CM/DE, ./DEF=ZMCF,又AD=CD,ZA=ZACD, ./BCM=/A,/ACD=/BCM, .CE平分/ACB,/ACE=/BCE,/DCF=/MCF,/DCF=/DEF,DC=DE=AB=2, .DBE的面積=2X22=2.類型五：勾股數(shù)【例題5觀察下列勾股數(shù)：3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;，a,b,c根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請寫出(1)當(dāng)a=19時，求b、c的值；(2)當(dāng)a=2n+1時，求b、c的值；(3)用(2)的

17、結(jié)論判斷15,111,112是否為一組勾股數(shù)，并說明理由.R選題意圖此題主要考查學(xué)生對勾股數(shù)及規(guī)律題的綜合運用能力.R解題思路(1)仔細觀察可發(fā)現(xiàn)給出的勾股數(shù)中，斜邊與較大的直角邊的差是1,根據(jù)此規(guī)律及勾股定理公式不難求得b,c的值.(2)根據(jù)第一問發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，代入勾股定理公式中即可求得b、c的值.(3)將第二問得出的結(jié)論代入第三問中看是否符合規(guī)律，符合則說明是一組勾股數(shù)，否則不是.R參考答案解：(1)觀察得給出的勾股數(shù)中，斜邊與較大直角邊的差是1,即c-b=1 a=19,a2+b2=c2,，192+b2=(b+1)2,2 .b=180,，c=181;(2)通過觀察知c-b=1,3 (2n+1

18、)2+b2=c2,c2-b2=(2n+1)2,(b+c)(c-b)=(2n+1)2,4 .2b+1=(2n+1)2,b=2n2+2n,c=2n?+2n+1;(3)由(2)知，2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1為一組勾股數(shù)，當(dāng)n=7時，2n+1=15,112-111=1,但2n2+2n=112w11,15 .15,111,112不是一組勾股數(shù).【課堂訓(xùn)練題】1.(1)一位同學(xué)從勾股數(shù)飛4,5”中發(fā)現(xiàn)，由此他發(fā)現(xiàn)最小數(shù)是奇數(shù)的勾股數(shù)的構(gòu)造方法.你發(fā)現(xiàn)了嗎？請你寫出一下幾組勾股數(shù)組：5,；7,;9,;(2)寫出一般規(guī)律的表達方式，(用字母n表示，n為正整數(shù)),.R參考答案1解：(1);；(2)

19、一般規(guī)律的表達方式：n,2,若正整數(shù)a、b、c滿足方程a2+b2=c2,則稱這一組正整數(shù)(a、b、c)為商高數(shù)”，下面列舉五組商高數(shù)”：(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(7,24,25),(12,16,20),注意這五組商高數(shù)”的結(jié)構(gòu)有如下規(guī)律：,根據(jù)以上規(guī)律，回答以下問題：(1)商高數(shù)的三個數(shù)中，有幾個偶數(shù)，幾個奇數(shù)？(2)寫出各數(shù)都大于30的兩組商高數(shù)；(3)用兩個正整數(shù)m、n(m>n)表示一組商高數(shù)，并證明你的結(jié)論.R參考答案1解：(1)有一個偶數(shù)、兩個奇數(shù)或三個偶數(shù)；(2) (40,42,58,),(119,120,169);(3) a=2mn,b=m2-n

20、2,c=m2+n2證明：a2+b2=(2mn)2+(m2-n2)2=4m2n2+m4-2m2n2+n4=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2a2+b2=c2.類型六：添加輔助線構(gòu)造直角三角形【例題6（2006?臨沂）AABC中，BC=a,AC=b,AB=c.若/C=90,如圖1,根據(jù)勾股定理，則a2+b2=c2.若9BC不是直角三角形，如圖2和圖3,請你類比勾股定理，試猜想a2+b2與c2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.R選題意圖1本題考查了勾股定理的運用.通過作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.R解題思路1當(dāng)那BC是銳角三角形時，過點A作ADLBC,垂足為D,設(shè)CD為x,根據(jù)AD不變由勾股定理得

21、出等式b2-x2=AD2=c2-（a-x）2,化簡彳#出a2+b2>c2.當(dāng)ABC是鈍角三角形時過B作BDLAC,交AC的延長線于D,設(shè)CD為x,根據(jù)勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2.化簡得出a2+b2<c2.R參考答案1解：若9BC是銳角三角形，則有a2+b2>c2若"BC是鈍角三角形，/C為鈍角，則有a2+b2<c2.當(dāng)"BC是銳角三角形時，證明：過點A作AD±BC,垂足為D,設(shè)CD為x,則有BD=a-x根據(jù)勾股定理，得b2-x2=AD2=c2-（a-x）2即b2x2=c2a+2axx2.-a2+b2=c2+2axa>0

22、,x>0,2ax>0.a2+b2>c2.當(dāng)"BC是鈍角三角形時,證明：過B作BDXAC,交AC的延長線于D.設(shè)CD為x,貝U有BD2=a2-x2根據(jù)勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2.即a2+b2+2bx=c2.,.b>0,x>0,2bx>0,a2+b2<c2.【課堂訓(xùn)練題】1.（2009%峰）公園里有一塊形如四邊形ABCD的草地，測彳導(dǎo)BC=CD=10米，/B=/0=120°,/A=45.請你求出這塊草地的面積.R參考答案1解：連接BD,過C作0EXBD于E,.BC=DC=10,/ABC=/BCD=120,/1=72=30

