線(xiàn)性系統(tǒng)chap2.ppt[修復(fù)的]

1、線(xiàn)性系統(tǒng)理論線(xiàn)性系統(tǒng)理論第第2章章 線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第一部分第一部分: 線(xiàn)性系統(tǒng)的時(shí)間域理論線(xiàn)性系統(tǒng)的時(shí)間域理論線(xiàn)性系統(tǒng)時(shí)間域理論是以線(xiàn)性系統(tǒng)時(shí)間域理論是以時(shí)間域數(shù)學(xué)模型為系統(tǒng)描述時(shí)間域數(shù)學(xué)模型為系統(tǒng)描述,直接在時(shí)間域直接在時(shí)間域內(nèi)分析和綜合線(xiàn)性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)和特性的一種理論和方法。內(nèi)分析和綜合線(xiàn)性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)和特性的一種理論和方法。單輸入單輸出系統(tǒng)、時(shí)不變系統(tǒng)單輸入單輸出系統(tǒng)、時(shí)不變系統(tǒng)單變量高階微分方程單變量高階微分方程分析領(lǐng)域：穩(wěn)定性、時(shí)域響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)誤差分析領(lǐng)域：穩(wěn)定性、時(shí)域響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)誤差多輸入多輸出系統(tǒng)、時(shí)不變多輸入多輸出系統(tǒng)、時(shí)不變/時(shí)變系統(tǒng)時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述

2、狀態(tài)空間描述系統(tǒng)分析和綜合系統(tǒng)分析和綜合 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、能控能觀性、運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性、極點(diǎn)配置、運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、能控能觀性、運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性、極點(diǎn)配置、解耦、觀測(cè)器設(shè)計(jì)解耦、觀測(cè)器設(shè)計(jì)經(jīng)典線(xiàn)性系統(tǒng)時(shí)間域理論經(jīng)典線(xiàn)性系統(tǒng)時(shí)間域理論 現(xiàn)代線(xiàn)性系統(tǒng)時(shí)間域理論現(xiàn)代線(xiàn)性系統(tǒng)時(shí)間域理論 第二章第二章 線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 2.1 狀態(tài)和狀態(tài)空間狀態(tài)和狀態(tài)空間 1.系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的兩類(lèi)數(shù)學(xué)描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的兩類(lèi)數(shù)學(xué)描述 2.狀態(tài)和狀態(tài)空間的定義2.1 狀態(tài)和狀態(tài)空間狀態(tài)和狀態(tài)空間 1.系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的兩類(lèi)數(shù)學(xué)描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的兩類(lèi)數(shù)學(xué)描述 2u1upu1y2yqynxxx,21系統(tǒng)狀態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)系統(tǒng)輸入系統(tǒng)

3、輸入系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出系統(tǒng)狀態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)系統(tǒng)輸入系統(tǒng)輸入系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出系統(tǒng)狀態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)系統(tǒng)輸入系統(tǒng)輸入2u1upu1y2yqynxxx,21系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出系統(tǒng)狀態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)系統(tǒng)輸入系統(tǒng)輸入(1) 系統(tǒng)的外部描述系統(tǒng)的外部描述（輸出（輸出輸入描述）輸入描述）(2)系統(tǒng)的內(nèi)部描述系統(tǒng)的內(nèi)部描述 (1) 系統(tǒng)的外部描述系統(tǒng)的外部描述（輸出（輸出輸入描述）輸入描述）例如例如.對(duì)對(duì)SISO線(xiàn)性定常系統(tǒng)線(xiàn)性定常系統(tǒng)ubububyayayaynnnnn0)1 (1)1(10)1 (1)1(1)(復(fù)頻率域描述（傳遞函數(shù)）復(fù)頻率域描述（傳遞函數(shù)）01110111)()()(asasasbsbsbsssgnnnnn

