2020年屆高三數(shù)學(xué)立體幾何專項訓(xùn)練(文科)

1、2020屆高三數(shù)學(xué)立體幾何專題(文科)吳麗康2019-11PA1平面ABCD, E為PD的點.1 .如圖，四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD為矩形, I證明：PB /平面AEC;n設(shè) AP=1 , AD=目,三棱錐 P-ABD的體積求A點到平面PBD的距離.2 .如圖，四棱錐 P-ABCD中，AB/ CD, AB=2CD, E為PB的中點.(1)求證：CE/平面PAD;(2)在線段 AB上是否存在一點 F,使得平面 PAD/平面CEF? 假設(shè)存在，證明你的結(jié)論，假設(shè)不存在，請說明理由.3如圖，在四棱錐 P- ABCD中，平面 PACL平面 ABCD，且PA! AC, PA= AD= 2, 四

2、邊形 ABCD滿足BC/ AD, ABXAD, AB= BC= 1.點E, F分別為側(cè)棱 PB, PC上的點,PE PF且=-=XR 0).PB PC(1)求證：EF/平面PAD;1一(2)當(dāng)入=2時，求點D到平面AFB的距離.4.如圖，四棱柱 ABOAiBGDi的底面ABCD是正方形.證明：平面 AiBD/平面 CDiBi;(2)假設(shè)平面 ABCDA平面32心=直線1,證明：BiDi / l.BDM 于 GH.1 .如圖，四邊形 ABCD是平行四邊形，點 P是平面ABCD外一點, M是PC的中點，在 DM上取一點 G,過G和AP作平面交平面 求證：AP/ GH.6 .如圖，在四棱錐 P-AB

3、CD 中，PA1底面 ABCD, AB± AD, AC! CD,/ABC= 60° , PA= AB=BC, E是 PC的中點. 證明：(1)CD, AE; (2)PD,平面 ABE.7 .(2018通州三模，18)如圖，在四錐 P-ABCD中,平面PABL平面ABCD,四邊形ABCD 為正方形,PAB為等邊三角形，E是PB中點，平面AED與棱PC交于點F.(1)求證:AD/ EF;(2)求證:PBL平面 AEFD;記四棱錐P-AEFD的體積為V1,四棱錐P-ABCD的體積為V2,直接寫出的值.8如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD是/ DAB= 60°且

4、邊長為a的菱形， 側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD,假設(shè)G為AD的中點.(1)求證：BG，平面PAD;(2)求證：ADLPB;(3)假設(shè)E為BC邊的中點，能否在棱 PC上找到一點F,使平面DE。平面ABCD? 并證明你的結(jié)論.9.(2016高考卷)如圖，在四棱錐 P-ABCD中，PC，平面 ABCQ AB / DC, DC± AC (1)求證：DC平面PAC(2)求證：平面 PABL平面PAC;尸(3)設(shè)點E為AB的中點.在棱PB上是否存在點F,介、使得PA/平面CEF?說明理由.'W10.如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD是矩形，點E在PC上(異

5、于點P, C), 平面ABE與棱PD交于點F.(1)求證：AB/ EF;?(2)假設(shè)AF± EF,求證：平面 PAD,平面ABCD.代、.11.如圖，在四棱錐 P ABCD 中，PAa平面 ABCD, PA= AB= BC= g AD= CD= 1 , 1/ADC= 120 ,點M是AC與BD的交點，點 N在線段PB上，且PN= 4PB.證明：MN /平面PDC;（2）求直線MN與平面PAC所成角的正弦值.12.（2016高考卷）如圖，在四棱錐 P ABCD中，PAL CD, AD / BC, ，-。-1Z ADC= Z PAB= 90 , BC= CD= 2AD.在平面PAD找一點

6、M,使得直線 CM/平面PAB,并說明理由；（2）證明：平面 PAB，平面PBD.13. （2016高考卷）如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D, E分別為 AB, BC 的中點，點F在側(cè)棱B1B上,且B1DXA1F, ACA1B1.求證：（1）直線DE/平面A1C1F;(2)平面 B1DEL平面 A1C1F.14.12014,19如圖，三棱柱 LJ 中，側(cè)面三）為菱形，囚的中點為目，且回平面工I .1證明： WJ2假設(shè)三,求三棱柱El的高.15.(2017 某，文 17)如圖，在四棱錐 P-ABCD中,ADL平面 PDC,AD/ BC, PDL PB, AD=1,BC=3,CD=4,

