思易學(xué)教育寒假專(zhuān)題——平面向量

1、年級(jí)高一學(xué) 科數(shù)學(xué)版 本人教新課標(biāo)A版課程標(biāo)題寒假專(zhuān)題平面向量編稿老師王志國(guó)一校林卉二校黃楠審核王百玲一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 平面向量的實(shí)際背景及基本概念通過(guò)力和力的分析等實(shí)例，了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；2. 向量的線性運(yùn)算通過(guò)實(shí)例，掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；通過(guò)實(shí)例，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線的含義；了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義。3. 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示了解平面向量的基本定理及其意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算； 理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條

2、件。4. 平面向量的數(shù)量積通過(guò)物理中功等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。5. 向量的應(yīng)用經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)向量是一種處理幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：平面向量的概念及運(yùn)算，平面向量的基本定理，平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用。難點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用，與平面向量相關(guān)的綜合問(wèn)題。三、考點(diǎn)分析：本講內(nèi)容屬于平面向量的

3、基礎(chǔ)性內(nèi)容，與平面向量的數(shù)量積比較，出題量較小。以選擇題、填空題的形式考查本章的基本概念和性質(zhì)，重點(diǎn)考查向量的概念、向量的幾何表示、向量的加減法、實(shí)數(shù)與向量的積、兩個(gè)向量共線的充要條件、向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量的數(shù)量積的概念及應(yīng)用。重點(diǎn)體會(huì)向量為代數(shù)幾何的結(jié)合體，此類(lèi)題難度不大，分值為1015分。平面向量的綜合問(wèn)題是“新熱點(diǎn)”題型，其形式為與直線、圓錐曲線、三角函數(shù)等聯(lián)系，解決角度、垂直、共線等問(wèn)題，以解答題為主。知識(shí)點(diǎn)一：平面向量的概念及運(yùn)算例1：設(shè)為單位向量，（1）若為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則=|;（2）若與平行，則=|；（3）若與平行且|=1，則=。上述命題中，假命題個(gè)數(shù)是（）個(gè)A. 0B.

4、 1C. 2D. 3思路分析：向量是既有大小又有方向的量，因此兩方面都要考慮到。解答過(guò)程：與|模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命題；若與平行，則與的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)=|，故（2）、（3）也是假命題。綜上所述，答案選D。解題后的思考：向量的概念較多，且容易混淆，故在學(xué)習(xí)中要分清，理解各概念的實(shí)質(zhì)，注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量等概念。例2：已知（1）求；（2）當(dāng)為何實(shí)數(shù)時(shí)，與共線，共線時(shí)它們是同向還是反向？思路分析：本題主要要用到向量的坐標(biāo)表示，向量的模，以及向量共線的條件等知識(shí)。解答過(guò)程：（1）因?yàn)椋裕瑒t（2），因?yàn)榕c共線，所以，即得。此時(shí)，則，即此時(shí)

5、向量與方向相反。解題后的思考：以上兩個(gè)例子重點(diǎn)解析了平面向量的性質(zhì)在坐標(biāo)運(yùn)算中的體現(xiàn)，重點(diǎn)掌握平面向量的共線的判定及平面向量的模的計(jì)算方法。例3：求證：起點(diǎn)相同的三個(gè)非零向量，32的終點(diǎn)在同一條直線上。思路分析：先證明向量共線，再證明有公共點(diǎn)。解答過(guò)程：證明：設(shè)起點(diǎn)為O，=，32，則=2（），=，共線且有公共點(diǎn)A，因此，A，B，C三點(diǎn)共線，即向量，32的終點(diǎn)在同一條直線上。解題后的思考：（1）利用向量平行證明三點(diǎn)共線，需分兩步完成：證明向量平行；說(shuō)明兩個(gè)向量有公共點(diǎn)；用向量平行證明兩線段平行也需分兩步完成：證明向量平行；說(shuō)明兩個(gè)向量無(wú)公共點(diǎn)。小結(jié)：學(xué)習(xí)本講主要樹(shù)立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點(diǎn)，以數(shù)代形