4、uy(2)系統(tǒng)的內(nèi)部描述系統(tǒng)的內(nèi)部描述 狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述 狀態(tài)方程和輸出方程。狀態(tài)方程和輸出方程。(3)外部描述和內(nèi)部描述的比較外部描述和內(nèi)部描述的比較 外部描述外部描述系統(tǒng)的不完全描述，不能反映黑箱內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不能控系統(tǒng)的不完全描述，不能反映黑箱內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不能控/不能觀測(cè)的部分。不能觀測(cè)的部分。內(nèi)部描述內(nèi)部描述系統(tǒng)的完全的描述，能夠完全反映系統(tǒng)的所有動(dòng)力學(xué)特性。系統(tǒng)的完全的描述，能夠完全反映系統(tǒng)的所有動(dòng)力學(xué)特性。2u1upu1y2yqynxxx,21將系統(tǒng)當(dāng)做黑箱將系統(tǒng)當(dāng)做黑箱時(shí)間域描述時(shí)間域描述將系統(tǒng)當(dāng)做白箱將系統(tǒng)當(dāng)做白箱狀態(tài)變量組能完全表征動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)時(shí)間域運(yùn)動(dòng)行為的一個(gè)最小內(nèi)部變量

5、組，表示為 x1(t),x2(t),xn(t) 。狀態(tài)由狀態(tài)變量組x1(t),x2(t),xn(t)所組成的一個(gè)列向量，表為x(t)=x1(t),x2(t),xn(t)T。狀態(tài)x的維數(shù)即為狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)dimx=n。狀態(tài)空間：狀態(tài)向量的集合。狀態(tài)空間的維數(shù)=狀態(tài)的維數(shù)2.狀態(tài)和狀態(tài)空間的定義(2).狀態(tài)變量組最小性的物理特征狀態(tài)變量組最小性的物理特征(3). 狀態(tài)變量組最小性的數(shù)學(xué)特征狀態(tài)變量組最小性的數(shù)學(xué)特征 (4). 狀態(tài)變量組的不唯一性狀態(tài)變量組的不唯一性 (5).系統(tǒng)任意兩個(gè)狀態(tài)變量組之間的關(guān)系系統(tǒng)任意兩個(gè)狀態(tài)變量組之間的關(guān)系 (6)有窮維系統(tǒng)和無(wú)窮維系統(tǒng)有窮維系統(tǒng)和無(wú)窮維系統(tǒng) (7)

6、狀態(tài)空間的屬性狀態(tài)空間的屬性 狀態(tài)空間為建立在實(shí)數(shù)域狀態(tài)空間為建立在實(shí)數(shù)域R上的一個(gè)上的一個(gè)n維向量空間維向量空間R n狀態(tài)隨時(shí)間變化狀態(tài)隨時(shí)間變化狀態(tài)空間中的一條運(yùn)動(dòng)軌跡狀態(tài)空間中的一條運(yùn)動(dòng)軌跡幾點(diǎn)解釋幾點(diǎn)解釋 (1).狀態(tài)變量組對(duì)系統(tǒng)行為的完全表征性狀態(tài)變量組對(duì)系統(tǒng)行為的完全表征性 2.2 線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 系統(tǒng)的系統(tǒng)的狀態(tài)空間狀態(tài)空間描述（動(dòng)態(tài)方程或運(yùn)動(dòng)方程）：描述（動(dòng)態(tài)方程或運(yùn)動(dòng)方程）：狀態(tài)方程狀態(tài)方程（描述輸入和狀態(tài)變量之間的關(guān)系）（描述輸入和狀態(tài)變量之間的關(guān)系）輸出方程輸出方程（描述輸出和輸入、狀態(tài)變量之間的關(guān)系）（描述輸出和輸入、狀態(tài)變量之間的關(guān)系）1

7、u2upu1x2xnx1y2yqy動(dòng)力學(xué)部件輸出部件1.電路系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫(xiě)示例電路系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的列寫(xiě)示例 )(te1RLCcU2R2RULiCiedtdiLdtduCRiRdtdiLdtduCRuLcLLcc11201.選擇狀態(tài)變量選擇狀態(tài)變量uc, iL2.列出電路原始回路方程列出電路原始回路方程211212121122121212212212121211()()()()()()ccLLcLRcLRuuieRR CRR CRR CRR RRiuieL RRL RRL RRRR RRuuieRRRRRR 3.化回路方程為規(guī)范形式?；芈贩匠虨橐?guī)范形式。211cLccLLd ud i

