微積分基本公式

1、第六章 定積分第二節(jié) 微積分的基本公式一. 積分上限函數(shù)二. 微積分基本公式一. 積分上限函數(shù) (變上限的定積分) , , , )( 就有值每給定一對而言對可積函數(shù)baxf . d)(I 與之對應確定的定積分值baxxf與它的上下限的定積分這意味著 d)( )( baxxfxf . 之間存在一種函數(shù)關系 , ,則得到積讓積分上限變化固定積分下限不變:分上限函數(shù) . , d)(d)()( baxttfxxfxFxaxaOxyabx x)(xfy 積分上限函數(shù)的幾何意義Oxyabx x)(xfy 積分上限函數(shù)的幾何意義xaxxf d)(曲邊梯形的面積的代數(shù)和隨 x 的位置而變化。 ,d)(d)(

2、有由積分的性質：abbaxxfxxf, d)(d)( xbbxttfttf所以，我們只需討論積分上限函數(shù). d)( 稱為積分下限函數(shù)bxttf證證 . ),(d)()( ),()( baCttfxFbaRxfxa則若 , , , , 則且baxxbax)()()(xFxxFxFxxxxaxxattfttfttf d)(d)(d)( .| )(| , )( ),()( MxfbaxfbaRxf上有界：在故又xMttfttfxFxxxxxx d| )(| |d)(| | )(|0 于是 . ),()( , baCxFx即可得的任意性由夾逼定理及點 . , : 1 積分上限函數(shù)是連續(xù)的上的定義在區(qū)間

3、說明定理ba ?積分上限函數(shù)是否可導 ,d)()()( xxxttfxFxxF由 , ),()( 得則由積分中值定理如果baCxf , )(d)()()( xfttfxFxxFxxx) (之間與在xxxxxfxxFxxFxx)(lim)()(lim 00故)()(lim0 xffx這說明了什么這說明了什么 ？ 條件, d)()( ),()( battfxFbaCxfxa在則若 , 且上可導 . )( )(d)(dd)( bxaxfttfxxFxa , , ),()( 0處連續(xù)且在點若baxbaRxf . )()( , d)()( 000 xfxFxttfxFxa且處可導在點則(在端點處是指的

4、左右導數(shù) )例1) dcos (xatt dcosddxattx .cosx ?) dcos ( xaxx定積分與積分變量的記號無關定積分與積分變量的記號無關. )(xF .cos) dcos ( xxxxa例2 . )( , d)1sin()( 2 0 2xFttxFx求設解 , )()( , d)1sin()( , 2 0 22xgxFttugxuu則令xuugxFdd)()( 故)()d)1sin(2 0 2 xttu . )1sin(22)1sin(42xxxu這是復合函數(shù)求導, 你能由此寫出它的一般形式嗎? , 一般地 , )( , )( 則可導若Cxfx . )()() d)( (

5、)()( xxfttfxFxa例3解 . dlim 21 cos 02xtextx計算2cos 1 021 cos 0dlimdlim 22xtextextxxtxxxexx2)sin(lim2cos0 . 21e羅必達法則羅必達法則 )()() d)( ()( xxfttfxa下面再看定理 2 . )()( d)()( 你會想到什么？及由xfxFttfxFxa, d)()( ),()( battfxFbaCxfxa在則若 , 且上可導 . )( )(d)(dd)( bxaxfttfxxFxa, ,d)()( ),()( baxttfxFbaCxfxa則若 . , )( 上的一個原函數(shù)在為ba

6、xf . I )( , ) I ()( 上原函數(shù)存在在則若xfCxf 推論推論1 推論推論2 .域內(nèi)原函數(shù)存在基本初等函數(shù)在其定義 推論推論3 .區(qū)間內(nèi)原函數(shù)存在初等函數(shù)在其有定義的上在為則如果 , )( d)( ),()( baxfttfbaCxfxa .的一個原函數(shù) , )( )( 則有的原函數(shù)為若已知xfxF .)(d)(0 CxFttfxa . )( ,)(d)(0 , 00 aFCCaFttfaxaa故則令 , 則得到取bx . )()(d)(d)( aFbFxxfttfbaba2. 微積分基本公式基本公式基本公式 ) (萊布尼茨公式牛頓 , )( )( ),()( 上的在為若bax

7、fxFbaCxf , 則一個原函數(shù) ).()( )(d)( aFbFxFxxfbaba . 函數(shù)的計算聯(lián)系起來了將定積分的計算與求原萊布尼茨公式牛頓定積分的計算定積分的計算問題轉化為已問題轉化為已知函數(shù)的導函知函數(shù)的導函數(shù)數(shù), ,求原來函數(shù)求原來函數(shù)的問題的問題 . . 例5 ,cos)(sinxx . 10sin2sin sindcos202 0 xxx 問題的關鍵是如何求一個函數(shù)的原函數(shù).例6 .2) 1arctan(1arctan arctand111 11 1 2xxx .21)0sin42(sin21 2sin21d2cos40 4 0 xxx例7 . d2cos1 0 xx計算解 0 2 0 dcos2 d2cos1 xxxx 0 d|cos| 2xx 2 2 0 d)cos( 2dcos 2xxxx . 22 sin2 sin2220 xx怎么辦？怎么辦？ 去絕對值符號(如果是分段函數(shù)，則利用積分的性質將積分分成幾個部分的和的