數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)茹少峰課后題及答案

1、1 .求下列函數(shù)的極值。.22-一2X(1) yxxyy3ax3by(2)y12x二Inx(3)yx1316(4)yx1x解：(1)根據(jù)二元函數(shù)極值的必要條件，可得fx2xy3a0,fyx2y3b0解得，(x,y)(2ab,2ba)為可能的極值點(diǎn)。根據(jù)充分條件，函數(shù)f(x,y)的二階導(dǎo)師組成的Hessian矩陣為H|30,因此(2ab,2ba)為f(x,y)的嚴(yán)格極小值點(diǎn)，極值為3a25ab3b2。(2)根據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件，可得因此該函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，極值不存在。(3)根據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件，可得求得極值點(diǎn)為x10由充分條件知y6x6o當(dāng)x1時(shí)y''0

2、,所以該函數(shù)極值不存在。(4)根據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件，可得求的極值點(diǎn)為xe由充分條件知y2xlnx3x當(dāng)xe時(shí)，y40,因此該函數(shù)存在極大值為1。ee2.討論函數(shù)fx,yxyx2y21的極值。解：根據(jù)二元函數(shù)極值的必要條件，可得11111111、(x,y)(0,0),(x,y)(x),(x，y)(>),(x,y)(T,T),(x,y)(二二)為可目匕22222222的極值點(diǎn)。根據(jù)充分條件，函數(shù)f(x,y)的二階導(dǎo)師組成的Hessian矩陣為(x,y)(0,0)時(shí)，H10,因此函數(shù)在該點(diǎn)無極值;1 1一(x,y)(n)時(shí)，H2 2極小值為1；8117(x,y)(不二)時(shí)，H221格極小

3、彳i為-；8312220,海賽矩陣為正定矩陣，因此函數(shù)在該點(diǎn)有嚴(yán)格132212 20,海賽矩陣為正定矩陣，因此函數(shù)在該點(diǎn)有嚴(yán)3231(x,y)(2,2)時(shí)，H122320,(1)A|0,(1)2A222矩陣，因此函數(shù)在該點(diǎn)有嚴(yán)格極大值為1；80,則海賽矩陣為負(fù)定3111,OO_2(x,y)(1二)時(shí)，|H|122320,(1)A10,(1)2|A22213221矩陣，因此函數(shù)在該點(diǎn)有嚴(yán)格極大值為180,則海賽矩陣為負(fù)定3.試說明對于任意的0,生產(chǎn)函數(shù)f(x)AKL是凹函數(shù)證明：fKAK1L,fKLAK1L1-2-2fKKA(1)KL,fLLA(1)KL所以函數(shù)的Hessian矩陣為因?yàn)?1,0

4、1,所以|H(K,L)0;且(1)A0,(1)2|A20,Hessian是負(fù)定的，因此生產(chǎn)函數(shù)是嚴(yán)格凹函數(shù)。1,試說明該生產(chǎn)函4. 考慮生產(chǎn)函數(shù)y1*'。如果01,01,數(shù)對于L和K的任意取值都是嚴(yán)格凹函數(shù)。如果1,該函數(shù)是什么形狀?證明：(1)同上，可求得函數(shù)的Hessian矩陣為Hessian是負(fù)定的，該函數(shù)對于K、L任意取值都是嚴(yán)格凹函數(shù)。5. 某完全競爭廠商由單一可變投入L(勞動)，每期工資率為W0o若該廠商每期的固定成本為F,產(chǎn)品的價(jià)格為R,要求:(1)寫出廠商的生產(chǎn)函數(shù)、收益函數(shù)、成本函數(shù)和利潤函數(shù);(2)何為利潤最大化的一階條件？解釋此條件的經(jīng)濟(jì)意義；(3)什么樣的經(jīng)濟(jì)環(huán)

