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文檔簡介
1、數(shù)列極限說課稿(修改稿)北大附中 李寧各位評委、老師們:你們好!我是北大附中的數(shù)學(xué)教師李寧。北大附中是北京市重點中學(xué)。有機(jī)會能參加這次教學(xué)研討活動,向全國各省的數(shù)學(xué)老師們學(xué)習(xí),我深感榮幸。這次我說課的內(nèi)容是高中代數(shù)課本(下冊)第六章第二部分6.4節(jié)數(shù)列極限的起始課。這部分內(nèi)容在課本第60頁至65頁。下面由我根據(jù)自己編寫的教案,把我對本節(jié)課的教學(xué)目的、過程、方法、工具等方面的簡單認(rèn)識作一個說明。希望專家們、老師們對我說課的內(nèi)容多提寶貴意見。一、關(guān)于教學(xué)目的的確定:眾所周知,對數(shù)列極限這個概念的理解可為今后高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ),但由于學(xué)生對數(shù)列極限概念及其定義的數(shù)學(xué)語言表述的理解比較困難,這種理
2、解上的困難將影響學(xué)生對后繼知識的學(xué)習(xí),因此,我從知識、能力、情感等方面確定了本次課的教學(xué)目標(biāo)。 1在知識上,使學(xué)生理解極限的概念,能初步利用極限定義確定某些簡單的數(shù)列極限; 2在能力上,培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力和在探索問題中的,由靜態(tài)到動態(tài)、由有限到無限的辨證觀點。體驗“從具體到抽象,從特殊到一般再到特殊”的認(rèn)識過程; 3在情感上,通過介紹我國古代數(shù)學(xué)家劉徽的成就,激發(fā)學(xué)生的民族自尊心和愛國主義思想情感,并使他們對數(shù)列極限知識有一個形象化的了解。二、關(guān)于教學(xué)過程的設(shè)計:為了達(dá)到以上教學(xué)目的,根據(jù)北大附中教學(xué)傳統(tǒng)把這次課連排兩節(jié)。在具體教學(xué)中,根據(jù)“循序漸進(jìn)原則”,我把這次課分為三個階段:
3、“概念探索階段” ;“概念建立階段” ;“概念鞏固階段”。下面我將對每一階段教學(xué)中計劃解決的主要問題和教學(xué)步驟作出說明。(一) “概念探索階段”1. 這一階段要解決的主要問題在這一階段的教學(xué)中,由于注意到學(xué)生在開始接觸數(shù)列極限這個概念時,總是以靜止的觀點來理解這個描述變化過程的動態(tài)概念,總覺得與以前知識相比,接受起來有困難,似乎這個概念是突然產(chǎn)生的,甚至于不明概念所云,故我在這一階段計劃主要解決這樣幾個問題: 使學(xué)生了解以研究函數(shù)值的變化趨勢的觀點研究無窮數(shù)列,從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列極限的過程; 使學(xué)生形成對數(shù)列極限的初步認(rèn)識; 使學(xué)生了解學(xué)習(xí)數(shù)列極限概念的必要性。 2本階段教學(xué)安排 我采取溫故知新、推
4、陳出新的教學(xué)過程,分三個步驟進(jìn)行教學(xué)。 溫故知新由于研究數(shù)列極限首先應(yīng)對數(shù)列知識有一個清晰的了解,因此在具體教學(xué)中通過對教案中5個具體數(shù)列通項公式的思考讓學(xué)生對數(shù)列通項公式這個概念產(chǎn)生回憶,指出以前研究數(shù)列都是研究的有限項的問題,現(xiàn)在開始研究無限項的問題。 然后引導(dǎo)學(xué)生回憶數(shù)列是自變量為自然數(shù)的函數(shù),通項公式就是以n為自變量的、定義域為自然數(shù)集的函數(shù)的解析式。再引導(dǎo)學(xué)生回憶研究函數(shù),實際上研究的就是自變量變化過程中,函數(shù)值變化的情況和變化的趨勢,并以第2的數(shù)列為例說明:當(dāng)n=2、3、4、5 時,對應(yīng)的、 就說明自變量由2增加到5時,對應(yīng)的函數(shù)值就由減小到這種變化情況。若問自然數(shù)n一直增加下去,
5、函數(shù)應(yīng)怎樣變化下去,這就是研究變化的趨勢。 這樣利用通項公式就可把數(shù)列變化趨勢問題與函數(shù)值變化趨勢問題有機(jī)地結(jié)合起來,引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)值變化趨勢的角度來看待例題中五個數(shù)列的變換趨勢。通過這種討論,在對變化趨勢這個概念的理解上發(fā)揮心理學(xué)上所提“無意注意”的作用,使學(xué)生對進(jìn)一步討論的數(shù)列變換趨勢問題不至于太陌生。 推陳出新在對5個數(shù)列變化趨勢的分析過程中,通過引導(dǎo),由學(xué)生討論得到數(shù)列(2)、(3)、(5)的共同特征,近而向?qū)W生說明:“具有類似于數(shù)列(2)、(3)、(5)共性的數(shù)列稱為有極限的數(shù)列,共性中的“趨近于一個確定的常數(shù)”稱它為有極限數(shù)列的極限”。并進(jìn)一步和學(xué)生討論如何給數(shù)列的極限下定義,此時
