多元函數(shù)微積分復習試題

1、word完美格式多元函數(shù)微積分復習題一、單項選擇題1 .函數(shù)fx,y在點x0,y0處連續(xù)是函數(shù)在該點可微分的（B）（A）充分而不必要條件；（B）必要而不充分條件；（C）必要而且充分條件；（D）既不必要也不充分條件.2 .設函數(shù)fx,y在點x0,y0處連續(xù)是函數(shù)在該點可偏導的（D）（A）充分而不必要條件；（B）必要而不充分條件；（C）必要而且充分條件；（D）既不必要也不充分條件.3 .函數(shù)fx,y在點x0,y0處偏導數(shù)存在是函數(shù)在該點可微分的（B）.（A）充分而不必要條件；（B）必要而不充分條件；（C）必要而且充分條件；（D）既不必要也不充分條件.4 .對于二元函數(shù)zf（x,y）,下列結論正確的

2、是（C）.A.若limA,則必有l(wèi)imf(x,y)xx0yy。A且有l(wèi)imf(x,y)A；y次B.若在（x0,y0）處-z和都存在,xy則在點（x°,y°）處zf（x,y）可微;C.若在（x0,y0）處-z和-z存在且連續(xù)，則在點（x0,y0）處zf（x,y）可微;xy2222D.若，2和哇都存在，則.一.xyxy5 .二元函數(shù)zf（x,y）在點（x0,y0）處滿足關系（C）.A. 可微（指全微分存在）可導（指偏導數(shù)存在）連續(xù);B. 可微可導連續(xù)；C. 可微可導,D. 可導連續(xù),或可微連續(xù)，但可導不一定連續(xù)但可導不一定可微.irr1,2,1,貝Uagb(D)2一口rr6.向

3、量A3,1,2,b(A)3(B)(C)2精心整理學習幫手word完美格式5.已知三點M(1,2,(A)-1(C)01),A(2,1,(B)1(D)21),B(2,1,2),則MA?AB=6.已知三點M(0,1,(A).2;(C)2;1),A(2,2,(D)-2;1),B(2,1,3)，則|MAAB|=(B(B)22;7.設D為園域x2y22ax(a0),化積分F(x,y)dD為二次積分的正確方法A.C.2adx0ad0D.aaf(x,y)dy2acosB.2adxf(x,y)dysinD.2acossin)d8.設3dx1lnx0f(x,y)dy,改變積分次序,A.C.ln30dyln30dy

4、f(x,y)dxB.9.二次積分A.10dyC.1dx0100f(x,y)dx02dD.ln33cdyy0ey3lnxdy10f(x,y)dxf(x,y)dxcos0f(cossin可以寫成f(x,y)dx10f(x,y)dy是由曲面x2y2B.D.2z及z10dy1dx0；1y20f(x,y)dxJxx20f(x,y)dy2所圍成的空間區(qū)域，在柱面坐標系下將三重積分f(x,y,z)dxdydz表示為三次積分，I202f(cos,sin,z)dz精心整理學習幫手word完美格式sin,z)dz222_B.dd2f(cos000'22dd0022dd0022f(cos,T2f(cos,0

5、sin,z)dzsin,z)dz11.設L為x0y面內(nèi)直線段，其方程為L:xa,c則Px,ydxL(A)a(B)c(C)0(D)d12.設L為x0y面內(nèi)直線段，其方程為L:ya,cxd,則Px,ydyL(A)a(C)0(B)c(D)d13.設有級數(shù)Un,則limUn0是級數(shù)收斂的nn1(A)充分條件；(B)充分必要條件;(C)既不充分也不必要條件；(D)必要條件；14.幕級數(shù)nxn的收徑半徑R=n1(A)3(B)0(C)2(D)115.幕級數(shù)1xn的收斂半徑Rn1n(A)1(B)0(C)2(D)316.若幕級數(shù)anxn的收斂半徑為n0(A)R(B)(C)R(D)R,則anxn2的收斂半徑為n0

6、R2無法求得17.若limUn0,則級數(shù)Un()n,A.收斂且和為B.C.發(fā)散D.收斂但和不一定為可能收斂也可能發(fā)散精心整理學習幫手word完美格式18.若Un為正項級數(shù)，則（Bn1A.若limun0,n則Un收斂n1B.若Un收斂,n1則Un2收斂n1C.若Un2,則n1Un也收斂1D.若un發(fā)散,n1則limun0n19 .設幕級數(shù)Cnxn在點x3處收斂,n1則該級數(shù)在點1處（A）A.絕對收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.斂散性不定20 .級數(shù)犯？nin!（x0）,則該級數(shù)（A.是發(fā)散級數(shù)B.C.是條件收斂級數(shù)D.是絕對收斂級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.、填空題1 .設f(x,y)sinx(y1)ln