5、境才能保證利潤最大化而不是最??？解：(1)生產(chǎn)函數(shù)為：Qf(L)收益函數(shù)為：RPQPf(L)成本函數(shù)為：CLWoF禾1J潤函數(shù)為：RCPf(L)(LW0F)(2)利潤最大化的一階條件為：pdf(L)Wo0,即出(L)W0。該條件LLLP的經(jīng)濟(jì)含義為：在利潤最大化時(shí)，單個(gè)要素的邊際產(chǎn)量等于要素單位成本與產(chǎn)品價(jià)格的比值。(3)要滿足利潤最大化而不是最小，則要滿足利潤最大化的二階充分條件:因?yàn)镻0,所以df(L)2d2L,也就是說，在邊際產(chǎn)出遞減規(guī)律的經(jīng)濟(jì)條件下才能0實(shí)現(xiàn)利潤最大化6. 某廠商有如下的總成本函數(shù)C與總需求函數(shù)Q：C1Q3-7Q2111Q50,3Q100P.請回答下列問題:(1)確定總

6、收益函數(shù)R與總利潤函數(shù)。(2)確定利潤最大化的產(chǎn)出水平及最大利潤。解：(1)RPQQ(100Q)(2)利潤最大化的一階必要條件為：解得，Q1,Q11。利潤最大化的二階充分條件為：2Q12,2Q當(dāng)Q1時(shí)，0,函數(shù)取得極小值為-55.33;2q當(dāng)Q11時(shí)，0,函數(shù)取得極大值為111.33;2q所以，在產(chǎn)出水平為11時(shí)，利潤最大為111.33。7. 設(shè)有二次利潤函數(shù)QhQ2jQk,試確定系數(shù)所滿足的約束，使下列命題成立：(1) 證明若什么也不生產(chǎn)，由于固定成本的關(guān)系，利潤將為負(fù)；(2) 證明利潤函數(shù)為嚴(yán)格凹函數(shù)；(3) 求在正的產(chǎn)出水平Q下的最大化利潤。解：(1)由題可知，當(dāng)Q0時(shí)，k0由于固定成本

7、存在的關(guān)系，禾1J潤為負(fù)，因此系數(shù)必須滿足的條件為k00(2)因?yàn)槔麧櫤瘮?shù)為嚴(yán)格凹函數(shù)，其一階必要條件為一2hQj0,Q求得Q上；二階充分條件為2ho2h2Q函數(shù)為嚴(yán)格凹函數(shù)滿足的充要條件：f''(x)0,即丁0,2Q因此，h0o(3)在正的產(chǎn)出水平下，Qj0,因此j0。2h8. 假設(shè)有一個(gè)壟斷市場環(huán)境下的兩產(chǎn)品廠商，產(chǎn)品的價(jià)格分別為R和P2,產(chǎn)品的需求函數(shù)Q及成本函數(shù)C為：2_2Qi40-2R-P2,Q235-P1-P2,CQ12Q；10,求利潤最大化的價(jià)格水平。解：禾I潤函數(shù)P1Q1P2Q2C7Pl23P228Plp2270"185P22835利潤最大化的一階必要

8、條件為：14Pl8P22700,8R6P21850RP2解得，P,7,P221.5,2又11140,2260,112212200所以，在利潤最大化是價(jià)格水平為P17,P221.5,9. 假設(shè)有一個(gè)完全競爭條件下的兩產(chǎn)品廠商，產(chǎn)品的價(jià)格分別為P1和P2,單位時(shí)間內(nèi)i產(chǎn)品的產(chǎn)出水平為Qi,廠商成本函數(shù)為C2Q12Q1Q22Q；,求：(1)利潤最大化的產(chǎn)出水平；(2)若總成本函數(shù)為C2Q122Q；,兩產(chǎn)品的生產(chǎn)是否存在技術(shù)相關(guān)性，Q1與Q2的新最優(yōu)水平是多少？(3)對參變量P1和P2進(jìn)行比較靜態(tài)分析。解：(1)P1Q1P2Q2(2Q12Q1Q22Q22)P>4QQ20P24Q2Q10Q112Q