7、PD=2.(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值；(2)求證:PDL平面PBC;(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.16.(2016高考卷)如圖，在三棱臺 ABC DEF中，平面 BCF日平面 ABC, /ACB= 90° , BE= EF= FC= 1, BC= 2, AC= 3.(1)求證：BF,平面ACFR(2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.17.(2018全國出)如圖，矩形 ABCD所在平面與半圓弧 CD所在平面垂直,M是CD上異于C, D的點.(1)證明：平面 AMD，平面 BMC.(2)在線段AM上是否存在點 P,使得MC/平面PBD?說明理由.立體幾

8、何中的翻折問題一兀- -118如圖，在直角梯形 ABCD中，AD/BC, / BAD= -, AB= BC= AD=a,E是AD的中點，O是AC與BE的交點.將 ABE沿BE折起到圖(2)中 AiBE的位置，得 到四棱錐Ai- BCDE(1)證明：CD，平面AiOC;(2)當(dāng)平面AiBE，平面BCDE時，四棱錐 Ai-BCDE的體積為36，2,求a的值.1I9.如圖 1,在直角梯形 ABCD中，/ ADC= 90°, AB/ CD, AD= CD= 2AB=2,E為AC的中點，將 ACD沿AC折起，使折起后的平面 ACD與平面ABC垂直, 如圖2.在圖2所示的幾何體 D ABC中：(

9、1)求證：BCL平面ACD;(2)點F在CD上，且滿足 AD/平面BEF,求幾何體FBCE的體積.20.如圖，長方體 ABCDAiBGDi 中，AB=16, BC= 10, AAi = 8.點 E, F 分別在 AiBi, DiCi 上，過點E、F的平面a與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形EFGH(1)求證：AiE=DiF;(2)判斷Ai D與平面a的關(guān)系.2020屆高三數(shù)學(xué)立體幾何專題(文科)1解析：I設(shè)AC的中點為O,連接EO.在三角形PBD中，中位線 且EO在平面 AEC上，所以 PB平面AECnap=i , I x1, 叵,I X I , W ,作AHPB角PB于H,由題意可知 B

10、C,平面PAB,BC± AH,故AH,平面PBC.又 x ,故a點到平面PBC的距離區(qū).2.(1)證明：如下圖，取 PA的中點H,連接EH, DH,1因為E為PB的中點，所以 EH/AB, EH=2AB,一 ,1又 AB/ CD, CD= 2AB.所以 EH/ CD, EH= CD,因此四邊形DCEH是平行四邊形，所以 CE/ DH,又DH?平面PAR CE?平面PAD,所以 CE/平面 PAD.1(2)如下圖，取 AB的中點F,連接CF, EF,所以AF= 2AB,EO/ PB,-1又CD= 2AB,所以AF=CD,又AF/ CD,所以四邊形 AFCD為平行四邊形，所以 CF/ A

11、D,又CF?平面PAD,所以CF/平面 PAD,故存在AB的中點F滿足要求.3.(1)證明PE ,PBPFPC=EF/ BC . BC/ AD, . EF/ AD.又 EF?平面 PAD, AD?平面 PAD,EF/ 平面 PAD.1(2)解入=2,F是PC的中點，由可知CE/平面PAD,又CEA CF= C,故平面 CEF/平面 PAD,在 RtPAC中，PA= 2, AC=娘，PC= «PA2+ AC2 =膽i 6_PF= 2PC=彳；.平面 PACL平面 ABCD,且平面 PA6平面 ABCD= AC,PA，AC, PA?平面 PAG . . PA，平面 ABCR，PAL BC