7、(x2y2),則fx(0,1)1.2 .設fx,ycosxy1lnx2y2,貝Uf)(0,1)=03 .二重積分的變量從直角坐標變換為極坐標的公式是fx,ydxdyfcos,sinddDD.三重積分的變量從直角坐標變換為柱面坐標的公式是fx,y,zdxdydzfcos,sin,zdddz.柱面坐標下的體積元素_dvdddz.設積分區(qū)域D:x2y2a2,且dxdy9,則a3D7.設D由曲線asina所圍成，則dxdy3a24精心整理學習幫手word完美格式8 .設積分區(qū)域D為1x2y24,2dxdy6D，一19 .設fx,y在0,1上連續(xù)，如果°fxdx3,ii貝dxfxfydy=9.

8、0010 .設L為連接(1,0)與(0,1)兩點的直線段，則xyds2.L11 .設L為連接(1,0)與(0,1)兩點的直線段，貝xyds.0L12 .等比級數(shù)aqn(a0)當q|1時，等比級數(shù)aqn收斂.n1n1,1.13 .當1時，p級數(shù)方是收斂的.n1np14 .當B寸，級數(shù)1n14是絕對收斂的.1pn1n15 .若£儀,y)jxy,則fx(2,1).-、y2216 .若f(x,y)xy3(x1)arccos-,則fy(1,y).3y22x17.設uzxy,貝Uduxyxyzylnxdxxlnzdydzz18.設z2ylnx,則Vxlny(lny1)lnxy19.積分2dxex

9、2dy的值等于2(1e4),20.設D為園域x2y2a2,若x2y2dxdy8,則aD21.設I2dxdydz,其中：x2y2z2a2,z0,則I精心整理學習幫手word完美格式三、計算題1 .求過點2,0,1且與平面2x5y4z80平行的平面方程.解：已知平面的法向量n=(2,-5,4),所求平面的方程為2(x+2)-5(y-0)+4(z-1)=0即2x-75y+4z=02 .求經(jīng)過兩點M(1,2,2)和M2(3,0,1)的直線方程。解：M1M2=(4,2,1)所求直線方程為工421為法線向量的平面方程3.求過點(0,-3,2)且以n=(3,-2,1)解：所求的平面方程為3x02y31z20

10、即3x2yz8024.設zfxy,y,其中f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求xy解：yf；x-yf1fyxfnf12y5.設ln4x2y2arctan,求處xdx精心整理學習幫手word完美格式解：方程兩邊對X求導得12、x222x2yyy121xxyy2x由此得fxy,yf具有二階連續(xù)偏階導數(shù)，求解:yfu,x2zxyfuxyfux2yfuu7.設xz解:方程xzzzxx2zzzlnz1_zzxIny兩邊同時對x求導得fax,by,其中f具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，求afi解:一af1abf12y精心整理學習幫手word完美格式9.設sinyexxy2解：方程兩邊對0,求也.dxx同時求導得cosyyexy

11、22xyy0x2由此得y,丫2xycosy10.計算二重積分3xD所圍成的閉區(qū)域。2ydxdy,其中D是由直線x0,y0,xy2解:3x2ydxdy22x222x)dx03x2ydy03xyy0dx22x0_2.2x4dxx2-x34x32022y11.改變二次積分I°dy丫2fx,ydx的積分次序。解：積分區(qū)域為D:0y2,y2x2yD也可表不為D:0x4,xy«247xI0dxxfx,ydy212.計算二重積分3x2ydxdy,其中D是由直線x0,y0,yx1D所圍成的閉區(qū)域。10120角牛：3x2ydxdydx3x2ydy3xyyxdxD14x205x1dx13.改變

12、二次積分I1ydyf00x,ydx的積分次序。解：積分區(qū)域為y1,0xy精心整理學習幫手word完美格式D也可表示為D:0x1,xy1y11dy0fx,ydx0dxxfx,ydy14.計算二重積分3xD2ydxdy其中D:0x1,0y1.解:3x2ydxdyD1dx013x02ydy12103xyy0dx13x01dx15.改變二次積分1dyyfx,ydx的積分次序。解：積分區(qū)域為D：y1,D也可表不為x1,x,ydy16.利用格林公式計算曲線積分I=4)dx(5y3x6)dy,其中L為三頂點分別為(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向邊界解：由格林公式(5y3xDx6)(2xyy4)

