大一上學(xué)期高數(shù)知識(shí)點(diǎn)

1、精選其次章 導(dǎo)數(shù)與微分一、主要內(nèi)容小結(jié)1. 定義·定理·公式（1）導(dǎo)數(shù)，左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)，微分以及導(dǎo)數(shù)和微分的幾何意義（2） 定理與運(yùn)算法則定理1 存在 .定理2 若在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在點(diǎn)x處連續(xù)；反之不真.定理3 函數(shù)在處可微在處可導(dǎo).導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則：設(shè)均可導(dǎo)，則, , ， （3）基本求導(dǎo)公式2. 各類(lèi)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法（1）復(fù)合函數(shù)微分法（2）反函數(shù)的微分法（3）由參數(shù)方程確定函數(shù)的微分法（4）隱函數(shù)微分法（5）冪指函數(shù)微分法（6）函數(shù)表達(dá)式為若干因子連乘積、乘方、開(kāi)方或商形式的微分法.方法：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法（即先對(duì)式子的兩邊取自然對(duì)數(shù)，然后在等式的兩端再對(duì)求導(dǎo)）.（7）分段函數(shù)

2、微分法3. 高階導(dǎo)數(shù)（1）定義與基本公式高階導(dǎo)數(shù)公式： 萊布尼茲公式：（2）高階導(dǎo)數(shù)的求法 直接法 間接法4. 導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)潔應(yīng)用(1) 求曲線的切線、法線 (2) 求變化率相關(guān)變化率二、 例題解析例2.1 設(shè) , （K為整數(shù)）.問(wèn)：（1）當(dāng)K為何值時(shí)，在處不行導(dǎo)；（2）當(dāng)K為何值時(shí)，在處可導(dǎo)，但導(dǎo)函數(shù)不連續(xù)；（3）當(dāng)K為何值時(shí)，在處導(dǎo)函數(shù)連續(xù)？解 函數(shù)在x=0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)：= = 即 當(dāng)時(shí), 的導(dǎo)函數(shù)為：為使，取即可。因此，函數(shù)當(dāng)K1時(shí)，在處不行導(dǎo)；當(dāng)時(shí)，在處可導(dǎo)，但導(dǎo)函數(shù)在處不連續(xù)；當(dāng)時(shí)，在處可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)在處連續(xù)。例2.2 ， 求。分析 本例當(dāng)然可以用商的求導(dǎo)法則來(lái)求，但比較麻煩，若先對(duì)函數(shù)表達(dá)式

3、進(jìn)行變形就可用代數(shù)和的求導(dǎo)法則來(lái)求，這樣就簡(jiǎn)便多了。解 = 。所以 。假如不經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)，直接求導(dǎo)則計(jì)算將是格外繁瑣的。例2.3 ，求。分析 本例若直接對(duì)原式利用差的求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法來(lái)求，比較麻煩，但若利用對(duì)數(shù)性質(zhì)對(duì)函數(shù)表達(dá)式的其次項(xiàng)變形，再利用差及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法來(lái)求，就簡(jiǎn)便得多。解 由于 所以 = 例2.4 設(shè)，求。解 利用積的求導(dǎo)法則及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有 = = 。例2.5 設(shè)方程 , 求 .本例是隱函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題，對(duì)隱函數(shù)求導(dǎo)可用下面兩種方法來(lái)求。解 (方法一) 方程兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)( y看作x的函數(shù)),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法可得 (方法二) 方程兩邊同時(shí)微分：所以 例2.6 已知 , 為二

4、次可微函數(shù),且 ，求 , 。分析 這是由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算問(wèn)題，可按參數(shù)方程求導(dǎo)法則來(lái)求。解 由于 = 所以 。又 所以 = 。常見(jiàn)錯(cuò)解： 。錯(cuò)誤緣由 沒(méi)有搞清求導(dǎo)對(duì)象. 是一階導(dǎo)數(shù)對(duì)求導(dǎo),而是一階導(dǎo)數(shù)對(duì)t求導(dǎo)。例2.7 求函數(shù) 的微分。解 = = 例2.8 設(shè) , 求 。 分析 本例是求分式有理函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，先將有理假分式通過(guò)多項(xiàng)式除法化為整式與有理真分式之和，再將有理分式寫(xiě)成部分分式之和，最終仿的表達(dá)式寫(xiě)出所給定的有理函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。解 = = = （）例2.9 設(shè) 求的導(dǎo)函數(shù) 的連續(xù)區(qū)間，若間斷，判別類(lèi)型，并分別作與的圖形。 分析 函數(shù)是用分段表達(dá)的函數(shù). 在的兩側(cè)： 當(dāng) 時(shí)，；當(dāng)時(shí)， .因此，在 處，的可導(dǎo)狀況，需依據(jù)定義來(lái)作推斷，求出導(dǎo)函數(shù)后，再判別它的