23、°,.ABD=90,.-0E=5,BE=5./A=45,AB=BD=2BE=10,S四邊形AB0D=SABD+SAB0D=AB?BD+BD?0E=X10X|0+X10>5=150+25.2.如圖，C在線段AB上，AB=3A0,分別以AC、B0為邊在線段角形那CD與BCE,若AC=6,則DE的長度是（）A.6B.9C.6D.3R參考答案1解：分別過點D,E做AB的垂線段DM,EN,垂足AB的同側(cè)作兩個正三DEF為直角三角為M,N,過點D做DFLEN垂足為F,則四邊形DMNF為矩形，三角形形.,.AC=6,AB=18,BC=12,ACD與BCE是等邊三角形,MC=3,CN=6,.D

24、F=MN=9,DM=3,EN=6.EF=ENFN=ENDM=6-3=3EAMCN.DE2=DF2+EF2,即DE2=92+(3)2=108DE=6,故選C.第三部分課后自我檢測試卷A類試題:1.如圖所示,是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49,小正方形面積為4,若用x,y表示直角三角形的兩直角邊（x>y）,下列四個說法：x2+y2=49,x-y=2,2xy+4=49,x+y=9.其中說法正確的是(A.B.C.D.2.如圖，AABC和4DCE都是邊長為4的等邊三角形，點B、E在同一條直線上,連接BD,則BD的長為（C.3.如圖,小明用一塊有一個銳

25、角為30。的直角三角板測量樹高，已知小明離樹的距離為米，DE為1.68米，那么這棵樹大約有多高？（精確到0.1米，=1.7324.張老師在一次探究性學(xué)習(xí)”課中，設(shè)計了如下數(shù)表:n2345a22-132-142T52Tb46810c22+132+142+152+1(1)請你分別觀察a,b,c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n(n>1)的代數(shù)式表示：a=,b=,c=;(2)猜想：以a,b,c為邊的三角形是否為直角三角形并證明你的猜想.5 .如圖所示的一塊地，AD=12m,CD=9m,ZADC=90°,AB=39m,BC=36m,求這塊地的面積.B類試題：6 .如圖，在ZABC中，/C=

26、2/B,D是BC上的一點，且ADLAB,點E是BD的中點,連接AE.(1)求證：/AEC=/C;(2)求證：BD=2AC;(3)若AE=6.5,AD=5,那么AABE的周長是多少？7 .小強家有一塊三角形菜地，量得兩邊長分別為40m,50m,第三邊上的高為30m.請你幫小強計算這塊菜地的面積.(結(jié)果保留根號)8 .我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊.(1)寫出你所知道的四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱,;(2)如圖，將以BC繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到ADBE,連接AD

27、、DC,若/DCB=30°,試證明；DC2+BC2=AC2.(即四邊形ABCD是勾股四邊形)C類試題：9 .如圖，AACB和ECD都是等腰直角三角形，/ACB=/ECD=90°,D為AB邊上一點,求證：(1) ZCEABCD;(2) AD2+DB2=DE2.10.在ZABC中，AD是BC邊上的中線，點M在AB邊上，點N在AC邊上，并且/MDN=90,如果BM2+CN2=DM2+DN2,求證：AD2=(AB2+AC2).課后自我檢測試卷參考答案A類試題：1 .解：大正方形的面積是49,則其邊長是7,顯然，利用勾股定理可得x2+y2=49,故選項正確；小正方形的面積是4,則其邊

28、長是2,根據(jù)圖可發(fā)現(xiàn)y+2=x,即x-y=2,故選項正確；根據(jù)圖形可得四個三角形的面積+小正方形的面積=大正方形的面積，即4Xxy+4=49,化簡得2xy+4=49,故選項正確；x+y=9,無法證明，故此選項不正確.故選B.2 .解：,ABC和4DCE都是邊長為4的等邊三角形，./DCE=/CDE=60,BC=CD=4./BDC=/CBD=30./BDE=90.BD=4.故選D3 .解：在RtAACD中，/CAD=30°,AD=3,設(shè)CD=x,貝UAC=2x,由AD2+CD2=AC2,得，32+x2=4x2,x=1.732,所以大樹高1.732+1.683.4（米）.4 .解：（1）

29、由題意有：n21,2n,n2+i；（2）猜想為：以a,b,c為邊的三角形是直角三角形.證明：a=n2-1,b=2n;c=n2+1a2+b2=(n2-1)2+(2n)2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2而c2=(n2+1)2根據(jù)勾股定理的逆定理可知以a,b,c為邊的三角形是直角三角形.5 .解：連接AC,在RtAADC中，AC2=CD2+AD2=122+92=225, AC=15,在AABC中，AB2=1521,AC2+BC2=152+362=1521,，AB2=AC2+BC2,ZACB=90, .Saabc-SCD=AC?BC-AD?CD=<15X36-X12>9=270-54=216.答：這塊地的面積是216平方米.B類試題：6 .證明：(1)ADXAB,ABD為直角三角形.又