9、2221,可得Q1*,Q2,3322(2) "Q1P2Q2(2Q122Q22)P4Q10,P14Q20,Q1Q1-11可得，Q11R,Q2-P244而0,即在最優(yōu)產(chǎn)量下，Qi,Q2不存在技術(shù)相關(guān)性。Q1Q2(3)由(1)問中的最優(yōu)產(chǎn)量Qi2,Q213P14P2,33Q14Q11Q213Q24一,一,一P3P23R3P23即，產(chǎn)品1價(jià)格上升1單位，產(chǎn)量上升4,價(jià)格下降短；33產(chǎn)品1價(jià)格上升1單位，產(chǎn)量下降-,價(jià)格下降-；3310. 一個(gè)公司有嚴(yán)格凹的生產(chǎn)函數(shù)QK,L。給定P產(chǎn)品價(jià)格，r資本的利用率，工資。要求：(1)對利潤達(dá)到最大化的投入要素K與L進(jìn)行比較靜態(tài)分析，并作簡要的分析說明；

10、(2)假定生產(chǎn)函數(shù)是規(guī)模報(bào)酬遞減的Coob-Douglas函數(shù)，做同樣的比較靜態(tài)分析。解：(1)PQ(K,L)rKwL利潤最大化時(shí)，最優(yōu)解為KK(P,r,w),LL(P,r,w)PQ(K,L)rKwL為最優(yōu)值函數(shù)。r變化對最大利潤的影響為:QK一PrKr利潤最大化時(shí)有4r0,P-Q-w0KQLLrPwKrLrr則K，Lrrww即當(dāng)資本利用率或工資提高時(shí)，利潤率隨之下降，當(dāng)產(chǎn)品價(jià)格上漲時(shí)，最大利潤率隨之上升。(2) PKLrKwL利潤最大化時(shí)，最優(yōu)解為KK(P,r,w),LL(P,r,w)PQ(K,L)rKwL為最優(yōu)值函數(shù)。一K，L一,一(K)(L)rrwwP11. 考慮參數(shù)為a的極大化問題函數(shù)

11、fx；ax23ax4a2a0：(1)利用包絡(luò)定理求函數(shù)fx;a的最大值關(guān)于參數(shù)a的導(dǎo)數(shù);(2)分析參數(shù)a對目標(biāo)函數(shù)的最大值的影響。解：(1)假設(shè)最優(yōu)解為xx(a),一階條件為f(xa)0,即2x(a)3a0所以，參數(shù)a與木匾函數(shù)的最大值同向變動。12. 考慮參數(shù)最優(yōu)化問題maxfx,aa3x423x3eax213(a為參數(shù))：(1)求目標(biāo)函數(shù)的極大值關(guān)于參數(shù)a的導(dǎo)數(shù)；(2)分析參數(shù)a對目標(biāo)函數(shù)的極大值的影響(假設(shè)這個(gè)問題的最優(yōu)解xa0)解：(1)假設(shè)最優(yōu)解xx(a)利用包絡(luò)定理(2) x(a)0,由(1)中結(jié)果，出(x,a)0,所以參數(shù)a對目標(biāo)函數(shù)極值da的影響是同增同減的。13. 給定依賴于

12、投入?yún)?shù)y的短期總成本函數(shù)cq,yaybq粵，這里2ya,b,d0,求長期總成本函數(shù)clqo解：長期總成本函數(shù)C(q)minCs(q,y)aybq四a,b,d02y要使上式為極小值，必須滿足一階必要條件：*!a*0，即y超代入可得C(q)adqbqdq.dq4a2:4a14. 航空公司在甲乙兩地之間有固定的航班。他比預(yù)定航班的商務(wù)乘客和預(yù)定周六晚上過夜航班的乘客的需求看作兩個(gè)單獨(dú)的市場。假設(shè)商務(wù)乘客的需求函數(shù)為Q16p,旅游乘客的需求函數(shù)為Q10p,對于所有乘客的成本函數(shù)為CQ10Q2。該航空公司在兩個(gè)市場如何定價(jià)才能獲得最大利潤？解：總利潤函數(shù)4P278P376由一階必要條件可得，P394二階充分條彳可得，1180,即該點(diǎn)為極大值。15. 給定一個(gè)價(jià)格接受的廠商的生產(chǎn)函數(shù)QK,L。假設(shè)Qkl0,即資本的邊際產(chǎn)量隨著勞動力的增加而增加。給定產(chǎn)品價(jià)格P,資本的租金率r和工資嘰則它的利潤函數(shù)為冗K,LPQ