6、，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運(yùn)算處理幾何問(wèn)題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運(yùn)用共線向量和平面向量的基本定理，計(jì)算向量的模、兩點(diǎn)的距離等。由于向量是一個(gè)新的數(shù)學(xué)工具，它往往會(huì)與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來(lái)進(jìn)行綜合考查，是知識(shí)的交匯點(diǎn)。（1）向量的加法與減法是互逆運(yùn)算；（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件；（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況；（4）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)。知識(shí)點(diǎn)二：平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用例4：|=1，|=2，=+，且，則向量與的夾角為

7、（ ）A. 30B. 60C. 120D. 150思路分析：要求向量與的夾角，關(guān)鍵是求它們的數(shù)量積。解答過(guò)程：設(shè)所求兩向量的夾角為即：所以，故選C解題后的思考：對(duì)于這個(gè)公式的變形的應(yīng)用應(yīng)做到熟練，解決向量的夾角問(wèn)題時(shí)要借助于公式，另外向量垂直（平行）的充要條件必須掌握。例5：已知。思路分析：，可以看作向量的模的平方，而則是、的數(shù)量積，從而運(yùn)用數(shù)量積的性質(zhì)證出該不等式。解答過(guò)程：設(shè)則。解題后的思考：在向量這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們接觸了不少含不等式結(jié)構(gòu)的式子，如等。例6：已知，其中。（1）求證：與互相垂直；（2）若與（）的長(zhǎng)度相等，求。思路分析：本題是向量和三角的綜合題。（1）首先化簡(jiǎn)，再代入

8、坐標(biāo)計(jì)算。（2）利用向量長(zhǎng)度相等轉(zhuǎn)化成含的三角關(guān)系式，并分析的范圍，求出的值。解答過(guò)程：（1）因?yàn)樗耘c互相垂直。（2），所以，因?yàn)?，所以，有，因?yàn)?，故，又因?yàn)?，所以。解題后的思考：平面向量與三角函數(shù)在“角”之間存在著密切的聯(lián)系。如果在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計(jì)考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性。若根據(jù)所給的三角式的結(jié)構(gòu)及向量間的相互關(guān)系進(jìn)行處理，可使解題過(guò)程得到簡(jiǎn)化，從而提高解題的速度。例7：用向量法證明：直徑所對(duì)的圓周角是直角。思路分析：對(duì)于文字?jǐn)⑹鲱}首先要寫(xiě)出已知和求證，然后再證明。解答過(guò)程：已知：如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)P是O上任一點(diǎn)（不與A、B重合），求證：APB90

9、。證明：連接OP，設(shè)向量，則且，即APB90。解題后的思考：平面向量是一個(gè)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的很好的工具，它具有良好的運(yùn)算性質(zhì)和清晰的幾何意義，在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支和相關(guān)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。小結(jié)：注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)數(shù)形結(jié)合的思想方法。由于向量本身具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份，所以在向量知識(shí)的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，在解決問(wèn)題的過(guò)程中要形成見(jiàn)數(shù)思形、以形助數(shù)的思維習(xí)慣，以加深理解知識(shí)要點(diǎn)，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)?；瘹w轉(zhuǎn)化的思想方法。向量的夾角、平行、垂直等關(guān)系的研究均可化歸為對(duì)應(yīng)向量或向量坐標(biāo)的運(yùn)算問(wèn)題；三角形形狀的判定可化歸為相應(yīng)向量的數(shù)量積問(wèn)題；向量的數(shù)量積公式，溝通了向量與實(shí)數(shù)間

10、的轉(zhuǎn)化關(guān)系；一些實(shí)際問(wèn)題也可以運(yùn)用向量知識(shí)去解決。分類(lèi)討論的思想方法。如向量可分為共線向量與不共線向量；平行向量（共線向量）可分為同向向量和反向向量；向量在方向上的投影隨著它們之間的夾角的不同，有正數(shù)、負(fù)數(shù)和零三種情形；定比分點(diǎn)公式中的隨分點(diǎn)P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。一、預(yù)習(xí)新知請(qǐng)預(yù)習(xí)必修5第一章第一節(jié) 正弦定理和余弦定理。在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上，受到天文測(cè)量、航海測(cè)量和地理測(cè)量等方面實(shí)踐活動(dòng)的推動(dòng)，解三角形的理論得到不斷發(fā)展，并被用于解決許多測(cè)量問(wèn)題。在初中，我們已經(jīng)能夠借助于銳角三角函數(shù)解決有關(guān)直角三角形的一些測(cè)量問(wèn)題。在實(shí)際工作中我們還會(huì)遇到許多其他的測(cè)量問(wèn)題，這些問(wèn)題僅用銳角三

