多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式

1、多項(xiàng)式除法示例多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的一般步驟：多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式一般用豎式進(jìn)行演算(1)把被除式、除式按某個(gè)字母作降嘉排列，并把所缺的項(xiàng)用零補(bǔ)齊.(2)用被除式的第一項(xiàng)去除除式的第一項(xiàng)，得商式的第一項(xiàng).(3)用商式的第一項(xiàng)去乘除式，把積寫在被除式下面(同類項(xiàng)對(duì)齊)，消去相等項(xiàng)，把不相等的項(xiàng)結(jié)合起來(lái).(4)把減得的差當(dāng)作新的被除式，再按照上面的方法繼續(xù)演算，直到余式為零或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時(shí)為止.被除式=除式X商式+余式如果一個(gè)多項(xiàng)式除以另一個(gè)多項(xiàng)式，余式為零，就說(shuō)這個(gè)多項(xiàng)式能被另一個(gè)多項(xiàng)式整除多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的運(yùn)算多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，一般可用豎式計(jì)算，方法與算術(shù)中的多位數(shù)除法相似，現(xiàn)舉例說(shuō)明如下

2、：例1計(jì)算(x29x20)(x4)規(guī)范解法(x29x20)(x4)x5.解法步驟說(shuō)明：2(1)先把被除式x9x20與除式x4分別按字母的降嘉排列好.222(2)將被除式x9x20的第一項(xiàng)x除以除式x4的第一項(xiàng)x,得xxx,這波商的第一項(xiàng).(3)以商的第一項(xiàng)x與除式x4相乘，得x24x,寫在x29x20的下面.(4)從x29x20減去x24x,得差5x20,寫在下面，就是被除式去掉x24x后的一部分.(5)再用5x20的第一項(xiàng)5x除以除式的第一項(xiàng)x,得5xx5,這是商的第二項(xiàng)，寫在第一項(xiàng)x的后面，寫成代數(shù)和的形式.(6)以商式的第二項(xiàng)5與除式x4相乘，得5x20,寫在上述的差5x20的下面.(7

3、)相減得差0,表示恰好能除盡.(8)寫出運(yùn)算結(jié)果，(x29x20)(x4)x5.例2計(jì)算(6x59x47x220x3)(2x2x5).規(guī)范解法(6x59x47x220x3)(2x2x5)3x33x26x1余9x2.注遇到被除式或除式中缺項(xiàng)，用0補(bǔ)位或空出；余式的次數(shù)應(yīng)低于除式的次數(shù).另外，以上兩例還可用分離系數(shù)法求解.如例2.(6x59x47x220x3)(2x2x5)323x3x6x1余9x2.8.什么是綜合除法？由前面的問(wèn)題4我們知道兩個(gè)多項(xiàng)式相除可以用豎式進(jìn)行，但當(dāng)除式為一次式，而且它的首項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，情況比較特殊.如：計(jì)算（2x33x4）（x3）.因?yàn)槌ㄖ粚?duì)系數(shù)進(jìn)行，和x無(wú)關(guān)，于是算

4、式（1）就可以簡(jiǎn)化成算式（2）.還可以再簡(jiǎn)化.方框中的數(shù)2、6、21和余式首項(xiàng)系數(shù)重復(fù)，可以不寫.再注意到，因除式的首項(xiàng)系數(shù)是1,所以余式的首項(xiàng)系數(shù)6、21與商式的系數(shù)重復(fù)，也可以省略.如果再把代數(shù)和中的“十”號(hào)省略，除式的首項(xiàng)系數(shù)也省略，算式（2）就簡(jiǎn)化成了算式（30的形式：將算式（3）改寫成比較好看的形式得算式（4）,再將算式（4）中的除數(shù)一3換成它的相反數(shù)3,減法就化為了加法，于是得到算式（5）.其中最下面一行前三個(gè)數(shù)是商式的系數(shù)，末尾一個(gè)數(shù)是余數(shù).多項(xiàng)式相除的這種算法，叫做綜合除法，它適合于除式為一次式，而且一次項(xiàng)系數(shù)為1.例1用綜合除法求x43x33x23x12除以x1的商式和余式.