8、R CLud td td ud iR CLeR id td t4. 導(dǎo)出狀態(tài)變量方程和輸出變量方程。導(dǎo)出狀態(tài)變量方程和輸出變量方程。eRRRiuRRRRRRRueRRLRCRRiuRRLRRRRLRCRRRCRRiuLcRLcLc2122121212212212121211211212)()(1)()()()(1以上方程可表為形如以上方程可表為形如 DuCxyBuAxx5.導(dǎo)出狀態(tài)方程和輸出方程。導(dǎo)出狀態(tài)方程和輸出方程。2.連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng) DuCxyBuAxx 線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng) uDxCyuBxAx)()()(

9、)(ttttxn維狀態(tài)；維狀態(tài)；up維輸入；維輸入；yq維輸出；維輸出；t0初始時(shí)刻；初始時(shí)刻；Ann系統(tǒng)矩陣；系統(tǒng)矩陣；Bnp輸入矩陣；輸入矩陣；Cqn輸出矩陣；輸出矩陣；Dqp傳輸矩陣傳輸矩陣tt0 線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述3個(gè)特點(diǎn)：個(gè)特點(diǎn)： (1)描述形式的描述形式的“線(xiàn)性屬性線(xiàn)性屬性”，系數(shù)矩陣的，系數(shù)矩陣的“時(shí)不變屬性時(shí)不變屬性” (2)描述形式的描述形式的“共性屬性共性屬性”、參數(shù)矩陣的、參數(shù)矩陣的“個(gè)性屬性個(gè)性屬性” (3)描述形式的簡(jiǎn)潔性描述形式的簡(jiǎn)潔性2.連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)的方塊圖連續(xù)

10、時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)的方塊圖 )(tC)(tDx yux)(tAuDxCyuBxAx)()()()(ttttB( ) t離散時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述離散時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述?離散時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述離散時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述形式狀態(tài)空間描述形式離散時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)離散時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng) )()()()()()1(kkkkkkDuCxyHuGxx傳輸矩陣陣輸出矩陣陣輸入矩陣陣系統(tǒng)矩陣陣:DpqCnqHpnGnn離散時(shí)間線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng)離散時(shí)間線(xiàn)性時(shí)變系統(tǒng))()()()()()()()()() 1(kkkkkkkkkkuDxCyuHxGx離散時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的特點(diǎn)離散時(shí)

11、間線(xiàn)性系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的特點(diǎn)(1)狀態(tài)方程形式上的差分型屬性狀態(tài)方程形式上的差分型屬性(2)描述方程的線(xiàn)性屬性描述方程的線(xiàn)性屬性(3)變量取值時(shí)間的離散屬性變量取值時(shí)間的離散屬性 離散時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)的方塊圖離散時(shí)間線(xiàn)性系統(tǒng)的方塊圖)(kH)(kC)(kD) 1( kx)(ky)(ku)(kx)(kG單位延遲)()()()()()()()()() 1(kkkkkkkkkkuDxCyuHxGxP25例題：假設(shè)某個(gè)國(guó)家，據(jù)普查統(tǒng)計(jì)例題：假設(shè)某個(gè)國(guó)家，據(jù)普查統(tǒng)計(jì)2001年年城鄉(xiāng)人口分布是：城市人口城鄉(xiāng)人口分布是：城市人口1千萬(wàn)，鄉(xiāng)村人口千萬(wàn)，鄉(xiāng)村人口9千萬(wàn)。人口流動(dòng)情況：每年有千萬(wàn)。人口流動(dòng)情況：每年有