6、我根據(jù)學(xué)生情況給予提示,給出數(shù)列極限概念的描述性說明:當(dāng)項數(shù)無限增加時,數(shù)列的項無限趨近于某一個確定的常數(shù)的數(shù)列稱為有極限的數(shù)列,這個確定的常數(shù)稱為數(shù)列極限。 劉徽及其割圓術(shù)的介紹學(xué)生對數(shù)列極限概念有了一定的認(rèn)識,為了使學(xué)生認(rèn)識到這個概念并不是突然產(chǎn)生的,是和他們已有的知識結(jié)構(gòu)密切相關(guān)的,為此在第一階段我設(shè)計了這一部分教學(xué)。 我一方面介紹了我國古代數(shù)學(xué)家對數(shù)列極限思想所做的貢獻(xiàn),如“在世界數(shù)學(xué)史上,劉徽是最早運用這種數(shù)列極限的思想解決數(shù)學(xué)問題的大數(shù)學(xué)家。用這種指導(dǎo)思想計算圓面積的方法,就稱為劉徽割圓術(shù).用類似劉徽割圓術(shù)的方法求出圓周率的近似值,雖然在公元前3世紀(jì)的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德也算出過,
7、但所用的方法卻比劉徽所用的方法繁雜的多。” 在另一方面重點結(jié)合計算機(jī)模擬劉徽割圓術(shù),介紹這種算法的指導(dǎo)思想:“割之彌細(xì),所失彌少。割之又割,以至于不可割,則與圓合體,而無所失矣”。通過課件動態(tài)演示,進(jìn)一步在“無意注意”作用的發(fā)揮上下文章,加深學(xué)生對“變化趨勢”、“趨近于”、“極限”等概念的認(rèn)識,為下一階段極限概念的教學(xué)提供對這個概念感性認(rèn)識的基礎(chǔ)。(二) “概念建立階段”1 這一階段要解決的任務(wù)由于數(shù)列極限概念及其定義的數(shù)學(xué)語言表述具有高度的概括性、抽象性,學(xué)生初次接觸很困難。具體講,在-N語言中,學(xué)生搞不清的兩重性絕對的任意性、相對的確定性;學(xué)生搞不清“N”,不太理解N的實質(zhì)是表示項數(shù)n無限
8、增大過程中的某一時刻,從這一時刻起,所有an(n>N),都聚集在以極限值A(chǔ)為中心,為半徑的鄰域中,N是否存在是證明數(shù)列極限存在的關(guān)鍵。因此在這一階段的教學(xué)中,我采取“啟發(fā)式談話法”與“啟發(fā)式講解法”, 注意不“一次到位”,這樣在本階段我設(shè)計解決的幾個主要問題是:建立、理解數(shù)列極限的定義;認(rèn)識定義中反映出的靜與動的辨證關(guān)系;初步學(xué)習(xí)論證數(shù)列極限的方法。2 本階段教學(xué)安排本階段教學(xué)安排分三個步驟進(jìn)行。 問題的提出在教學(xué)安排上,我根據(jù)學(xué)生形成對數(shù)列極限的初步認(rèn)識,以數(shù)列“”為例,提出一個學(xué)生形成極限概念時不好回答的問題:根據(jù)數(shù)列極限定義直觀描述,這個數(shù)列的極限是1,即當(dāng)項數(shù)n無限增大時,這個數(shù)
9、列的項無限地趨近于1,問題是為什么不說這個數(shù)列的項無限地趨近于1.1,從而使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題在于自己已獲得的數(shù)列極限概念中“無限趨近于”這一描述,這種描述比較含混,感到有必要對極限定義做進(jìn)一步精確描述。 問題的解決具體講,由于數(shù)軸上兩點的距離及其解析表示對學(xué)生來說是很熟悉的,故我在教學(xué)中利用數(shù)軸引導(dǎo)學(xué)生先得出結(jié)論:“趨近于”是距離概念,距離的解析表示是絕對值,“無限趨近于”就可用距離要多小有多小來表示。即數(shù)列項與確定常數(shù)差的絕對值要多小有多小。 然后讓學(xué)生通過具體計算如:“思考已知數(shù)列中是否有到1.1的距離為0.01的項?”使學(xué)生知道已知數(shù)列的項不能與1.1的距離要多小有多小,即1.1不是已知數(shù)列