5、規(guī)范解法;商式x32x2x2,余式=10.例2用綜合除法證明2x515x310x29能被x3整除.規(guī)范證法這里x3x（3）,所以綜合除法中的除數(shù)應(yīng)是3.（注意被除式按降嘉排列，缺項(xiàng)補(bǔ)0.）因余數(shù)是0,所以2x515x310x29能被x3整除.當(dāng)除式為一次式，而一次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)，需要把它變成1以后才能用綜合除法.例3求2x3x7除以2x1的商式和余數(shù).1規(guī)范解法把2x1除以2,化為x一，用綜合除法.223.2倍，應(yīng)當(dāng)除以2才是所求的商但是，商式2xx一,這是因?yàn)槌匠?,被除式?jīng)]變，商式擴(kuò)大了2式；余數(shù)沒(méi)有變.-213_3一商式xx,余數(shù)7.2 44為什么余數(shù)不變呢？我們用下面的方法驗(yàn)證一下

6、.3 r1-23-3用2xx7除以x一，得商式2xx一，余數(shù)為7，即2734._31c232xx3x2xx222x1x2lx旦73.24432133即2xx3除以2x1的商式x一x，余數(shù)仍為7一.244綜合除法與余數(shù)定理綜合除法與余數(shù)定理是中學(xué)數(shù)學(xué)中十分重要的內(nèi)容，它們是研究多項(xiàng)式除法的有力工具。綜合除法和余數(shù)定理在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中有著極為廣泛的應(yīng)用。本節(jié)我們將作一些初步介紹。、綜合除法一個(gè)一元多項(xiàng)式除以另一個(gè)一元多項(xiàng)式，并不是總能整除。當(dāng)被除式f(x)除以除式g(x),(g(x)0)得商式q(x)及余式r(x)時(shí),就有下列等式：f(x)g(x)q(x)r(x)。其中r(x)的次數(shù)小于g(x)的

7、次數(shù)，或者r(x)0。當(dāng)r(x)0時(shí)，就是f(x)能被g(x)整除。下面我們介紹一個(gè)一元多項(xiàng)式除以另一個(gè)一元多項(xiàng)式的簡(jiǎn)便運(yùn)算一一綜合除法。例1、用綜合除法求2x414x47x3除以x2所得的商和余式。2701442解:4612482362-8“余式商的各項(xiàng)的系數(shù)(2x414x47x3)(x2)的商是2x33x26x2,余式是8。上述綜合除法的步驟是：(1)把被除式按降嘉排好，缺項(xiàng)補(bǔ)零。(2)把除式的第二項(xiàng)-2變成2,寫在被除式的右邊，中間用一條豎線隔開。(3)把被除式的第一項(xiàng)的系數(shù)2移到橫線的下面，得到商的第一項(xiàng)的系數(shù)。(4)用2乘商的第一項(xiàng)的系數(shù)2,得4,寫在被除式的第二項(xiàng)的系數(shù)-7的下面，

8、同-7相加，得到商的第二項(xiàng)系數(shù)-3。(5)用2乘商的第二項(xiàng)的系數(shù)-3,得-6,寫在被除式的第三項(xiàng)的系數(shù)0的下面，同0相加，得到商的第三項(xiàng)的系數(shù)-6o(6)用2乘商的第三項(xiàng)的系數(shù)-6,得-12,寫在被除式的第四項(xiàng)的系數(shù)14的下面，同14相加，得到商的第三項(xiàng)系數(shù)2。(7)用2乘商的常數(shù)項(xiàng)2,得4,寫在被除式的常數(shù)項(xiàng)4的下面，同4相加，得到余式8。前面討論了除式都是一次項(xiàng)系數(shù)為1的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次項(xiàng)系數(shù)不是1,能不能利用綜合除法計(jì)算呢？例2、求(3x310x223x16)(3x2)的商式q和余式r2解：把除式縮小3倍，那么商流擴(kuò)大3倍，但余式不變。因此先用x一去除被除式，再把所