12、4%上一年的城上一年的城市人口遷移去鄉(xiāng)村，同時(shí)有市人口遷移去鄉(xiāng)村，同時(shí)有2%上一年鄉(xiāng)村人上一年鄉(xiāng)村人口去城市。人口增長(zhǎng)情況是：整個(gè)國(guó)家人口的口去城市。人口增長(zhǎng)情況是：整個(gè)國(guó)家人口的自然增長(zhǎng)率為自然增長(zhǎng)率為1%。若采取激勵(lì)性政策控制手。若采取激勵(lì)性政策控制手段，每年一個(gè)單位正控制措施可以激勵(lì)段，每年一個(gè)單位正控制措施可以激勵(lì)5萬(wàn)城萬(wàn)城市人口去農(nóng)村，而一個(gè)單位反控制措施，則反市人口去農(nóng)村，而一個(gè)單位反控制措施，則反之。之。問(wèn)題：建立反應(yīng)這個(gè)國(guó)家城鄉(xiāng)人口分布的狀態(tài)問(wèn)題：建立反應(yīng)這個(gè)國(guó)家城鄉(xiāng)人口分布的狀態(tài)空間描述模型？空間描述模型？選擇變量：選擇變量：x1(k), x2(k)第第k年的城市人口和鄉(xiāng)村人

13、口年的城市人口和鄉(xiāng)村人口u(k)第第k年采取的激勵(lì)性政策控制手段年采取的激勵(lì)性政策控制手段Y(k)第第k年全國(guó)人口數(shù)年全國(guó)人口數(shù) 2.3.連續(xù)變量動(dòng)態(tài)系統(tǒng)按狀態(tài)空間描述的分類(lèi)連續(xù)變量動(dòng)態(tài)系統(tǒng)按狀態(tài)空間描述的分類(lèi) 線(xiàn)性系統(tǒng)和非線(xiàn)性系統(tǒng)線(xiàn)性系統(tǒng)和非線(xiàn)性系統(tǒng) 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng) 確定性系統(tǒng)和不確定性系統(tǒng)確定性系統(tǒng)和不確定性系統(tǒng) 2.3.連續(xù)變量動(dòng)態(tài)系統(tǒng)按狀態(tài)空間描述的分類(lèi)連續(xù)變量動(dòng)態(tài)系統(tǒng)按狀態(tài)空間描述的分類(lèi) 線(xiàn)性系統(tǒng)和非線(xiàn)性系統(tǒng)線(xiàn)性系統(tǒng)和非線(xiàn)性系統(tǒng) 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 ),(),(ttux,gyux,fx向量函數(shù)向量函數(shù) ),(),(),(

14、),(),(),(),(),(2121tgtgtgttftftftqnux,ux,ux,ux,gux,ux,ux,ux,f，若若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一個(gè)的全部或至少一個(gè)組成元為組成元為x、u的非線(xiàn)性函數(shù)的非線(xiàn)性函數(shù),該系統(tǒng)該系統(tǒng)稱(chēng)為稱(chēng)為非線(xiàn)性系統(tǒng)非線(xiàn)性系統(tǒng) 若若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部組成元為的全部組成元為x、u的線(xiàn)性函數(shù)的線(xiàn)性函數(shù),該系統(tǒng)稱(chēng)為該系統(tǒng)稱(chēng)為線(xiàn)性系統(tǒng)線(xiàn)性系統(tǒng) 對(duì)應(yīng)于線(xiàn)性系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于線(xiàn)性系統(tǒng) uDxCyuBxAx)()()()(tttt非線(xiàn)性系統(tǒng)可以用泰勒展非線(xiàn)性系統(tǒng)可以用泰勒展開(kāi)方法化為線(xiàn)性系統(tǒng)開(kāi)方法化為線(xiàn)性系統(tǒng) 12,Tnx xxx12,T