12、又 AB，AD, BC/ AD, . BC AB,又 PAA AB=A, PA, AB?平面 PAB,.BCL平面 PAB,BC± PB, 在 RPBC中，BF= 2PC=乎.連接BD, DF,設(shè)點D到平面AFB的距離為d,在等腰三角形,6BAF 中，BF= AF=J2, AB= i ,-5 ' S>AABF=,又S>AABD= i ,點F到平面ABD的距離為i ,4，由 Vf-ABD= VD-AFB,得;X i X i = J* d* 幸，解得 d = , 3345即點4.證明 （i）由題設(shè)知 BBi / DDi且BBi=DDi, 所以四邊形BBiDiD是平行四

13、邊形，所以 BD/ BiDi.又 BD?平面 CDiBi, BiDi?平面 CDiBi,所以 BD/平面 CDiBi.因為 AiDi/ BiCi/BC且 AiDi= BiCi= BC, 所以四邊形 AiBCD是平行四邊形，所以 AiB/DiCD到平面AFB的距離為華.又AiB?平面 CDiBi , DiC?平面CDiBi,所以 AiB/平面CDiBi.又因為BDn AiB=B, BD, AiB?平面AiBD,所以平面AiBD/平面 CDiBi.（2）由（i）知平面 AiBD/平面 CDiBi,又平面 ABCDH平面平面ABCDA平面AiBD=直線BD,所以直線I/直線BD,在四柱 ABCD-

14、AiBiCiDi 中， 所以 BiDi / BD,所以 BiDi / I.四邊形BDDiBi為平行四邊形,5.連接AC交BD于點O,連接MO,因為 PM=MC, AO= OC,所以 PA/ MO,因為PA?平面 MBD, MO?平面 MBD,所以PA/平面 MBD .因為平面 PAHS平面 MBD=GH,所以AP / GH.6 .證明(i)在四棱錐 P-ABCD中，因為 PA1底面 ABCD, CD?平面ABCD, 所以 PAI CD,因為 AC± CD,且 PAA AC= A,所以CD,平面PAG而AE?平面PAC所以CD± AE.(2)由 PA= AB= BC, / A

15、BC= 60° ,可得 AC= PA 因為E是PC的中點，所以 AE± PC由(i)知 AE± CD,且 PCA CD= C,所以 AE,平面 PCD.而PD?平面PCD,所以 A已PD.因為PA1底面 ABCD,所以PA，AB.又因為 AB± AD 且 PAA AD = A,所以AB,平面PAD,而PD?平面PAD,所以 AB± PD.又因為 ABA AE= A,所以PD,平面 ABE7 .(1)證明因為ABCD為正方形，所以AD/ BC.因為 AD?平面PBC,BC?平面PBC所以AD/平面PBC.因為AD?平面AEFD平面 AEFDA平面

16、 PBC=EF以AD/ EF.(2)證明因為四邊形 ABCD是正方形，所以AD± AB.因為平面 PAB1平面 ABCD,平面PABA平面 ABCD=AB,AD?平面 ABCD, 所以ADL平面PAB.因為PB?平面PAB所以AD± PB.因為 PAB為等邊三角形，£是PB中點，所以PB± AE.因為 AE?平面 AEFD,AD?平面 AEFD,AE1 AD=A,所以 PBL平面 AEFD.(3)解由知，Vi=Vc-aefdVe-abc=Vf-adc=Vc-aefd=Vi, ：Vbc-aef于Vi,那么 Vp-abcc=Vi+Vi=Vi ,.8 .解(1

17、)證明：在菱形 ABCD中，/ DAB= 60° , G為AD的中點，所以又平面 PAD,平面 ABCD,平面 PADA平面 ABCD= AD,所以BGL平面PAD.(2)證明：如圖，連接 PG因為 PAD為正三角形，G為AD的中點, 所以PG±AD.由(1)知，BG±AD,又 PGA BG= G,所以 AD,平面 PGB.因為PB?平面PGB,所以 ADXPB.BGXAD.當(dāng)F為PC的中點時，滿足平面 DEFL平面 ABCD.證明如下：取 PC的中點F,連接 DE、EF、DF.在4PBC中，F(xiàn)E/ PB,在菱形 ABCD中，GB/ DE而 FE?平面 DEF,

