數(shù)值計算方法思考題

1、數(shù)值計算方法思考題第一章 預篇1什么是數(shù)值分析？它與數(shù)學科學和計算機的關系如何？2何謂算法？如何判斷數(shù)值算法的優(yōu)劣？3列出科學計算中誤差的三個來源，并說出截斷誤差與舍入誤差的區(qū)別。4什么是絕對誤差與相對誤差？什么是近似數(shù)的有效數(shù)字？它與絕對誤差和相對誤差有何關系？5什么是算法的穩(wěn)定性？如何判斷算法穩(wěn)定？為什么不穩(wěn)定算法不能使用？6判斷如下命題是否正確：（1）一個問題的病態(tài)性如何，與求解它的算法有關系。（2）無論問題是否病態(tài)，好的算法都會得到好的近似解。（3）解對數(shù)據(jù)的微小變化高度敏感是病態(tài)的。（4）高精度運算可以改善問題的病態(tài)性。（5）用一個穩(wěn)定的算法計算良態(tài)問題一定會得到好的近似值。（6）用

2、一個收斂的迭代法計算良態(tài)問題一定會得到好的近似值。（7）兩個相近數(shù)相減必然會使有效數(shù)字損失。（8）計算機上將1000個數(shù)量級不同的數(shù)相加，不管次序如何結果都是一樣的。7考慮二次代數(shù)方程的求解問題ax2 + bx + c = 0.下面的公式是熟知的.與之等價地有.對于a = 1, b = -100 000 000 , c = 1應當如何選擇算法？8指數(shù)函數(shù)有著名的級數(shù)展開如果對x < 0用上述的級數(shù)近似計算指數(shù)函數(shù)的值，這樣的算法結果是否會好？為什么？9考慮數(shù)列xi, i = 1, n, 它的統(tǒng)計平均值定義為它的標準差數(shù)學上它等價于作為標準差的兩種算法，你如何評價它們的得與失？第二章 非線

3、性方程求根1判斷如下命題是否正確：(a) 非線性方程的解通常不是唯一的；(b) Newton法的收斂階高于割線法；(c) 任何方法的收斂階都不可能高于Newton法；(d) Newton法總是比割線法更節(jié)省計算時間；(e) 如果函數(shù)的導數(shù)難于計算，則應當考慮選擇割線法；(f) Newton法是有可能不收斂；(g) 考慮簡單迭代法xk+1 = g(xk)，其中x* = g(x*)。如果| g¢(x*) | <1，則對任意的初始值，上述迭代都收斂。2什么叫做一個迭代法是二階收斂的？Newton法收斂時，它的收斂階是否總是二階的？3求解單變量非線性方程的單根，下面的3種方法，它們的收

4、斂階由高到低次序如何？(a) 二分法(b) Newton方法(c) 割線方法4求解單變量非線性方程的解，Newton法和割線方法，它們每步迭代分別需要計算幾次函數(shù)值和導數(shù)值？ 5求解某個單變量非線性方程，如果計算函數(shù)值和計算導數(shù)值的代價相當，Newton法和割線方法它的優(yōu)劣應如何評價？ 第三章 解線性方程組的直接法1用高斯消去法為什么要選主元？哪些方程組可以不選主元？2高斯消去法與LU分解有什么關系？用它們解線性方程組Ax = b有何不同？A要滿足什么條件？3喬列斯基分解與LU分解相比，有什么優(yōu)點？4哪種線性方程組可用平方根法求解？為什么說平方根法計算穩(wěn)定？5什么樣的線性方程組可用追趕法求解并

5、能保證計算穩(wěn)定？6何謂向量范數(shù)？給出三種常用的向量范數(shù)。7何謂矩陣范數(shù)？何謂矩陣的算子范數(shù)？給出矩陣A = (ai j )的三種范數(shù)| A|1，| A|2，| A|，| A|1與| A|2哪個更容易計算？為什么？8什么是矩陣的條件數(shù)？如何判斷線性方程組是病態(tài)的？9滿足下面哪個條件可判定矩陣接近奇異？（1）矩陣行列式的值很小。（2）矩陣的范數(shù)小。（3）矩陣的范數(shù)大。（4）矩陣的條件數(shù)小。（5）矩陣的元素絕對值小。10判斷下列命題是否正確：（1）只要矩陣A非奇異，則用順序消去法或直接LU分解可求得線性方程組Ax = b的解。（2）對稱正定的線性方程組總是良態(tài)的。（3）一個單位下三角矩陣的逆仍為單位

6、下三角矩陣。（4）如果A非奇異，則Ax = b的解的個數(shù)是由右端向量b的決定的。（5）如果三對角矩陣的主對角元素上有零元素，則矩陣必奇異。（6）范數(shù)為零的矩陣一定是零矩陣。（7）奇異矩陣的范數(shù)一定是零。（8）如果矩陣對稱，則| A|1 = | A| 。（9）如果線性方程組是良態(tài)的，則高斯消去法可以不選主元。（10）在求解非奇異性線性方程組時，即使系數(shù)矩陣病態(tài)，用列主元消去法產(chǎn)生的誤差也很小。（11）| A |1 = | AT | 。（12）若A是n ´ n的非奇異矩陣，則。（13）一個奇異的矩陣不可能有LU分解；（14）一個非奇異的對稱矩陣，如果不是正定的則不能有Cholesky分解

