思易學教育寒假專題——平面向量

1、年級高一學 科數(shù)學版 本人教新課標A版課程標題寒假專題平面向量編稿老師王志國一校林卉二校黃楠審核王百玲一、學習目標：1. 平面向量的實際背景及基本概念通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；2. 向量的線性運算通過實例，掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義；通過實例，掌握向量數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義；了解向量的線性運算性質及其幾何意義。3. 平面向量的基本定理及坐標表示了解平面向量的基本定理及其意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；會用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算； 理解用坐標表示的平面向量共線的條

2、件。4. 平面向量的數(shù)量積通過物理中功等實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系；掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算；能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系。5. 向量的應用經(jīng)歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程，體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具，發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力。二、重點、難點：重點：平面向量的概念及運算，平面向量的基本定理，平面向量的數(shù)量積及其應用。難點：平面向量的數(shù)量積及其應用，與平面向量相關的綜合問題。三、考點分析：本講內容屬于平面向量的

3、基礎性內容，與平面向量的數(shù)量積比較，出題量較小。以選擇題、填空題的形式考查本章的基本概念和性質，重點考查向量的概念、向量的幾何表示、向量的加減法、實數(shù)與向量的積、兩個向量共線的充要條件、向量的坐標運算，平面向量的數(shù)量積的概念及應用。重點體會向量為代數(shù)幾何的結合體，此類題難度不大，分值為1015分。平面向量的綜合問題是“新熱點”題型，其形式為與直線、圓錐曲線、三角函數(shù)等聯(lián)系，解決角度、垂直、共線等問題，以解答題為主。知識點一：平面向量的概念及運算例1：設為單位向量，（1）若為平面內的某個向量，則=|;（2）若與平行，則=|；（3）若與平行且|=1，則=。上述命題中，假命題個數(shù)是（）個A. 0B.

4、 1C. 2D. 3思路分析：向量是既有大小又有方向的量，因此兩方面都要考慮到。解答過程：與|模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命題；若與平行，則與的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時=|，故（2）、（3）也是假命題。綜上所述，答案選D。解題后的思考：向量的概念較多，且容易混淆，故在學習中要分清，理解各概念的實質，注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量等概念。例2：已知（1）求；（2）當為何實數(shù)時，與共線，共線時它們是同向還是反向？思路分析：本題主要要用到向量的坐標表示，向量的模，以及向量共線的條件等知識。解答過程：（1）因為，所以，則（2），因為與共線，所以，即得。此時，則，即此時

5、向量與方向相反。解題后的思考：以上兩個例子重點解析了平面向量的性質在坐標運算中的體現(xiàn)，重點掌握平面向量的共線的判定及平面向量的模的計算方法。例3：求證：起點相同的三個非零向量，32的終點在同一條直線上。思路分析：先證明向量共線，再證明有公共點。解答過程：證明：設起點為O，=，32，則=2（），=，共線且有公共點A，因此，A，B，C三點共線，即向量，32的終點在同一條直線上。解題后的思考：（1）利用向量平行證明三點共線，需分兩步完成：證明向量平行；說明兩個向量有公共點；用向量平行證明兩線段平行也需分兩步完成：證明向量平行；說明兩個向量無公共點。小結：學習本講主要樹立數(shù)形轉化和結合的觀點，以數(shù)代形

6、，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關位置關系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離等。由于向量是一個新的數(shù)學工具，它往往會與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結合起來進行綜合考查，是知識的交匯點。（1）向量的加法與減法是互逆運算；（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件；（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況；（4）向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關。知識點二：平面向量的數(shù)量積及應用例4：|=1，|=2，=+，且，則向量與的夾角為

7、（ ）A. 30B. 60C. 120D. 150思路分析：要求向量與的夾角，關鍵是求它們的數(shù)量積。解答過程：設所求兩向量的夾角為即：所以，故選C解題后的思考：對于這個公式的變形的應用應做到熟練，解決向量的夾角問題時要借助于公式，另外向量垂直（平行）的充要條件必須掌握。例5：已知。思路分析：，可以看作向量的模的平方，而則是、的數(shù)量積，從而運用數(shù)量積的性質證出該不等式。解答過程：設則。解題后的思考：在向量這部分內容的學習過程中，我們接觸了不少含不等式結構的式子，如等。例6：已知，其中。（1）求證：與互相垂直；（2）若與（）的長度相等，求。思路分析：本題是向量和三角的綜合題。（1）首先化簡，再代入

8、坐標計算。（2）利用向量長度相等轉化成含的三角關系式，并分析的范圍，求出的值。解答過程：（1）因為所以與互相垂直。（2），所以，因為，所以，有，因為，故，又因為，所以。解題后的思考：平面向量與三角函數(shù)在“角”之間存在著密切的聯(lián)系。如果在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設計考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性。若根據(jù)所給的三角式的結構及向量間的相互關系進行處理，可使解題過程得到簡化，從而提高解題的速度。例7：用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角。思路分析：對于文字敘述題首先要寫出已知和求證，然后再證明。解答過程：已知：如圖，AB是O的直徑，點P是O上任一點（不與A、B重合），求證：APB90

