微積分基本公式

1、第六章 定積分第二節(jié) 微積分的基本公式一. 積分上限函數(shù)二. 微積分基本公式一. 積分上限函數(shù) (變上限的定積分) , , , )( 就有值每給定一對(duì)而言對(duì)可積函數(shù)baxf . d)(I 與之對(duì)應(yīng)確定的定積分值baxxf與它的上下限的定積分這意味著 d)( )( baxxfxf . 之間存在一種函數(shù)關(guān)系 , ,則得到積讓積分上限變化固定積分下限不變:分上限函數(shù) . , d)(d)()( baxttfxxfxFxaxaOxyabx x)(xfy 積分上限函數(shù)的幾何意義Oxyabx x)(xfy 積分上限函數(shù)的幾何意義xaxxf d)(曲邊梯形的面積的代數(shù)和隨 x 的位置而變化。 ,d)(d)(

2、有由積分的性質(zhì)：abbaxxfxxf, d)(d)( xbbxttfttf所以，我們只需討論積分上限函數(shù). d)( 稱為積分下限函數(shù)bxttf證證 . ),(d)()( ),()( baCttfxFbaRxfxa則若 , , , , 則且baxxbax)()()(xFxxFxFxxxxaxxattfttfttf d)(d)(d)( .| )(| , )( ),()( MxfbaxfbaRxf上有界：在故又xMttfttfxFxxxxxx d| )(| |d)(| | )(|0 于是 . ),()( , baCxFx即可得的任意性由夾逼定理及點(diǎn) . , : 1 積分上限函數(shù)是連續(xù)的上的定義在區(qū)間

3、說(shuō)明定理ba ?積分上限函數(shù)是否可導(dǎo) ,d)()()( xxxttfxFxxF由 , ),()( 得則由積分中值定理如果baCxf , )(d)()()( xfttfxFxxFxxx) (之間與在xxxxxfxxFxxFxx)(lim)()(lim 00故)()(lim0 xffx這說(shuō)明了什么這說(shuō)明了什么 ？ 條件, d)()( ),()( battfxFbaCxfxa在則若 , 且上可導(dǎo) . )( )(d)(dd)( bxaxfttfxxFxa , , ),()( 0處連續(xù)且在點(diǎn)若baxbaRxf . )()( , d)()( 000 xfxFxttfxFxa且處可導(dǎo)在點(diǎn)則(在端點(diǎn)處是指的

4、左右導(dǎo)數(shù) )例1) dcos (xatt dcosddxattx .cosx ?) dcos ( xaxx定積分與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān)定積分與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān). )(xF .cos) dcos ( xxxxa例2 . )( , d)1sin()( 2 0 2xFttxFx求設(shè)解 , )()( , d)1sin()( , 2 0 22xgxFttugxuu則令xuugxFdd)()( 故)()d)1sin(2 0 2 xttu . )1sin(22)1sin(42xxxu這是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo), 你能由此寫出它的一般形式嗎? , 一般地 , )( , )( 則可導(dǎo)若Cxfx . )()() d)( (

5、)()( xxfttfxFxa例3解 . dlim 21 cos 02xtextx計(jì)算2cos 1 021 cos 0dlimdlim 22xtextextxxtxxxexx2)sin(lim2cos0 . 21e羅必達(dá)法則羅必達(dá)法則 )()() d)( ()( xxfttfxa下面再看定理 2 . )()( d)()( 你會(huì)想到什么？及由xfxFttfxFxa, d)()( ),()( battfxFbaCxfxa在則若 , 且上可導(dǎo) . )( )(d)(dd)( bxaxfttfxxFxa, ,d)()( ),()( baxttfxFbaCxfxa則若 . , )( 上的一個(gè)原函數(shù)在為ba

6、xf . I )( , ) I ()( 上原函數(shù)存在在則若xfCxf 推論推論1 推論推論2 .域內(nèi)原函數(shù)存在基本初等函數(shù)在其定義 推論推論3 .區(qū)間內(nèi)原函數(shù)存在初等函數(shù)在其有定義的上在為則如果 , )( d)( ),()( baxfttfbaCxfxa .的一個(gè)原函數(shù) , )( )( 則有的原函數(shù)為若已知xfxF .)(d)(0 CxFttfxa . )( ,)(d)(0 , 00 aFCCaFttfaxaa故則令 , 則得到取bx . )()(d)(d)( aFbFxxfttfbaba2. 微積分基本公式基本公式基本公式 ) (萊布尼茨公式牛頓 , )( )( ),()( 上的在為若bax

7、fxFbaCxf , 則一個(gè)原函數(shù) ).()( )(d)( aFbFxFxxfbaba . 函數(shù)的計(jì)算聯(lián)系起來(lái)了將定積分的計(jì)算與求原萊布尼茨公式牛頓定積分的計(jì)算定積分的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的導(dǎo)函知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)數(shù), ,求原來(lái)函數(shù)求原來(lái)函數(shù)的問(wèn)題的問(wèn)題 . . 例5 ,cos)(sinxx . 10sin2sin sindcos202 0 xxx 問(wèn)題的關(guān)鍵是如何求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù).例6 .2) 1arctan(1arctan arctand111 11 1 2xxx .21)0sin42(sin21 2sin21d2cos40 4 0 xxx例7 . d2cos1 0 xx計(jì)算解 0 2 0 dcos2 d2cos1 xxxx 0 d|cos| 2xx 2 2 0 d)cos( 2dcos 2xxxx . 22 sin2 sin2220 xx怎么辦？怎么辦？ 去絕對(duì)值符號(hào)(如果是分段函數(shù)，則利用積分的性質(zhì)將積分分成幾個(gè)部分的和的