解題思路的探索與解題過(guò)程的改進(jìn)一例中學(xué)數(shù)學(xué)雜志1999年第6期

1、解題思路的探索與解題過(guò)程的改進(jìn)一例兀C題目：給定函數(shù)f(x)二3sin(2x)1是方程f(x)=O的兩個(gè)不3等實(shí)根，且，：(0/)，求tanC1)的值i、解題思路的探索分析1:/是方程f(x)二0的根，如果能夠求出:-/-的值，那么二-及tan(-：、)均可求出。解法i方程f(x)=0可整理為sin(2x3)1.由于/(0,二)，所3jiji+乏(一2兀3(3,2ji目，所以312:一二3arcsin23JI一=2二31.arcsin,(?。?：1)，所以31 arcsin321arcsin27兀所以：6，所以tan£。tan：tan:分析2由于tanC1)，若能求出tan，tan1

2、或1-tan。tanPtantan：、tantan：，則能求出tan)。那么就必須把f(x)=0轉(zhuǎn)化為tanx的方程，而萬(wàn)能公式可以辦到。2解法2方程f(x)=0可化為、3cos2xsin2x0cosx二031-tan2x不滿足方程，所以cosx=0.由于cos2x-,1+tanx.2tanxsin2x，代入方程整理得1+tanx(2-33)tan2x6tanx332=0(*)由于:-是方程f（x）=O在（0嚴(yán)）上的兩個(gè)根，所以tana,tan0是關(guān)于n-6tanx的一元二次方程（*）的兩根，從而tantan：2 -3J33 J3+2tan：*tan.所以tan（:2-3丁32、解題過(guò)程的改進(jìn)

3、對(duì)解法1的過(guò)程如下兩點(diǎn)思考:思考(1)是否一定要解方程(2)中的arcsin1在：3-中相消是否為一種巧合？于問(wèn)題的本質(zhì)是否有關(guān)?分析.1arcsin既然在3中消去，說(shuō)明它是非本質(zhì)的。事實(shí)上要求的是整體二b的正切值，也就可以考慮直接求-：，；'，而不必解方程.。如何從兩個(gè)孤立的量解法3Jisin(2)cos(:亠亠呢，于是從方程組f(:)因:/是f（x）=0的兩根,-sin(2：=0即:ji嚴(yán)）=0，=0,fO=0入手。f（：）=f（,0，整理得:/-(0,二)且=知0，所以sin（-）=0，故有cos(:3RV3tan()=2。H1)=0即cos()-3235sin（：）=0所以思考

4、二對(duì)解法2是否一定要將f（X）二0轉(zhuǎn)化為關(guān)于tanx的方程呢?分析由于解法2是運(yùn)用萬(wàn)能公式轉(zhuǎn)化為tanx的方程，事實(shí)上f（x）二0也可轉(zhuǎn)化為關(guān)于怡嗆6)的方程，從而得到一種解法。解法4方程即sin(2x§)蘭-1:-，運(yùn)用萬(wàn)能公式整理得關(guān)于tan(x)的362TL兀方程：tan(x)6tan(x)66=0(*)由于是方程f(x)=0在(0,兀)上的兩個(gè)不等實(shí)根，所以tan©tan(：)是關(guān)于tan(x)的方程(*)的二不等實(shí)根，由韋達(dá)定理知66tan(：JIc兀兀C兀)+tan()=6且tan()tan()=1，所以666671tan(：ji6)°，tan(：JI

5、訐0ji且tan(訐CW(0,二)，所以31+6JI(,：)，從而23ji27.3兀所以tan徑+P)=。6331P+-63、解題過(guò)程的再改進(jìn)縱觀解法1至解法4都是從方程根的數(shù)量特征進(jìn)行分析探索而產(chǎn)生的，那么方程的根在其幾何形式上有什么樣的解釋呢？，所以事實(shí)上由于方程的根的幾何意義，又有下面的解決方法。JI分析1sin(2x)二1的根3實(shí)質(zhì)上是函數(shù)y=sin(2x)的圖像匕1與y的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此從圖像3上觀察可以得到一種直觀解法。3JT解法5作函數(shù)y=sin(2x)1在(0,二)上的圖像，于是它們有兩1_17個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，依題可知AC,-),B(-)。顯然這兩點(diǎn)關(guān)于直線x-3312對(duì)

6、稱，從而:-=-，如圖1,所以tan(二匸)6分析2本題既然是考察三角函數(shù)值，而三角函數(shù)值又可以用單位圓中的有向線段表示，所以可以考慮用單位圓解決。解法6方程f(X)二0即為JIf(x)=0在(0,二)上的兩個(gè)不等實(shí)根，所以232是sint二31-3的在(3,23)內(nèi)的兩個(gè)不等的實(shí)根，如圖2OA,OB分313的終邊，顯然OA，OB關(guān)于y軸負(fù)半軸對(duì)稱，所以-372：3+2：丁2h即：=6二，所以tan(»71JT分析3f(x)=0既然可以整理成關(guān)于sin2x,cos2x的方程3cos2xsin2x2=o，若用新變量s,t替換sin2x,cos2x則方程為3st2=0,它3表示直角坐標(biāo)平面sot內(nèi)的一條直22線，而st二1則表示單位圓，于是可以用直線與圓的位置關(guān)系來(lái)解。解法7f(x)=O可整理成3cos2x+sin2x+s=co2s,t=si2n，則3st-=0，且s2t2=1。3于是直線3s13222-,2的終邊,如圖3。過(guò)AB中點(diǎn)D作AB的垂線交單位圓于M,N。那么0M是2：2的終邊，而此時(shí)