11、角函數(shù)就不夠了，如： 1. 怎樣在航行途中測(cè)出海上兩個(gè)島嶼之間的距離？ 2. 怎樣測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度？ 3. 怎樣在水平飛行的飛機(jī)上測(cè)量飛機(jī)下方山頂?shù)暮芨叨龋?4. 怎樣測(cè)出海上航行的輪船的航速和航向？這些問(wèn)題的解決需要我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意三角形中邊與角關(guān)系的有關(guān)知識(shí)。在本章中我們要學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理，并學(xué)習(xí)應(yīng)用這兩個(gè)定理解三角形以及解決實(shí)際測(cè)量中的一些問(wèn)題。二、預(yù)習(xí)點(diǎn)撥根據(jù)所預(yù)習(xí)的內(nèi)容，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：1. 正弦定理的內(nèi)容是什么？主要解決哪一類(lèi)問(wèn)題？2. 什么叫解三角形？3. 余弦定理的內(nèi)容是什么？主要解決哪一類(lèi)問(wèn)題？（答題時(shí)間：60分鐘）一、選擇題1. 在ABC中，c，b，

12、若點(diǎn)D滿足2，則（）A.bcB.cbC.bcD.bc2. 已知O、A、M、B為平面上四點(diǎn)，且（1），（1,2），則（）A. 點(diǎn)M在線段AB上B. 點(diǎn)B在線段AM上C. 點(diǎn)A在線段BM上 D. O、A、M、B四點(diǎn)共線3. 已知a（1,3），b（1,1），cab，若a和c的夾角是銳角，則的取值范圍是（）A.B.C. 0 D.（0，）4. 若|a|，|b|2，且（ab）a，則a與b的夾角是（）A.B.C.D.5. 已知向量a（2,2），b（5，k）若|ab|不超過(guò)5，則k的取值范圍是（）A. 4,6B. 6,4C. 6,2D. 2,66. 在ABC中，AB，BC2，A，如果不等式|t|恒成立，則實(shí)數(shù)

13、t的取值范圍是（）A. 1，）B. （，1，）C. ，1D. （，01，）7. 已知向量a（2,3），b（1,2），若mab與a2b平行，則實(shí)數(shù)m等于（）A.B. C. 2D. 28. 已知|a|2|b|0，且關(guān)于x的方程x2|a|xab0有實(shí)根，則a與b的夾角的取值范圍是（）A. ，B. ，C. ，D. ，二、解答題9. 已知a（cos2，sin），b（1,2sin1），（，），ab，求cos（）的值10.已知向量a（sinx，1），b（cosx，）（1）當(dāng)ab時(shí)，求cos2x3sin2x的值；（2）求f（x）（ab）b的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間11. 設(shè)函數(shù)f（x）mn，其中m（2cosx

14、,1），n（cosx，sin2x），xR。（1）求f（x）的最小正周期與單調(diào)減區(qū)間；（2）在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且f（A）2，求A；若b1，ABC的面積為，求的值。1. A解析c（bc）bc，故選A。2.B解析（1,2），點(diǎn)M在線段AB的延長(zhǎng)線上，即點(diǎn)B在線段AM上3.D解析由條件得，c（1，3），從而（0，）4.B解析由（ab）a得，（ab）a0，a2ab0。|a|，|b|2，2|a|b|cosa，b0。cosa，b。0a，b，a，b。5. C解析|ab|（3，k2）|5，（k2）242，6k2。選C。6.B解析|t|22tt2|2|2，在ABC中，易知AC1，B3

15、0，故得2t23t10，解得t或t1。故選B。7. B解析mab（2m1,3m2），a2b（4，1），若mab與a2b平行，則3m2，即2m112m8，解之得m。8.C解析由條件得：|a|24ab0，即cos，所以a與b的夾角的取值范圍是，故選C。9.解：abcos2sin（2sin1）2cos212sin2sin1sin，由ab得1sin，sin。（，），cos。cos（）cossin（）。10.解：（1）由ab，sinxcosx0，tanx，cos2x3sin2x。（2）a（sinx，1），b（cosx，），ab（sinxcosx，）f（x）（ab）b（sinxcosx）cosx（sin2xcos2x）sin，最小正周期為，由2k2x