9、得的商縮小3倍3即可。2Q=x4x5,r=6下面我們將綜合除法做進(jìn)一步的推廣，使除式為二次或者二次以上的多項(xiàng)式時(shí)也能夠利用綜合除法來(lái)求商和余例3、用綜合除法求(3x47x311x210x4)(x23x2)的商Q和余式R。解:371196610432432323212Q=3x2x5,R=3x2。二、余數(shù)定理余數(shù)定理又稱裴蜀定理。它是法國(guó)數(shù)學(xué)家裴蜀(17301783)發(fā)現(xiàn)的。余數(shù)定理在研究多項(xiàng)式、討論方程方面有著重要的作用。余數(shù)定理：多項(xiàng)式f(x)除以xa所得的余數(shù)等于f(a)°略證：設(shè)f(x)Q(x)(xa)R將x=a代入得f(a)Ro例4、確定m的值使多項(xiàng)式f(x)x53x48x31

10、1xm能夠被x-1整除。解：依題意f(x)含有因式x-1，故f(1)0。13+8+11+m=0o可得m=-17。求一個(gè)關(guān)于x的二次多項(xiàng)式，它的二次項(xiàng)系數(shù)為1,它被x-3除余1,且它被x-1除和被x-2除所得的余數(shù)相同解：設(shè)f(x)x2axb.f(x)被x3除余1,.f(3)93ab1f(x)被x1除和x2除所得的余數(shù)相同，：f(1)”2)即1ab42ab由得a3,代入得b1f(x)x23x10注：本例也可用待定系數(shù)法來(lái)解。同學(xué)們不妨試一試。即：x2axb(x1)(xm)R(x2)(xn)R(x3)(xp)1由(x1)(xm)R(x2)(xn)R,可得m2,n1再由(x2)(x1)R(x3)(x

11、p)1,解得p0。f(x)x23x1o練習(xí)：1、綜合除法分別求下面各式的商式和余式。(1) (3x44x35x26x7)(x2)；(2) (x56x49x314x8)(x4)；32(3) (x(abc)x(abbcca)xabc)(xa)；(4) (9x45x2y28y48xy318x3y)(3x2y)；(5) (2x47x316x215x15)(X22x3)；(6) (x6x512x37x)(x33x25x2)2、一個(gè)關(guān)于x的二次多項(xiàng)式f(x),它被x-1除余2,被x-3除余28,它可以被x+1整除，求f(x)。3、一個(gè)整系數(shù)四次多項(xiàng)式f(x),有四個(gè)不同的整數(shù)1,2,3,4，可使f(1)1

12、,f(2)1,f(3)1,f(4)1,求證：任何整數(shù)都不能使f()10綜合除法：當(dāng)除式g(x)=xa時(shí)，我們介紹綜合除法去求商式、余式?！痉独浚涸O(shè)f(x)=2x4+x25x,g(x)=x2,求f(x)除以g(x)的商式、余式。解：2x4+x25x=(2x3+4x2+9x+23)(x2)+46綜合除法的原理：設(shè)f(x)=a4'+a以a/+a。，g(x)=xb,若存在商式q(x)=c2x2+c1x+c0,余式r(x)2d。0150由除法的定義：(a3x3+a2x2+a1x+a0)=(c2x2+cx+c0)(xb)+da3c2c2a3()48184624923,46_a?Qbgga2c2b

13、商式，繪式經(jīng)比較系數(shù)可得：2aGbc0c0a1Gbf(x)a3a2a1a0a060bdda0c°bb()c2bGbc°b上面的關(guān)系可寫成以下的形式：a3a2c2baGb,a0c0b當(dāng)f(x)除以g(x)=ax+b時(shí)，我們也可利用綜合除法求余式r(x)、商式q(x)。由除法的定義：f(x)=(ax+b)q(x)+r(x)=(x+)aqqGx)r(x)詼先利用綜昏1除法求出cx)除以(x+)的聞式q/(x)=aqrxx)與余式r(x),而所要求的商式q(x)=,余式r(x)不變。余式定理、因式定理除法原理：f(x)=g(x)q(x)+r(x),degr(x)<degg(x