18、DE?平面 DEF, EFA DE= E, PB?平面 PGB, GB?平面 PGRPBA GB= B,所以平面 DEF/平面 PGB.因為BG,平面 PAD, PG?平面PAD,所以BG± PGi 又因為 PG± AD, ADA BG=G,所以 PG,平面 ABCD. 又PG?平面PGB,所以平面 PGB,平面 ABCD, 所以平面DEFL平面ABCD.9 .【解】(1)證明：因為 PC平面ABCD,所以PCX DC又因為DC AC,且PCA AC= C,所以DC平面PAC(2)證明：因為 AB/DC, DC± AC,所以 AB± AC因為PC1平面A

19、BCD,所以PCX AB.又因為PCA AC= C, 所以AB,平面 PAC又AB?平面PAB,所以平面 PAB1平面 PAC (3)棱PB上存在點F,使得PA/平面CEF 理由如下：EF/ PA如圖，取PB中點F,連接EF, CE, CE又因為E為AB的中點，所.又因為PA?平面CEF，且EF?平面CER所以PA/平面 CEF10 .證明 因為四邊形 ABCD是矩形，所以 AB/CD. 又AB?平面PDQ CD?平面PDQ 所以 AB /平面PDC,又因為 AB?平面 ABE,平面 ABEA平面 PDC= EF,所以AB/ EF.(2)因為四邊形 ABCD是矩形，所以 ABXAD. 因為 A

20、F± EF, (1)中已證 AB/ EF,所以 AB± AF.又ABLAD,由點E在PC上(異于點Q,所以點F異于點D,所以 AFn AD=A, AF, AD?平面 PAD, 所以AB,平面PAD,又AB?平面ABCD,所以平面 PAD_1平面 ABCD 11.(1)證明 因為AB=BC, AD=CD,所以BD垂直平分線段 AC 113又/ADC= 120。，所以 MD = 2AD = 5，AM=-.所以 AC= V3.又AB=BC= 4 所以 ABC是等邊三角形，3 BM1BM BNMN / PD.所以BM = 2,所以而=3,又因為pn=pb,所以而=NP=3,所以 又

21、MN?平面PDC, PD?平面PDC,所以MN /平面PDC(2)解 因為PA1平面 ABCQ BD?平面ABCD,所以BD)1 PA, 又 BD, AC, PAA AC= A, PA, AC?平面 PAG 所以 BD,平面 PAC 由知MN/PD,所以直線MN與平面PAC所成的角即直線 PD與平面PAC所成的角, 故/ DPM即為所求的角.在 RtPAD中，PD= 2,1所以sin/DPM = Dp=| = ：,所以直線MN與平面PAC所成角的正弦值為1.12.【解】(1)取棱AD的中點M(MC平面PAD),點M即為所求的一個點.理由如下:1 一因為 AD/ BC, BC= 2AD,所以 B

22、C/ AM,且 BC= AM,所以四邊形 AMCB是平行四邊形，從而 CM/ AB.又AB?平面PAB, CM?平面PAB,所以CM /平面 PAB(說明：取棱PD的中點N,那么所找的點可以是直線MN上任意一點)1(2)證明：由，PAI AB, PAX CD,因為 AD/ BC, BC= 2AD,所以直線 AB與CD相交.所以PA1平面 ABCD,從而PAL BD,連接BM,1因為 AD/ BC, BC= £AD,所以 BC/ MD,且 BC= MD.1所以四邊形BCDM是平行四邊形.所以 BM = CD= ,AD,所以BDXAB.又ABAAP= A,所以BDL平面 PAB.又BD?

