泰勒公式(提高班)

1、泰勒公式（提高班）授課題目：§3.3泰勒公式教學(xué)目的與要求：1.掌握函數(shù)在指定點的泰勒公式；2.了解泰勒公式在求極限及證明命題中的應(yīng)用.教學(xué)重點與難點：重點：幾個常用函數(shù)的泰勒公式難點：泰勒公式的證明講授內(nèi)容： 對于一些較復(fù)雜的函數(shù)，為了便于研究，往往希望用一些簡單的函數(shù)來近似表達由于用多項式表示的函數(shù)，只要對自變量進行有限次加、減、乘三種算術(shù)運算，便能求出它的函數(shù)值來，因此我們經(jīng)常用多項式來近似表達函數(shù)。 在微分的應(yīng)用中已經(jīng)知道，當很小時，有如下的近似等式：，這些都是用一次多項式來近似表達函數(shù)的例子顯然在處這些次多項式及其一階導(dǎo)數(shù)的值，分別等于被近似表達的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的相應(yīng)值 但是

2、這種近似表達式還存在著不足之處：首先是精確度不高，它所產(chǎn)生的誤差僅是關(guān)于的高階無窮小；其次是用它來作近似計算時，不能具體估算出誤差大小因此，對于精確度要求較高且需要估計誤差的時候，就必須用高次多項式來近似表達函數(shù)，同時給出誤差公式 于是提出如下的問題：設(shè)函數(shù)在含有的開區(qū)間內(nèi)具有直到()階導(dǎo)數(shù)，試找出一個關(guān)于()的次多項式 (1)來近似表達，要求與之差是比高階的無窮小，并給出誤差的具體表達式 下面我們來討論這個問題假設(shè)在處的函數(shù)值及它的直到階導(dǎo)數(shù)在處的值依次與，相等，即滿足，按這些等式來確定多項式(1)的系數(shù).為此，對（1）式求各階導(dǎo)數(shù)，然后分別代人以上等式，得， ，即得 ，. (2)將求得的系

3、數(shù)代入（1）式，有. 下面的定理表明，多項式(2)的確是所要找的次多項式定理1 （泰勒(Taylor)中值定理） 如果函數(shù)在含有的某個開區(qū)間()內(nèi)具有直到()階的導(dǎo)數(shù)，則當任一，有, （3）其中 ， （4）這里是與之間的某個值證明 只需證明 (在與之間) 由假設(shè)可知，在()內(nèi)具有直到()階導(dǎo)數(shù)，且對兩個函數(shù)及在以及為端點的區(qū)間上應(yīng)用柯西中值定理(顯然，這兩個函數(shù)滿足柯西中值定理的條件)，得 (在與之間)，再對兩個函數(shù)與在以及為端點的區(qū)間上應(yīng)用柯西中值定理，得(在與之間)照此方法繼續(xù)做下去，經(jīng)過()次后得 (在與之間，因而也在與之間)注意到 （因），則由上式得 （在與之間），定理證畢 多項式(2

4、)稱為函數(shù)按()的冪展開的次近似多項式，公式(3)稱為按的冪展開的帶有拉格朗日型余項的階泰勒公式而的表達式(4)稱為拉格朗日型余項 當時，泰勒公式變成拉格朗日中值公式： (在與之間)因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣 出泰勒中值定理可知，以多項式近似表達函數(shù)時，其誤差為如果對于某個固定的，當時，則有估計式： （5） 及 由此可見，當時誤差是比高階的無窮小，即這樣，我們提出的問題完滿地得到解決. 在不需要余項的精確表達式時，階泰勒公式也可寫成 (7)的表達式（6）稱為佩亞諾（Peano）型余項，公式（7）稱為按的冪展開的帶有佩亞諾型余項的階泰勒公式. 在泰勒公式(3)中，如果取，則在0與

5、之間因此可令，從而泰勒公式變成較簡單的形式，即所謂麥克勞林(Maclauri)公式 () （8）在泰勒公式（7）中，如果取，則有帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式 （9）由（8）或（9）可得近似公式：， 誤差估計式（5）相應(yīng)地變成 （10）例1 寫出函數(shù)的帶有拉格朗日型余項的階麥克勞林公式解 因為 ，所以 把這些值代入公式(8)，并注意到便得+ () 由這個公式可知，若把用它的次近似多項式表達為，這時所產(chǎn)生的誤差為 （）. 如果取，則得無理數(shù)e的近似式為 ，其誤差 當時，可算出，其誤差不超過例2 求的帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式解 因為 ，所以 等等它們順序循環(huán)地取四個數(shù)0，1，0，一1，

6、于是按公式(8)得(令)，其中 （）.如果取m1，則得近似公式 這時誤差為 （） 如果分別取2和3，則可得的3次和5次近似多項式 和 ，其誤差的絕對值依次不超過和以上三個近似多項式及正弦函數(shù)的圖形都畫在圖1中，以便于比較 圖1類似地，還可以得到，其中 （）；，其中 （）；，其中 （） 由以上帶有拉格朗日型余項的麥克勞林公式，易知相應(yīng)的帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式。除了洛必達法則之外，泰勒公式也是極限計算的重要方法。例3 利用帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式，求極限解 由于分式的分母，只需將分子中和分別用帶有佩亞諾型余項的三階麥克勞林公式表示，即， 于是 ，對上式作運算時，把兩個比高階的無窮小的代數(shù)和記為，故注 本例解法就是用泰勒公式求極限的方法，這種方法的關(guān)鍵是確定展開的函數(shù)(如本例中的和)及展開的階數(shù)(如本例中的3階)。補充例題設(shè)且.證明：.證明 而在點處的一階泰勒公式為即，又由于，故.小結(jié)與提問：小結(jié)：泰勒公式提供了“判定函數(shù)極值的第二充分條件”的分析依據(jù)；提供了“利用二階導(dǎo)數(shù)符號來判定函數(shù)曲線凹向”的分析依據(jù)；提供了近似計算的理論基礎(chǔ)。 提