數(shù)值分析第六章學(xué)習(xí)小結(jié)

1、第六章學(xué)習(xí)小結(jié)姓名：張亞杰 班級：機(jī)械 1505班 學(xué)號：S20150232一、 本章學(xué)習(xí)體會1、在工程實(shí)際中經(jīng)常會遇到一些原函數(shù)難于表出，或者原函數(shù)的表達(dá)式過于復(fù)雜，或者被積函數(shù)以離散的數(shù)值給出，這時本科時學(xué)的牛頓萊布尼茨公式就無法計(jì)算了，本章是基于上述情況給出一個近似求解定積分的計(jì)算方法。2、數(shù)值積分的基本思想是：用簡單函數(shù)近似代替被積函數(shù)，然后建立多項(xiàng)式的積分公式，這樣就將積分求值問題轉(zhuǎn)換為了被積函數(shù)數(shù)值的計(jì)算，避開了牛頓萊布尼茨公式需要尋求原函數(shù)的困難。3、數(shù)值積分是數(shù)值逼近的一個重要內(nèi)容，也是插值函數(shù)的一個直接應(yīng)用。4、本章重點(diǎn)是牛頓科特斯求積公式和高斯型求積公式。二、知識構(gòu)圖：求積

2、公式一般形式求積節(jié)點(diǎn)求積系數(shù) （1）定義如果求積公式(6.1)當(dāng)f(x)為任何次數(shù)不高于m的多項(xiàng)式時都成為等式,而當(dāng)f(x)為某個m+1次多項(xiàng)式時(6.1)不能成為等式,則稱求積公式(6.1)具有m次代數(shù)精度.（2）判斷方法：如果求積公式中當(dāng)f(x)為 時都成為等式,而當(dāng)f(x)為時不能成為等式,則求積公式(6.1)具有m次代數(shù)精度.代數(shù)精度利用前面的拉格朗日插值公式知識，求積公式中通過插值基函數(shù)積分求出。兩個定理: 1、n+1個節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式至少具有n次代數(shù)度2、n+1個節(jié)點(diǎn)的求積公式如果至少具有n次代數(shù)度,則它是插值型求積公式。插值型求積公式又稱等距節(jié)點(diǎn)的求積公式（將區(qū)間n等分，步長

3、h相等）。形式：其中。2、n=1時是梯形公式n=2時為拋物線公式。n=3時為Simpon3/8公式n=4時為Cotes公式。3、理解并掌握以上四個公式的代數(shù)精度和截?cái)嗾`差。牛頓-科特斯公式牛頓-科特斯求積公式當(dāng)n大于8時具有不穩(wěn)定性，因此不可能通過提高階數(shù)的方法提高精度，通過將區(qū)間等分，再在每個區(qū)間上用低階公式，這種方稱為復(fù)合求積法。1、復(fù)化梯形公式一般公式和截?cái)嗾`差，復(fù)化梯形公式收斂具有數(shù)值穩(wěn)定性。2、復(fù)化Simpon公式的一般形式和截?cái)嗾`差，復(fù)化Simpon公式收斂且具有數(shù)值穩(wěn)定性。3、缺點(diǎn)：當(dāng)精度比較高時計(jì)算量大，為達(dá)到所要求的精度，一般無法選擇合適的步長。復(fù)化求積法公式數(shù)值積分 高 斯

4、 型 求 積 公 式這種帶權(quán)積分公式如果具有次代數(shù)精度，節(jié)點(diǎn)為高斯點(diǎn)，相應(yīng)的公式為高斯型求積公式。優(yōu)點(diǎn)：使用節(jié)點(diǎn)少精度高高。定義高斯-勒讓德求積公式一般形式：區(qū)間為-1,1,高斯點(diǎn)為勒讓德多項(xiàng)式的零點(diǎn) 高斯-拉蓋爾求積公式一般形式，區(qū)間為，高斯點(diǎn)為拉蓋爾多項(xiàng)式的零點(diǎn). 一般形式：，區(qū)間為，高斯點(diǎn)為埃米爾特多項(xiàng)式零點(diǎn)。高斯-埃米爾特求積公式高斯-切比雪夫求積公式一般形式： 其中，高斯點(diǎn)為切比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)。三、 思考題1、牛頓科特斯求積和高斯求積節(jié)點(diǎn)分布有何不同？對同樣數(shù)目的節(jié)點(diǎn)，兩種求法哪種更精確？為什么？答：牛頓科特斯求積時，將積分區(qū)間等分，求積節(jié)點(diǎn)是個等距節(jié)點(diǎn)，高斯求積公式的節(jié)點(diǎn)稱為高斯點(diǎn)，一般是不等距點(diǎn)。對于同樣數(shù)目的節(jié)點(diǎn)，高斯型求積公式是代數(shù)精度最高的求積公式，更精確些。 2、什么是高斯型求積公式？它的求積節(jié)點(diǎn)是如何確定的？它的代數(shù)精度是多少？為何稱它是具有最高代數(shù)精度的求積公式？答：對于個求積節(jié)點(diǎn)，若求積公式具有次代數(shù)精度，則稱其節(jié)點(diǎn)為高斯點(diǎn)，相應(yīng)的求積公式為高斯型求積公式。插值型求積公式的節(jié)點(diǎn)是高斯點(diǎn)的充分必要條件是這些節(jié)點(diǎn)為零點(diǎn)的多項(xiàng)式與任何次數(shù)不超過的多項(xiàng)式帶權(quán)正交，即高斯型求積公式的代數(shù)精度是，個求積節(jié)點(diǎn)的求積公式的代數(shù)精度最高為次。四、測驗(yàn)題如果，證明用梯形公式計(jì)算積分所得的結(jié)果比準(zhǔn)確值