14、)或r(x)=0余式定理：多項(xiàng)式f(x)除以xa的余式等於f(a)0有關(guān)f(a)的求值我們可以利用綜合除法得到。余式定理推廣：多項(xiàng)式f(x)除以ax+b的余式等於f()f(a)的雙重意義：(1)多項(xiàng)函數(shù)f(x)在x=a的函數(shù)值。(2)多項(xiàng)式f(x)除以xa的余式。范例：二次式ax2+bx4以x+1除之，得余式3,以x1除之，得余式1,若以x2除之，所得的余式為。解：f(x)=ax2+bx4,f(-1)=3且f(1)=1由此解得a與b,再求f(2)=18即為所得。范例：試求11541147211356112+1511+7之值為。解：f(x)=x5-4x4-72x3-56x2+15x+7利用綜合除

15、法求f(11)=51范例：設(shè)二多項(xiàng)式f(x),g(x)以2x23x2除之，余式分別為3x+2,4x+7,則f(x)+g(x)以2x+1除之，其余式為何?Ans:解：f(x)=(2x23x2)>p(x)+(3x+2)g(x)=(2x23x2)>q(x)+(-4x+7)f(x)+g(x)=(2x23x2)(p(x)+q(x)+(-x+9)=(2x+1)(x-2)(p(x)+q(x)+(-x+9)F(x)=f(x)+g(x),F(1)=-(-)+9=22范例：f(x)=2x4+3x3+5x26,求2x1除f(x3)的余式。解：可令g(x)=f(x3),再利用余式定理。Ans：范例：求多項(xiàng)

16、式(x2+3x+2)3被x2+2x+3除之余式為何？解：x2+3x+2=(x2+2x+3)+(x-1)(x2+3x+2)3=(x2+2x+3)+(x-1)3=(x2+2x+3)3+3(x2+2x+3)2(x-1)+3(x2+2x+3)(x-1)2+(x-1)3求多項(xiàng)式(x2+3x+2)3被x2+2x+3除之余式=求多項(xiàng)式(x-1)3被x2+2x+3除之余式=10x+14范例：試求下列各小題：(1)求多項(xiàng)式f(x)=x750x5+8x45x319x2+41x+6除以(x1)(x7)之余式。設(shè)多項(xiàng)式f(x)不低於2次，以x1除之余2,以x+2除之余1,則以(x1)(x+2)除f(x)的余式為何？設(shè)

17、多項(xiàng)式f(x)不低於3次，以x1除之余3,以x+1除之余1,以x2除之余2,則求以(x1)(x+1)(x2)除f(x)的余式。解：(1)f(x)=x750x5+8x45x319x2+41x+6除以(x1)(x7)也就是f(x)=x750x5+8x45x319x2+41x+6除以x2-8x+7我們可得余式11x-29(2)f(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+ax+b由f(1)=2及f(-2)=-1我們可以解得a=1,b=1我們可得余式x+1f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)Q(x)+ax2+bx+c由f(1)=3,f(-1)=1及f(2)=-2我們可以解得a=-2,b=1,c=4我們可

18、得余式2x2+x+4Ans：(1)11x29(2)x+1(3)2x2+x+4范例：多項(xiàng)式f(x)以x2-3x4,2x23x+1除之余式各為4x1,2x+7,試求f(x)以2x29x+4除之余式為何？解：f(x)=(x2-3x4)>p(x)+4x1=(x-4)(x+1)xp(x)+4x1f(x)=(2x3x+1)漢(x)+2x+7=(x-1)(2x-1)組(x)+2x+72f(4)=15且f()=82f(x)=(2x29x+4)xS(x)+ax+b=(x-4)(2x-1)>S(x)+ax+b利用f(4)=15=4a+b及f(1)=8=a+b22我們可解得a=2,b=7,故f(x)以2

