高等代數(shù)課件第5章二次型5.5實(shí)二次型的分類與應(yīng)用_第1頁(yè)
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1、設(shè)設(shè)n元二次型元二次型 12(,),n nnf x xxX AX AAR 若對(duì)任意一組不全為零的實(shí)數(shù)若對(duì)任意一組不全為零的實(shí)數(shù)12,nc cc都有都有 ，則，則 稱為稱為半正定二次型半正定二次型.12(,)0nf c cc f ，則，則 稱為稱為半負(fù)定二次型半負(fù)定二次型. . f12(,)0nf c cc 則則 稱為稱為負(fù)定二次型負(fù)定二次型. . 12(,)0,nf c cc f既不是半正定，也不是半負(fù)定，則既不是半正定，也不是半負(fù)定，則 稱為稱為ff不定二次型不定二次型.正定矩陣正定矩陣負(fù)定矩陣負(fù)定矩陣半正定矩陣半正定矩陣半負(fù)定矩陣半負(fù)定矩陣 不定矩陣不定矩陣相應(yīng)于二次型的分類，相應(yīng)于二次型

2、的分類，n 級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣可分類為：級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣可分類為：實(shí)二次型實(shí)二次型 正定正定12(,)nf x xx12(,)nf xxx 負(fù)定；負(fù)定； 實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣A正定正定 A負(fù)定負(fù)定.半負(fù)定；半負(fù)定；12(,)nf xxx 實(shí)二次型實(shí)二次型 半正定半正定12(,)nf xxx實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣A半正定半正定 A半負(fù)定半負(fù)定. . 12(,),n nnf xxxX AXAAR 半正定半正定 ；12(,)nf x xx( 或或 A半正定；半正定； ) 秩秩 = 秩秩(A) = （正慣性指數(shù)正慣性指數(shù)）；）；fp A合同于非負(fù)對(duì)角陣，即存在可逆陣合同于非負(fù)對(duì)角陣，即存在可逆陣C，使使則下列有條件等價(jià)：則下列有條件等價(jià)： 存在存在 ，使，使n nCR ;AC C A的所有的所有主子式主子式皆大于或等于零皆大于或等于零. .（補(bǔ)充題（補(bǔ)充題9） 由此可得，由此可得，A半正定半正定0A（習(xí)題（習(xí)題

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