15、pu uuu12,Tqy yyy狀態(tài)狀態(tài) 輸入輸入 輸出輸出 時(shí)不變非線(xiàn)性系統(tǒng)的線(xiàn)性化？時(shí)不變非線(xiàn)性系統(tǒng)的線(xiàn)性化？利用泰勒級(jí)數(shù)進(jìn)行一次線(xiàn)性化近似，類(lèi)似小偏差法利用泰勒級(jí)數(shù)進(jìn)行一次線(xiàn)性化近似，類(lèi)似小偏差法線(xiàn)性系統(tǒng)和非線(xiàn)性系統(tǒng)線(xiàn)性系統(tǒng)和非線(xiàn)性系統(tǒng) 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為 ),(),(ttux,gyux,fx時(shí)不變非線(xiàn)性系統(tǒng)的線(xiàn)性化時(shí)不變非線(xiàn)性系統(tǒng)的線(xiàn)性化設(shè)設(shè)x0, u0, y0為上述方程組的一組解，利用泰勒級(jí)數(shù)進(jìn)行一次線(xiàn)性化近似：為上述方程組的一組解，利用泰勒級(jí)數(shù)進(jìn)行一次線(xiàn)性化近似：g(x,u)yf(x,u)x高階小項(xiàng)高階小項(xiàng)其中其中x=x-x0， u=u-u0線(xiàn)性系統(tǒng)和非線(xiàn)

16、性系統(tǒng)線(xiàn)性系統(tǒng)和非線(xiàn)性系統(tǒng) 忽略高次項(xiàng)忽略高次項(xiàng) xAxBuyCxDu=A=C=B=用用x代替代替x，u代替代替 u，y代替代替y連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和離散時(shí)間系統(tǒng) 當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的輸入變量當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的輸入變量,狀態(tài)變量和輸出變量取值于狀態(tài)變量和輸出變量取值于連續(xù)時(shí)間點(diǎn)連續(xù)時(shí)間點(diǎn),反映變反映變量間因果關(guān)系的動(dòng)態(tài)過(guò)程為時(shí)間的量間因果關(guān)系的動(dòng)態(tài)過(guò)程為時(shí)間的連續(xù)過(guò)程連續(xù)過(guò)程,該系統(tǒng)稱(chēng)為該系統(tǒng)稱(chēng)為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) 當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的輸入變量當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的輸入變量,狀態(tài)變量和輸出變量只取值于狀態(tài)變量和輸出變量只取值于離散時(shí)間點(diǎn)離散時(shí)間點(diǎn),反映變量反映變量間因果關(guān)系的動(dòng)態(tài)過(guò)程為時(shí)間的

17、間因果關(guān)系的動(dòng)態(tài)過(guò)程為時(shí)間的不連續(xù)過(guò)程不連續(xù)過(guò)程,該系統(tǒng)稱(chēng)為該系統(tǒng)稱(chēng)為離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng).(1)( ( ), ( ), ),0,1,2,( )( ( ), ( ), ),kkk kkkkk kxf xuyg xu),(),(ttux,gyux,fx確定性系統(tǒng)和不確定性系統(tǒng)確定性系統(tǒng)和不確定性系統(tǒng) 稱(chēng)一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)為稱(chēng)一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)為確定性系統(tǒng)確定性系統(tǒng),當(dāng)且僅當(dāng)不論是系統(tǒng)的特性和參數(shù)還是系當(dāng)且僅當(dāng)不論是系統(tǒng)的特性和參數(shù)還是系統(tǒng)的輸入和擾動(dòng)統(tǒng)的輸入和擾動(dòng),都是隨時(shí)間都是隨時(shí)間按確定的規(guī)律而變化按確定的規(guī)律而變化的的. 稱(chēng)一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)為稱(chēng)一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)為不確定性系統(tǒng)不確定性系統(tǒng),或者系統(tǒng)的特性和參