19、x29x+4除之余式為2x+7范例：多項(xiàng)式f(x)以x(x1)除之，余式為x+3,以x(x+1)除之余式為3x+3,則f(x)除以x(x21)之余式為何？解：f(x)=x(x1)即(x)+(x+3)f(x)=x(x+1)逸(x)+(3x+3)f(x)=x(x21)>S(x)+ax2+bx+c我們有f(0)=3,f(1)=2,f(-1)=6分別代入f(x)=x(x21)>S(x)+ax2+bx+c。可以解得a=4,b=-2,c=3,故f(x)除以x(x21)之余式為4x22x+3。范例：多項(xiàng)式f(x)除以x3得余式16,除以x+4得余式19,則f(x)除以(x3)(x+4)所得的余式

20、為？Ans：5x+1范例：多項(xiàng)式f(x)以x23x+2除之余式為3,以x24x+3除之得余式為3x,則以x25x+6除之余式為?Ans：6x9范例：以x2+2x+3除f(x)余x+12,以(x+1)2除f(x)余5x+4,則以(x+1)(x2+2x+3)除f(x)的余式為？Ans：6x211x6范例：用(x1)2除x10+2所得的余式為何？Ans：10x7(直接除觀察系數(shù)規(guī)則即可得)范例：以(x+1)2除x50+1之余式為。Ans：50x48(直接除觀察系數(shù)規(guī)則即可得)因式定理：設(shè)f(x)為一多項(xiàng)式，則x為f(x)的因式f()=0。證明：因?yàn)閒(x)=(x)Q(x)推廣：axb為f(x)的因式

21、f()=0范例：因式定理的應(yīng)用：試問(wèn)下列何者為f(x)=4x5+8x4+7x322x22x+5的因式？(a)x1(b)x+2(c)2x1(d)x2設(shè)f(x)=x42x3+4x2+ax+3之一因式為x3,求a之值。范例：設(shè)f(x)=4x411x3+14x210x+3,則下列何者為f(x)之因式？(A)x+1(B)4x+3(C)4x3(D)3x2(E)x1Ans:(C)(E)范例：若f(x)=x35x2+mx+n有因式x2+x6,則m+n=?Ans:24范例：a,b,c為整數(shù),0<a<b,若xc為x(xa)(xc)17的因式，則(a,b,c)=?Ans：(2,18,1)一次因式檢驗(yàn)定理

22、：設(shè)f(x)=2x+3,g(x)=5x2x+7,h(x)=f(x)g(x)=10x3+13x2+11x+21,10x3是2x>5x2來(lái)的，21是3>7來(lái)的，因此觀察一次式2x+3|h(x),而2|10,3|21,這個(gè)結(jié)果對(duì)於一般整系數(shù)的多項(xiàng)式也是成立，我們將它寫成下面的定理：定理：設(shè)f(x)=anxn+an1xn1+a1x+a0為一個(gè)整系數(shù)n次多項(xiàng)式，若整系數(shù)一次式axb是f(x)的因式，且a,b互質(zhì)，則a|an且b|a0。注意：一次因式檢驗(yàn)定理的逆敘述不成立。例如：f(x)=3x3+5x2+4x2,f()0。由此定理，可知若一次式cxd中c不為an的因數(shù)或d不為a0的因數(shù)的話，則

23、cxd必不為f(x)的因式。故只有滿足a|an且b|a0的一次式axb才有可能成為f(x)的因式，因此我們只要從滿足a|an且b|a0這些axb去找一次因式就可以了。范例：求整系數(shù)f(x)=3x3+5x2+4x2的整系數(shù)一次因式。根據(jù)一次因式檢驗(yàn)定理，假設(shè)axb為f(x)的一次因式，則a|3且b|2。我們將所有可能的axb組合x+1,x1,x+2,x2,3x+1,3x1,3x+2,3x2,再利用綜合除法檢驗(yàn)看看那一個(gè)是f(x)的因式3x1是f(x)的因式。范例：求f(x)=2x4+5x3x2+5x3的一次因式。Ans：2x1與x+3范例：找出f(x)=6x47x3+6x21的所有整系數(shù)一次式。