7、。11假設矩陣A有cond(A) = 1，從而A是好條件的。問下面的哪些矩陣條件數(shù)也一定是1？（a）cA，其中c是任意的非零常數(shù)； （d）QA，其中Q是任意的正交矩陣；（b）DA，其中D是非奇異的對角矩陣； （e）A的逆矩陣；（c）BA，其中B是任意的非奇異矩陣； （f）A的轉(zhuǎn)置矩陣。第四章 解線性方程組的迭代法1寫出求解線性方程組Ax = b的迭代法的一般形式。并給出它收斂的充分必要條件。2給出迭代法收斂的充分條件、誤差估計及其收斂速度。3寫出解線性方程組Ax = b的雅可比迭代法與高斯-塞德爾迭代法的計算公式，它們的基本區(qū)別是什么？4何謂矩陣A嚴格對角占優(yōu)？何謂A不可約？5將雅可比迭代、高

8、斯-塞德爾迭代和具有最優(yōu)松弛參數(shù)的SOR迭代，按收斂快慢排列。6判斷下列命題是否正確。（1）雅可比迭代與高斯-塞德爾迭代同時收斂且后者比前者收斂快。（2）高斯-塞德爾迭代是SOR迭代的特殊情形。（3）A對稱正定則SOR迭代一定收斂。（4）A為嚴格對角占優(yōu)或不可約對角占優(yōu)，則解線性方程組Ax = b的雅可比迭代與高斯-塞德爾迭代均收斂。（5）A對稱正定則雅可比迭代與高斯-塞德爾迭代都收斂。（6）SOR迭代法收斂，則松弛參數(shù)0< w < 2。點。第五章 矩陣特征值和特正向量的求解1判斷如下命題是否正確：(a) 對應于給定特征值的特征向量是唯一的；(b) 每個n階的方陣一定有n個線性無關

9、的特征向量；(c) 實矩陣的特征值一定是實的；(d) 一個n階方陣奇異的充分必要條件是：0是該矩陣的特征值；(e) 任意的n階的方陣，一定與某個對角矩陣相似；(f) 如果兩個n階方陣的特征值相同，這兩個矩陣一定相似；(g) 一個n階方陣的所有特征值都為0，這個矩陣一定是零矩陣；2下面各類的任意n階矩陣，哪些矩陣的特征值一定可以用有限的代數(shù)運算精確求解？(a)實對稱矩陣； (d)上三角矩陣；(b)對角矩陣； (e)上Hessenberg矩陣；(c)三對角矩陣； (f)沒有重特征值的實矩陣。3對非奇異的矩陣，將下面各算法的復雜度由低到高排列出來：(a)計算矩陣的所有特征值和特征向量；(b)用列主元

10、Gauss消去法計算矩陣的LU分解；(c)計算矩陣的逆；(d)回帶求解系數(shù)矩陣為上三角的線性方程組。4求解特征值問題的條件數(shù)與求解線性方程組問題的條件數(shù)是否相同，兩者分別是什么？實對稱矩陣的特征值問題總是良態(tài)的嗎？第六章 函數(shù)插值1什么是拉格朗日插值基函數(shù)？它們是如何構造的？有何重要性質(zhì)？2什么是牛頓基函數(shù)？它與單項式基1, x, , xn有何不同？3什么是函數(shù)的n價均差？它有何重要性質(zhì)？4寫出n + 1個點的拉格朗日插值多項式與牛頓均差插值多項式。它們有何異同？5用上題給出的三種不同基底構造插值多項式的方法確定基函數(shù)系數(shù)，試按工作量由低到高給出排序。6給出插值多項式的余項表達式。如何用它估計

11、截斷誤差？7埃爾米特插值與一般函數(shù)插值區(qū)別是什么？什么是泰勒多項式？它是什么條件下的插值多項式？8為什么高次多項式插值不能令人滿意？分段低次插值與單個高次多項式插值相比有何優(yōu)點？9三次樣條插值三次分段埃爾米特插值有何區(qū)別？哪一個更優(yōu)越？請說明理由。10確定n + 1個節(jié)點的三次樣條插值函數(shù)要多少個參數(shù)？為確定這些參數(shù)，需加上什么條件？11判斷下列命題是否正確？（1）對給定的數(shù)據(jù)作插值，插值函數(shù)個數(shù)可以任意多。（2）如果給定點集的多項式插值是唯一的，則其多項式表達式也是唯一的。（3）li (x) (i= 0, 1, n )是關于節(jié)點xi ( i =0, 1, , n)的拉格朗日插值基函數(shù)，則對任