18、數(shù)中包含某種不確或者系統(tǒng)的特性和參數(shù)中包含某種不確定性定性,或者作用于系統(tǒng)的輸入和擾動(dòng)是或者作用于系統(tǒng)的輸入和擾動(dòng)是隨機(jī)變量隨機(jī)變量 . 2.4 由系統(tǒng)輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述由系統(tǒng)輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述 輸入輸出描述：微分方程，傳遞函數(shù)輸入輸出描述：微分方程，傳遞函數(shù) 2.4 由系統(tǒng)輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述由系統(tǒng)輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述 由輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述由輸入輸出描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述 對(duì)于單輸入對(duì)于單輸入,單輸出線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)單輸出線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng),其微分方程描述其微分方程描述 ububububyayayaymmmmnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1

19、)(或其傳遞函數(shù)描述或其傳遞函數(shù)描述 011101111)()()(asasasbsbsbsbsUsYsgnnnmmmm可以導(dǎo)出其狀態(tài)空間描述為可以導(dǎo)出其狀態(tài)空間描述為 1111RdRcRbRARxnnnnnducxybuAxx 基本步驟：選取適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量組，確定對(duì)應(yīng)基本步驟：選取適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量組，確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)矩陣組。的參數(shù)矩陣組。關(guān)鍵：選取適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量組關(guān)鍵：選取適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量組!狀態(tài)變量組不同則狀態(tài)方程不同！狀態(tài)變量組不同則狀態(tài)方程不同！下面介紹三種不同的轉(zhuǎn)換方法下面介紹三種不同的轉(zhuǎn)換方法結(jié)論1 給定單輸入,單輸出線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出描述,ububububyayayaymmmmn

20、nn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類(lèi)情況導(dǎo)出 011101111)()()(asasasbsbsbsbsUsYsgnnnmmmm(1)mn,即系統(tǒng)為嚴(yán)真情形 xyuxx0010001000000010101210mnbbbaaaa122311120101121nnnnnmmxxxxxxxaxa xa xuyb xb xb x 111101nnnxusasa sa(2)m=n,即系統(tǒng)為真情形 012100111101000000000101()()()nnnnnnnaaaabb abb abb ab u xxuyx011101111)()()(asas

21、asbsbsbsbsUsYsgnnnmmmmubxbabxbabxbabyuxaxaxaxxxxxxxnnnnnnnnnnnn)()()(112111001021113221111101nnnxusasa sa與(1)mn思路類(lèi)似 結(jié)論2 給定單輸入,單輸出線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出描述,其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述可按如下兩類(lèi)情況導(dǎo)出 (1)m=0情形此時(shí)輸入輸出描述為: ubyayayaynnn00) 1 (1) 1(1)(01110)(asasasbsgnnn選取n個(gè)狀態(tài)變量 )(1) 1(121nnnnnyxxyxxyxyx其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述為: xyuxx0, 0, 100010000000

22、1001210baaaan(2)m0情形此時(shí)輸入輸出描述為: ububububyayayaynnnnnnn0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(011101111)(asasasbsbsbsbsgnnnnnnnuuuyuxxuuuyuxxuuyuxxuyxnnnnnnn1)2(1)1(0)1(112102231011201 00112211011022201110aaaabaababbnnnnnnnnnnn其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述為: uxyuxaaaaxnnn012112100, 0, 11000000010其中00112211011022201110aaaabaababbnnnnnnnn

23、nnn011110110111000010001bbbbaaaaannnnnn結(jié)論3 給定單輸入單輸出線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述為： 01110111)(asasasbsbsbsbsgnnnmmmm其極點(diǎn) 即傳遞函數(shù)分母方程的根為兩兩互異實(shí)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述n,21(1) mn，即系統(tǒng)為嚴(yán)真情形 nissgksksksksgisinni, 2 , 1),)(lim)(2211對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述為 xyukkkxxnn1, 1, 12121(2) m=n，即系統(tǒng)為真情形 令nissgkasasasabbsabbsgsgbasasasbsbsbsbsgisinnnnnnnnnnnnnnnn

24、i, 2 , 1),)(lim)()()(01110011101110111對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間描述為：ubxyukkkxxnnn1, 1, 12121【例】已知描述系統(tǒng)的微分方程為uuyyyy64016064019218 試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式。解 224016018640160064001921600022110003100112022130aaabaababb于是系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為uxxxxxx2240160018192640100010321321321001xxxy由方塊圖描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述由方塊圖描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述(1)化給定方塊圖為規(guī)范化方塊圖（當(dāng)且僅當(dāng)其組成環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)均