24、Ans：2x1、3x+1定理：設(shè)f(x)為整系數(shù)多項(xiàng)式，a,b為不同的整數(shù)，證明：(ab)|f(a)f(b)。范例：歷史學(xué)家為了推敲大數(shù)學(xué)家歐幾里得的出生年份，發(fā)現(xiàn)在西元前336年時(shí)，流傳了一則有趣的故事：那一年的某一天，歐幾里得造了一個(gè)整系數(shù)的多項(xiàng)式，并興高采烈的跟旁人說(shuō)我現(xiàn)在的年齡剛好是這個(gè)多項(xiàng)式的一個(gè)根。旁人為了想知道歐幾里得的年齡，於是將7及一個(gè)比7大的整數(shù)代入歐幾里得的多項(xiàng)式，結(jié)果得到77及85的值。這時(shí)候歐幾里得笑著說(shuō)：我的年齡有你代的數(shù)那麼小嗎？你能根據(jù)這些史料推測(cè)出歐幾里得出生的年份嗎？提示：設(shè)歐幾里得提及的多項(xiàng)式為f(x),而歐幾里得有a歲，且f(7)=77,f(b)=85,

25、且b>7,由例題13可得b7|f(b)f(7)b7|8,且7a|f(7)f(a)=77,ba|f(b)f(a)=85,再根據(jù)這些條件，去求得a的值，a=14,所以歐幾里得出生的年份是西元前350年。最高公因式、最低公倍式定義：設(shè)f(x),g(x)為二多項(xiàng)式，若存在多項(xiàng)式h(x)使得f(x)=g(x)h(x),則稱f(x)為g(x)的因式或g(x)為f(x)的倍式。符號(hào)：f(x)|g(x)。范例：因?yàn)閤31=(x1)(x2+x+1),所以x1與x2+x+1均為x3+1的因式，x3+1為x1與x2+x+1的倍式。.一一,一311111氾例：因?yàn)橐粁x_=_(x1)(x2)=(x)(x1),所

26、以x+1,x+2,44242221111231x,一x1都是一xx的因式。222442注意：由上面兩個(gè)例子可知，若f(x)|g(x),則cf(x)|g(x)(c0)。因此就一般而言，只要求出整系數(shù)的因式或倍式即可。(2)性質(zhì)：若設(shè)d(x)|f(x),d(x)|g(x),則d(x)|m(x)f(x)+n(x)g(x)。公因式與公倍式:若多項(xiàng)式d(x)同時(shí)為多項(xiàng)式f(x),g(x)的因式，則稱d(x)為f(x),g(x)的公因式。注意：d(x)=c(c0)為任何兩個(gè)多項(xiàng)式的公因式。設(shè)d(x)為f(x),g(x)的公因式，則kd(x)(k0)亦為f(x),g(x)的公因式，因此我們通常只取一個(gè)代表就行了。如果多項(xiàng)式f(x),g(x)除了常數(shù)以外，沒(méi)有其它的公因式，就稱它們互質(zhì)。設(shè)f(x),g(x)都是非零多項(xiàng)式，如果m(x)同時(shí)是f(x),g(x)的倍式，那麼就稱m(x)為f(x),g(x)的公倍式。設(shè)m(x)為f(x),g(x)的公倍式，則km(x)亦為f(x),g(x)的公倍式，因此我們通常只取一個(gè)代表就行了。范例：設(shè)f(x)=4x21,g(x)=4x2+4x+1,h(x)=2x27x+3。求f(x),g(x)的公因式，g(x),h(x)的公因式。因?yàn)閒(x)=(2x+1)(2x1),g(x)=(2x+1)2,h(x)=(2x1)(x3),所以2