10、的極限,從而使學(xué)生對“要多小有多小”這一概念有了進(jìn)一步認(rèn)識,并為量化|an-1|當(dāng)項數(shù)無限增加時要多小有多小打下基礎(chǔ)。 數(shù)列極限定義的得出 在“檢驗1是否滿足:已知數(shù)列的項與1的差的絕對值是否要多小有多小”的教學(xué)過程中,我采取“給距離找項數(shù)”的方法。具體講讓學(xué)生考慮已知數(shù)列中有哪些項與1的差的絕對值小于0.1、0.05、0.0011、0.0001,讓學(xué)生把用計算器計算的結(jié)果在黑板上列表寫出并解釋所得的結(jié)果,如提示學(xué)生得出結(jié)論:“已知數(shù)列中第908項以后各項與1的差的絕對值小于0.0011?!边@種討論的目的是使學(xué)生感受到“N”是項數(shù)n 無限增大的過程中的一個標(biāo)志,進(jìn)而說明對于給定的每一個正數(shù),可
11、找到N,當(dāng)n>N時,|an-1|小于這個正數(shù)。進(jìn)而讓學(xué)生注意無論表示距離的正數(shù)取的多么小,也不能說成“要多小有多小”,而把具體值改為后即可解決這個問題。 這樣通過討論,在我的引導(dǎo)下,使學(xué)生得到結(jié)論:“數(shù)列: 當(dāng)項數(shù)無限增大時,它的項越來越趨近于1”,也就是數(shù)列: 的極限為1,并進(jìn)一步讓學(xué)生總結(jié)出一般數(shù)列的極限的準(zhǔn)確定義。 (三)“概念鞏固階段” 1 本階段的教學(xué)計劃在這一階段的教學(xué)中我計劃做兩件事情:說明N、|an-A |<在討論數(shù)列極限時所起的作用;是習(xí)題訓(xùn)練。2 本階段的教學(xué)過程根據(jù)上述說明,這一階段分為兩個步驟。 定義說明除了對極限概念予以說明外為了加深學(xué)生對數(shù)列極限概念中N
12、、|an-A |<的認(rèn)識,我讓學(xué)生討論問題“任意有極限的無窮數(shù)列能否使極限值為數(shù)列中的項”及“常數(shù)列是否有極限”,當(dāng)學(xué)生有困難時,可通過舉數(shù)列 “”并提示其根據(jù)定義考慮問題。這樣使學(xué)生進(jìn)一步體會由特殊到一般再到特殊的認(rèn)識規(guī)律。 習(xí)題訓(xùn)練在學(xué)生對數(shù)列極限定義的初步掌握的基礎(chǔ)上,為鞏固學(xué)生所學(xué),我讓學(xué)生作課本例1,練習(xí)這道題目的在于總結(jié)上一階段得到數(shù)列極限的過程,同時讓學(xué)生熟悉數(shù)列極限定義的應(yīng)用步驟;在此基礎(chǔ)上結(jié)合北大附中學(xué)生的特點我安排了例2,讓學(xué)生作這道題目的在于通過對這道題的證明與討論可讓學(xué)生對等比數(shù)列1,q,q2,qn,收斂、發(fā)散性有一個清楚的了解。在例2的處理手法上我讓學(xué)生先各抒己
13、見,然后采用幾何畫板演示,驗證同學(xué)猜想,從而激發(fā)學(xué)生的求知欲望。由于1,q,q2,qn,和是今后學(xué)習(xí)過程中的常用數(shù)列,因此我覺得學(xué)生對例1、例2的掌握的好壞將對后面的學(xué)習(xí)產(chǎn)生直接影響。 補(bǔ)充說明對于較好的班級,還可考慮用直角坐標(biāo)系來代替數(shù)軸。由于數(shù)列是以自然數(shù)集子集為定義域的特殊函數(shù),其圖象是離散的點.這使得數(shù)列的項與點(n,f(n),即點(n,an)對應(yīng)起來.當(dāng)數(shù)列an有極限A時,在直角坐標(biāo)平面內(nèi)的幾何意義為:任給正數(shù),存在一個以直線y=A+和y=A-為邊界的條形區(qū)域,存在一個N,當(dāng)n>N時,所有的點(n, an)都落在這個條形區(qū)域內(nèi)。換句話說數(shù)列的項在坐標(biāo)平面內(nèi)對應(yīng)的點,只有有限個點落在條形區(qū)域外。利用這種方式教授這節(jié)課,形象直觀,并為今后函數(shù)極限的教學(xué)打下基礎(chǔ)。三、關(guān)于教學(xué)用具的說明: 這節(jié)課的教學(xué)目的之一是使學(xué)生通過對極限概念形成過程的了解,較為自然地接受極限的定義,以利于加深對概念的理解和掌握。因此在本節(jié)課中主要使用的是計算器和計算機(jī)課件演示。計算器的作用在于使學(xué)生理解 “”和“N”內(nèi)在關(guān)系;計算機(jī)課件演示目的有三:其一是通過史料的簡單介紹對學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育;其二是在概念形成階段,為學(xué)生提供感性認(rèn)識的基礎(chǔ);其三可對學(xué)生所得的結(jié)論驗證、完善,加深對問題的理解,鞏固所學(xué)的概念??傊扒‘?dāng)使用現(xiàn)代
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