25、為一階慣性化給定方塊圖為規(guī)范化方塊圖（當(dāng)且僅當(dāng)其組成環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)均為一階慣性環(huán)節(jié)和比例放大環(huán)節(jié)）。環(huán)節(jié)和比例放大環(huán)節(jié)）。(2)對(duì)規(guī)范化方塊圖指定狀態(tài)變量組。（當(dāng)且僅當(dāng)一階慣性環(huán)節(jié)的輸出有資格取為對(duì)規(guī)范化方塊圖指定狀態(tài)變量組。（當(dāng)且僅當(dāng)一階慣性環(huán)節(jié)的輸出有資格取為狀態(tài)變量）狀態(tài)變量）(3)列寫(xiě)變量間關(guān)系方程。列寫(xiě)變量間關(guān)系方程。(4)導(dǎo)出變換域狀態(tài)變量方程和輸出變量方程。導(dǎo)出變換域狀態(tài)變量方程和輸出變量方程。(5)導(dǎo)出狀態(tài)空間描述。導(dǎo)出狀態(tài)空間描述。例1 設(shè)系統(tǒng)方塊圖如下，試列寫(xiě)其狀態(tài)空間描述 451372sss21s解 上圖等效為 21s45s12su1xy3x2x指定狀態(tài)變量組后，列寫(xiě)變量

26、間的關(guān)系方程：21333223112)(2)(54xxyyxxxuxxxuxx4512451372sssss寫(xiě)成矩陣形式 321321321011025211210504xxxyuxxxxxx例2 設(shè)單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 3322113211231113231)()()()()()(sesesesesessssBsg試列寫(xiě)其狀態(tài)空間表達(dá)式。 21333223112)(2)(54xxyyxxxuxxxuxx解 可畫(huà)出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下 11s21s31s11s11s11e12e13e2e3eu1xy3x2x5x4x寫(xiě)出變量之間的關(guān)系 53423132121115354243133212211

27、1xexexexexeyuxxuxxuxxxxxxxx332211321123111)()()(sesesesesesg寫(xiě)成矩陣形式 54321321312115432132111543211110000000000000000100001xxxxxeeeeeyuxxxxxxxxxx534231321211153542431332122111xexexexexeyuxxuxxuxxxxxxxx也可以畫(huà)出結(jié)構(gòu)圖為 11s11s11se1131s21se13e12uy11x12x13x2x3xe2e33322113211231113231)()()()()()(sesesesesessssBsg可

28、寫(xiě)出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為 ueeeeexxxxxxxxxx32131211321312113211132131211000000000010000100003213121111100 xxxxxy 例3)1 (11)()()(2121211211sszsssksszsssksssszsksG設(shè)畫(huà)出結(jié)構(gòu)圖 uyk11ss21ss12zs 1x2x動(dòng)態(tài)方程為 21122121210101xxkyuzsxxssxx注：由方塊圖描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述，其結(jié)果是否唯一？階次是否變？注：由方塊圖描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述，其結(jié)果是否唯一？階次是否變？注：由方塊圖描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述，其結(jié)果不唯一！但階次不變。注：由方

29、塊圖描述導(dǎo)出狀態(tài)空間描述，其結(jié)果不唯一！但階次不變。2.5 線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu) 特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式 連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng) BuAxx)det()()(1AsIAsIAsI特征多項(xiàng)式預(yù)解矩陣特征矩陣(1) 特征多項(xiàng)式0111)det()(sssAsIsnnn110,n均為實(shí)常數(shù) (2) 特征方程 00111sssnnn(3) 凱萊-哈密爾頓（Caley-Hamilton）定理 0)(0111IAAAAnnn線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)由特征值特征值和特征向量特征向量所表征。(4) 最小多項(xiàng)式 )()()()()(1ssPsAsIadjAsI)()(sPs 與的各個(gè)元

