數(shù)學(xué)建模示例價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)問題

1、數(shù)學(xué)建模期中考試系別： 專業(yè)： 班級(jí)： 姓名： 學(xué)號(hào)： 日期： 價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)問題問題提出：甲乙兩個(gè)加油站位于同一條公路旁，為在公路上行駛的汽車提供同樣的汽油，彼此競(jìng)爭(zhēng)激烈。一天，甲站推出“降價(jià)銷售”吸引顧客，結(jié)果造成乙站的顧客被拉走，影響了乙站的贏利。我們知道，利潤是受銷售價(jià)和銷售量的影響及控制的，乙站為挽回?fù)p失，必須采取降價(jià)銷售這一對(duì)策來爭(zhēng)取顧客。那么，乙站如何決定汽油的價(jià)格，既可以同甲站競(jìng)爭(zhēng)，又可以獲取盡可能高的利潤呢？解：（1）問題分析：加油站的利潤主要來自汽油的銷售價(jià)和銷售量。在這場(chǎng)價(jià)格戰(zhàn)中，乙加油站降價(jià)銷售主要受以下三個(gè)因素影響：甲加油站汽油降價(jià)的幅度；乙加油站降價(jià)的幅度；兩站之間汽油銷

2、售價(jià)之差。（2）模型假設(shè)：汽油的正常銷售價(jià)格保持常數(shù)不變；（1）中的三個(gè)因素對(duì)已加油站銷售的影響是線性的。（3）模型的建立： 映入符號(hào)： P：汽油正常銷售價(jià)格（元/升） L：降價(jià)前乙加油站的銷售量（升/日） W：汽油的成本價(jià)（元/升） a：因素對(duì)乙加油站汽油銷售影響的比例常數(shù)b：因素對(duì)乙加油站汽油銷售影響的比例常數(shù)c：因素對(duì)乙加油站汽油銷售影響的比例常數(shù)x：乙加油站的銷售價(jià)格（元/升）y：甲加油站的銷售價(jià)格（元/升）根據(jù)問題的假設(shè)和模型的假設(shè)，可以得到乙加油站的利潤的函數(shù)為：f(x,y)=(x-W)L-a*(P-y)-b*(P-x)-c*(x-y) 這里的（a，b，c>0）（4）模型的求

3、解：當(dāng)y確定時(shí)，f(x,y)=(x-W)L-a*(P-y)-b*(P-x)-c*(x-y)是關(guān)于x的二次函數(shù)。利潤此函數(shù)求出R(x,y)的最大值點(diǎn)為：x0= (L-P*a+P*b+W*b+W*c+a*y+c*y)/(2*b+2*c)也就是說，當(dāng)甲站把汽油的價(jià)格降到y(tǒng)元時(shí)，乙站把它的汽油價(jià)格定為x0時(shí)，可以使得乙站獲得最高利潤。附：已上是建立的數(shù)學(xué)模型，下面用Matlab求解（5）模型檢驗(yàn):令L=2000，P=4，W=3，y分別取3.4、3.5、3.6、3.7、3.8、3.9。這里參數(shù)a、b、c的數(shù)值難以給出。因?yàn)榻?jīng)濟(jì)學(xué)的現(xiàn)象是難以通過試驗(yàn)來實(shí)現(xiàn)的。我們無法要求任何一個(gè)加油站頻繁調(diào)整它的銷售價(jià)格

4、來統(tǒng)計(jì)不同價(jià)格下的銷售量。因此下面的a、b、c的取值只是虛擬的數(shù)值，取a=b=1000,c=4000。附：下面用Matlab求解>> f1=subs(f,x,x0)>> f2=subs(f1,L,P,W,a,b,c,2000,4,3,1000,1000,4000)>> x1=subs(x0,L,P,W,a,b,c,2000,4,3,1000,1000,4000)>> y=3.9:-0.1:3.4;>> x=y/2 + 17/10;>> f3=(y/2 - 13/10).*(2500*y - 6500)>> plot(y,f3)表1：乙站的最優(yōu)銷售價(jià)及其利潤yxf(x,y)3.93.83.73.63.53.43.653.603.553.53.453.42112.51800.01512.51250.01012.5800.0表1列出了甲站降價(jià)0.1、0.2、0.3元時(shí)，乙站的最優(yōu)銷售價(jià)格。注意到價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)前的利潤是（43）2000=2000。這表明上述模型，雙方的價(jià)格下