9、。證明：連接OP，設向量，則且，即APB90。解題后的思考：平面向量是一個解決數(shù)學問題的很好的工具，它具有良好的運算性質和清晰的幾何意義，在數(shù)學的各個分支和相關學科中有著廣泛的應用。小結：注重數(shù)學思想方法的教學數(shù)形結合的思想方法。由于向量本身具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份，所以在向量知識的整個學習過程中，都體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想方法，在解決問題的過程中要形成見數(shù)思形、以形助數(shù)的思維習慣，以加深理解知識要點，增強應用意識。化歸轉化的思想方法。向量的夾角、平行、垂直等關系的研究均可化歸為對應向量或向量坐標的運算問題；三角形形狀的判定可化歸為相應向量的數(shù)量積問題；向量的數(shù)量積公式，溝通了向量與實數(shù)間

10、的轉化關系；一些實際問題也可以運用向量知識去解決。分類討論的思想方法。如向量可分為共線向量與不共線向量；平行向量（共線向量）可分為同向向量和反向向量；向量在方向上的投影隨著它們之間的夾角的不同，有正數(shù)、負數(shù)和零三種情形；定比分點公式中的隨分點P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。一、預習新知請預習必修5第一章第一節(jié) 正弦定理和余弦定理。在數(shù)學發(fā)展歷史上，受到天文測量、航海測量和地理測量等方面實踐活動的推動，解三角形的理論得到不斷發(fā)展，并被用于解決許多測量問題。在初中，我們已經(jīng)能夠借助于銳角三角函數(shù)解決有關直角三角形的一些測量問題。在實際工作中我們還會遇到許多其他的測量問題，這些問題僅用銳角三

11、角函數(shù)就不夠了，如： 1. 怎樣在航行途中測出海上兩個島嶼之間的距離？ 2. 怎樣測量底部不可到達的建筑物的高度？ 3. 怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)暮芨叨龋?4. 怎樣測出海上航行的輪船的航速和航向？這些問題的解決需要我們進一步學習任意三角形中邊與角關系的有關知識。在本章中我們要學習正弦定理和余弦定理，并學習應用這兩個定理解三角形以及解決實際測量中的一些問題。二、預習點撥根據(jù)所預習的內容，請回答下列問題：1. 正弦定理的內容是什么？主要解決哪一類問題？2. 什么叫解三角形？3. 余弦定理的內容是什么？主要解決哪一類問題？（答題時間：60分鐘）一、選擇題1. 在ABC中，c，b，

12、若點D滿足2，則（）A.bcB.cbC.bcD.bc2. 已知O、A、M、B為平面上四點，且（1），（1,2），則（）A. 點M在線段AB上B. 點B在線段AM上C. 點A在線段BM上 D. O、A、M、B四點共線3. 已知a（1,3），b（1,1），cab，若a和c的夾角是銳角，則的取值范圍是（）A.B.C. 0 D.（0，）4. 若|a|，|b|2，且（ab）a，則a與b的夾角是（）A.B.C.D.5. 已知向量a（2,2），b（5，k）若|ab|不超過5，則k的取值范圍是（）A. 4,6B. 6,4C. 6,2D. 2,66. 在ABC中，AB，BC2，A，如果不等式|t|恒成立，則實數(shù)

13、t的取值范圍是（）A. 1，）B. （，1，）C. ，1D. （，01，）7. 已知向量a（2,3），b（1,2），若mab與a2b平行，則實數(shù)m等于（）A.B. C. 2D. 28. 已知|a|2|b|0，且關于x的方程x2|a|xab0有實根，則a與b的夾角的取值范圍是（）A. ，B. ，C. ，D. ，二、解答題9. 已知a（cos2，sin），b（1,2sin1），（，），ab，求cos（）的值10.已知向量a（sinx，1），b（cosx，）（1）當ab時，求cos2x3sin2x的值；（2）求f（x）（ab）b的最小正周期和單調遞增區(qū)間11. 設函數(shù)f（x）mn，其中m（2cosx

14、,1），n（cosx，sin2x），xR。（1）求f（x）的最小正周期與單調減區(qū)間；（2）在ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（A）2，求A；若b1，ABC的面積為，求的值。1. A解析c（bc）bc，故選A。2.B解析（1,2），點M在線段AB的延長線上，即點B在線段AM上3.D解析由條件得，c（1，3），從而（0，）4.B解析由（ab）a得，（ab）a0，a2ab0。|a|，|b|2，2|a|b|cosa，b0。cosa，b。0a，b，a，b。5. C解析|ab|（3，k2）|5，（k2）242，6k2。選C。6.B解析|t|22tt2|2|2，在ABC中，易知AC1，B3

15、0，故得2t23t10，解得t或t1。故選B。7. B解析mab（2m1,3m2），a2b（4，1），若mab與a2b平行，則3m2，即2m112m8，解之得m。8.C解析由條件得：|a|24ab0，即cos，所以a與b的夾角的取值范圍是，故選C。9.解：abcos2sin（2sin1）2cos212sin2sin1sin，由ab得1sin，sin。（，），cos。cos（）cossin（）。10.解：（1）由ab，sinxcosx0，tanx，cos2x3sin2x。（2）a（sinx，1），b（cosx，），ab（sinxcosx，）f（x）（ab）b（sinxcosx）cosx（sin2xcos2x）sin，最小正周期為，由2k2x