13、dxdy4dxdy=D1217.利用格林公式計算曲線積分2(y)dxxdy,其中L為正向的圓周a2(a.0).解：由格林公式精心整理學習幫手word完美格式x(y)dxdydxy2dxdy2a218.利用格林公式計算曲線積分I=口L(2xy4)dx(5y3x6)dy,其中L為三頂點分別為(0,0),(3,0),(0,3)的三角形正向邊界.解：由格林公式I=一(5y3x6)(2xy4)dxdydxy4dxdyD1=41332=18.19.判別級數(shù)n1n2sinn的收斂性。3解:limnun1Unlimn12sin3n1n2sinn3n由比值判別法知級數(shù)n2sin-收斂n0320.求幕級數(shù)n1xn

14、的收斂區(qū)問。解:nlimnword完美格式收斂區(qū)間為2,221.求幕級數(shù)xn的收斂區(qū)問n1n3n解:limnan1an1n13n1limn113,收斂區(qū)間為(-3,3)四、解下列各題題1 .利用柱面坐標計算三重積分zdxdydz,其中是由曲面zx2y2與平面z4所圍成的閉區(qū)域解:2,zdxdydzzdz2643162 .利用柱面坐標計算三重積分zdxdydz,其中閉區(qū)域為半球體x2z21,zword完美格式1.02zdxdydz。dzdz121dz03.利用柱面坐標計算三重積分x2dxdydz,其中是由曲面z9x2y2與平面z0所圍成的閉區(qū)域解:3,02.ydxdydzdz2d32454.計算

15、曲線積分ydxy2dy,其中L是在圓周yJ2xx2上由點。（0,解：QL0)到點A(1,1)的一段弧。2xydx12°(xx)Px2曲線積分與路徑無關,(x1(2x)dx=-10y2dyx2)dx5.計算曲線積分x2yL點O(0,0)到點A(2,解：Qxy2,dx0)精心整理學習幫手OA2xydxxy2dyy2dy,其中L是在圓周yJ2xx2上由的一段弧。x2yword完美格式Q_Pxy1,曲線積分與路徑無關,x2ydxLxy2dy2,2,xydyxydxOA22=°xdx(y=0,0x2)836.計算曲線積分x2ydxxydy,其中L是在圓周yV2xx2上由L點A(2,0

16、)到點0(0,0)的一段弧。解：Qxy2,Px2yQ_Pxy1,曲線積分與路徑無關,222.iydxxydyxydxxydyAO由2到0)2,xdx(y=0,x8.7.判別級數(shù)n231n是否收斂？如果收斂，是絕對收還是條件收斂?lnn解:記4人則11UnUn1(n2,3,n,)lnnlnn1且limunlim0nnlnnn由萊布尼茲定理，級數(shù)1。收斂lnn又工1,而級數(shù)1發(fā)散，由比較判別法可知lnnnn2n精心整理學習幫手word完美格式級數(shù)，發(fā)散，從而級數(shù)n2lnn1n為條件收斂n2lnn8.判別級數(shù)1nln11n2n是否收斂？如果收斂，是絕對收還是條件收斂?1ln1一51n解：記unln1

17、，lim1nn1n而1發(fā)散，所以m11發(fā)散n1nn1n又unln1n1ln1Un1n1(n1,2,3,0,1limunlimln1一nnn由萊布尼茲定理知1n1ln1-收斂且為條件收斂.n1n9.判別級數(shù)1nln(1')是否收斂？如果收斂，是絕對收還是條件收斂?n2n解：(1)n1ln(14)ln(1工)nn1ln(1-2)limn1n12n級數(shù)ln(1<)收收斂，n2n從而級數(shù)1nln(1J)為絕對收斂.n2n精心整理學習幫手word完美格式10計算Ixy2dD其中D:1y1,0x1.111511.計算Ix2y22dD其中D:x2y23.5212.求由錐面z2x2y2與圓柱面x2y2axa0所圍成的立體的體積五.應用題1.將周長為2P的矩形繞它的一邊旋轉得一圓柱體，問矩形的邊長各為多少時，所得圓柱體的體積為最大？解.目標函數(shù)：Vx2y,附加條件：xyp2Lx,yxyxypLX2xy0解方程組：Lyx20xyp得唯一可能極值點：x-p,y1p33故當矩形的邊長分別為2P和1P時，繞短邊旋轉所得到園柱33體的體積最大，且具體積為v&#