12、何次數(shù)不大于n的多項式P (x)都有。（4）當f (x)為連續(xù)函數(shù)，節(jié)點xi (i= 0, 1, n )為等距節(jié)點，構造拉格朗日插值多項式Ln (x)，則n越大Ln(x)越接近f (x).（5）同上題，若構造三次樣條插值函數(shù)Sn (x)，則n越大得到的三次樣條函數(shù)Sn (x)越接近f (x).（6）高次拉格朗日插值是很常用的。（7）函數(shù)f (x)的牛頓插值多項式Pn (x)，如果f (x)的各階導數(shù)均存在，則當xi ®x0 (i= 1, 2, n ) 時，Pn (x)就是f (x)在x0點的泰勒多項式。12為更好地保持被逼近函數(shù)的凸性，你選擇下述哪種方法：（a）Lagrange插值多

13、項式；（b）3次樣條插值函數(shù)；（c）3次Hermite插值函數(shù)。13數(shù)據(jù)量特別大時，你選擇下述哪種方法：（a）Lagrange插值多項式；（b）3次Hermite插值函數(shù)；（c）3次樣條插值函數(shù)；（d）最小二乘擬合。第七章 函數(shù)逼近1f , g ÎC a , b，它們的內(nèi)積是什么？如何判斷函數(shù)族j 0, j 1, , j nÎC a , b在a ,b上線性無關？2什么是函數(shù)f ÎC a , b在區(qū)a , b上的n 次最佳一致逼近多項式？3什么是f 在a , b 上的n次最佳平方逼近多項式？什么是數(shù)據(jù)的最小二乘曲線擬合？ 4什么是 a , b 上帶權r (x)的正交

14、多項式？什么是 -1, 1 上的勒讓德多項式？它有什么重要性質(zhì)？5什么是切比雪夫多項式？它有什么重要性質(zhì)？6用切比雪夫多項式零點做插值得到的插值多項式與拉格朗日插值有何不同？7什么是最小二乘擬合的法方程？用多項式做擬合曲線時，當次數(shù)n較大時為什么不直接求解法方程？8計算有理分式Rmn (x)為什么要化為連分式？9哪種類型函數(shù)用三角插值比用多項式插值或分段多項式插值更合適？12判斷下列命題是否正確？（1）任何f (x) ÎC a , b都能找到n次多項式Pn (x) Î Hn，使| f (x) - Pn (x) | £ e ( e 為任給的誤差限)。（2）是f (x

15、)在 a , b上的最佳一致逼近多項式，則對成立。（3）f (x) ÎC a , b在a , b上的最佳平方逼近多項式Pn (x) Î Hn則。（4）是首項系數(shù)為1的勒讓德多項式，Qn (x) Î Hn是任一首項系數(shù)為1的多項式，則。（5）是-1 , 1上首項系數(shù)為1的切比雪夫多項式。Qn (x) Î Hn是任一首項系數(shù)為1的多項式，則（7）當數(shù)據(jù)量很大時用最小二乘擬合比用插值好。第八章 數(shù)值積分1給出計算積分的梯形公式及中矩形公式，說明它們的幾何意義。2什么是求積公式的代數(shù)精確度？梯形公式及中矩形公式的代數(shù)精確度是多少？3對給定求積公式的節(jié)點，給出兩種

16、計算求積系數(shù)的方法。4什么是牛頓-柯特斯求積？它的求積節(jié)點如何分布？它的代數(shù)精確度是多少？5什么是辛普森求積公式？它的余項是什么？它的代數(shù)精確度是多少？6什么是復合求積法？給出復合梯形公式及其余項表達式。7給出復合辛普森公式及其余項表達式。如何估計它的截斷誤差？8什么是龍貝格求積？它有什么優(yōu)點？9什么是高斯型求積公式？它的求積節(jié)點是如何確定的？它的代數(shù)精確度是多少？為何稱它是具有最高代數(shù)精確度的求積公式？10牛頓-柯特斯求積和高斯求積的節(jié)點分布有什么不同？對同樣數(shù)目的節(jié)點，兩種求積方法哪個更精確？為什么？11描述自動求積的一般步驟。怎樣得到所需的誤差估計？12判斷如下命題是否正確：（1）如果被

17、積函數(shù)在區(qū)間a , b 上連續(xù)，則它的黎曼（Riemann）積分一定存在。（2）數(shù)值求積公式計算總是穩(wěn)定的。（3）代數(shù)精確度是衡量算法穩(wěn)定性的一個重要指標。（4）n + 1個點的插值型求積公式的代數(shù)精確度至少是n次，最多可達到2n + 1次。（5）高斯求積公式只能計算區(qū)間-1, 1上的積分。（6）求積公式的階數(shù)與所依據(jù)的插值多項式的次數(shù)一樣。（7）梯形公式與兩點高斯公式精度一樣。（8）高斯求積公式系數(shù)都是正數(shù)，故計算總是穩(wěn)定的。（9）由于龍貝格求積節(jié)點與牛頓-柯特斯求積節(jié)點相同，因此它們的精度相同。（10）階數(shù)不同的高斯求積公式?jīng)]有公共節(jié)點。13用n個點的Newton-Cotes方法計算函數(shù)區(qū)間-1, 1上的積分，點數(shù)n增加時，計算的精度是否會提高？第九章 常微分方程數(shù)值解1判斷