23、平面PBD,所以平面 PABL平面 PBD.13 .證明(1)在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，A1C1/AC在 ABC中，因為D, E分別為AB, BC的中點，所以 DE/ AC,于是 DE/ A1C1.又 DE?平面 A1C1F, A1C1?平面 A1C1F,所以直線DE/平面A1C1F.在直三棱柱 ABC A1B1C1中，A1AL平面 A1B1C1. 因為 A1C1?平面 A1B1C1,所以 A1A± A1C1.又 A1CA1B1, A1A?平面 ABB1A1, A1B1?平面 ABB1A1, AAnA1B1 = A1,所以Aoa平面 ABB1A1.因為B1D?平面 ABB

24、1A1,所以 A1C11 B1D.又 B1DXA1F, A1C1?平面 A1C1F, A1F?平面 A1C1F, A1C1nA1F= A1, 所以BDL平面A1C1F.因為直線 B1D?平面B1DE,所以平面 B1DEL平面 A1C1F14 .證明：(I)連接BC,那么。為B1C與BG的交點，. AO,平面 BB1C1C. /.AOIBC,2分因為側(cè)面BB1C1C為菱形，；BCXB1C,分 BG，平面 ABC, v AB 平面 ABC, 故B1C± AB.份(H)作 ODL BC,垂足為 D,連結(jié) AD, AO, BC, BC 平面 AOD, 又BC平面ABC,.平面 ABC1平面A

25、OD,交線為AD,作OH,AD,垂足為H,.OHL面ABC9分./CBB=60°,所以ACBB為等邊三角形，又BC=1,可得O由于 AC，ABi,L3sJ , I x 1,由OHAD=ODOA,可得OH= * ,又。為BiC的中點，所以點Bi到平面ABC的距離為EJ ,所以三棱柱ABC-ABiCi的高高為 日。1力另解(等體積法)：./CBB=60°,所以ACBB為等邊三角形，又BC=i,可得 BO= H ,由于 AC±ABi,； 日 ,AB=i, AC=H ,9分那么等腰三角形ABC的面積為3aM= I ,設(shè)點Bi到平面ABC的距離為d,由Vbi-abc=Va-

26、bbic得所以三棱柱ABC-ABiCi的高高為 日。i2分15 .(i)解如圖，由AD/ BC,故/ DAP或其補角即為異面直線 AP與BC所成的角 因為ADL平面PDC,所以ADXPD.在RtPDA中，由，得AP=,故cos/ DAP=.所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為.(2)證明因為 ADL平面PDC直線PD?平面PDC,所以AD± PD.又因為BC/ AD,所以PD± BC又PD± PB,所以PDL平面PBC.(3)解過點D作AB的平行線交BC于點F,連接PF, 那么DF與平面PBC所成的角等于 AB與平面PBC所成的角.因為PDL平面PBC故PF為

27、DF在平面PBC上的射影,所以/ DFP為直線 DF和平面PBC所成的角.由于AD/ BC,DF/ AB,故BF=AD=i, 由，得 CF=BC-BF=2 AD± DC,故 BOX DC,在 Rt DCF 中，可得 DF=2,在 RtDPF 中，可得 sin/DFP=.所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為16 .【解】證明：延長AD, BE, CF相交于一點K,如下圖.因為平面 BCFE1平面 ABC,且AC, BC,所以AC平面BCK因此 BF± AC.又因為 EF/ BC, BE= EF= FC= i , BC= 2,所以 BCK為等邊三角形，且 F為CK的中點，

28、那么BF± CK所以BF，平面ACFD（2）因為BFL平面ACK,所以/ BDF是直線BD與平面ACFD所成的角.在 RtBFD 中，BF= g DF= |,得 cos/BDF=卑，所以直線BD與平面ACFD所成角的余弦值為 手.17 .（1）證明由題設(shè)知，平面 CMD，平面ABCD,交線為CD.D因為BC± CD, BC?平面ABCD,所以BC,平面CMD,又 DM?平面 CMD,故 BC± DM.因為M為CD上異于C, D的點，且DC為直徑，所以 DM，CM.又 BCA CM=C, BC, CM?平面 BMC,所以DM，平面 BMC.又DM?平面 AMD,故平面 AMD，平面BMC.（2）解當(dāng)P為AM的中點時,MC/平面 PBD.證明如下：連接 AC, BD,交于點O.因為ABCD為矩形,所以。為AC的中點.連接OP,因為P為AM的中點,所以MC/OP.又MC?平面PBD, OP?平面PBD,所以 MC/平面 PBD.i18 .（i）證明：在題圖（i）中，因為 AB=BC= 2AD= a,兀一一一.,E是AD的中點，/ BAD= ",所以BEX A