30、多項(xiàng)式之間互質(zhì)？ 定義 (s)為系統(tǒng)矩陣A的最小多項(xiàng)式，最小多項(xiàng)式 (s)也滿(mǎn)足凱萊-哈密爾頓定理，即 (A)=0 (5) 系統(tǒng)矩陣的循環(huán)性 如果系統(tǒng)矩陣A的特征多項(xiàng)式 (s)和最小多項(xiàng)式 (s)之間只存在常數(shù)類(lèi)型的公因子k，即)()(sks則稱(chēng)系統(tǒng)矩陣A是循環(huán)的。 特征值特征值”的根特征方程“系統(tǒng)特征值0)det(AsI特征值集特征值集 對(duì)對(duì)n維線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，有且僅有維線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，有且僅有n個(gè)特征值，特征值的全體構(gòu)成系統(tǒng)的特征值集。個(gè)特征值，特征值的全體構(gòu)成系統(tǒng)的特征值集。 n,0)det(|21AI特征值的形態(tài)特征值的形態(tài) 特征值的形態(tài)要么為實(shí)數(shù)，要么為共軛復(fù)數(shù)特征值的形態(tài)要么為實(shí)數(shù)

31、，要么為共軛復(fù)數(shù) 特征值類(lèi)型特征值類(lèi)型 系統(tǒng)特征值可區(qū)分為系統(tǒng)特征值可區(qū)分為“單特征值單特征值”和和“重特征值重特征值”兩種類(lèi)型兩種類(lèi)型 連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng) BuAxx 問(wèn)題問(wèn)題: 對(duì)應(yīng)于特征值對(duì)應(yīng)于特征值 i究竟有幾個(gè)獨(dú)立的特征向量究竟有幾個(gè)獨(dú)立的特征向量? 答案答案: 矩陣的重特征值矩陣的重特征值 i所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性獨(dú)立的特征向量可能不所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性獨(dú)立的特征向量可能不止一個(gè)。止一個(gè)。 它的獨(dú)立特征向量的數(shù)目它的獨(dú)立特征向量的數(shù)目=n-rank( iI-A) q 因此，因此，r重的特征值可能存在重的特征值可能存在1至至r個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立的特征向量。個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立的特征向量。 獨(dú)立

32、的特征向量數(shù)到底具有什么意義獨(dú)立的特征向量數(shù)到底具有什么意義? 它與特征值的重?cái)?shù)之間有何關(guān)系它與特征值的重?cái)?shù)之間有何關(guān)系? 下面引入下面引入代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)兩個(gè)概念。兩個(gè)概念。特征值的代數(shù)重?cái)?shù)特征值的代數(shù)重?cái)?shù) 代數(shù)重?cái)?shù)代數(shù)重?cái)?shù) i 代表特征值集代表特征值集中值為中值為 i 的特征值個(gè)數(shù)的特征值個(gè)數(shù) 特征值的幾何重?cái)?shù)特征值的幾何重?cái)?shù))(AIrankniii的幾何重?cái)?shù)特征值重?cái)?shù)和類(lèi)型的關(guān)系特征值重?cái)?shù)和類(lèi)型的關(guān)系 對(duì)對(duì)n 維線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，若維線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，若 i A為單特征值，則其代數(shù)重?cái)?shù)為單特征值，則其代數(shù)重?cái)?shù) i和幾何重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù) i之間必之間必 有有ii1 對(duì)對(duì)n 維

33、線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，若維線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，若 i A為重特征值，則其代數(shù)重?cái)?shù)為重特征值，則其代數(shù)重?cái)?shù) i和幾何重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù) i之間必之間必 有有ii1即獨(dú)立特征向量個(gè)數(shù)即獨(dú)立特征向量個(gè)數(shù)30000100011000011000110001100002特征值的代數(shù)重?cái)?shù)？特征值的代數(shù)重?cái)?shù)？ 特征值的幾何重?cái)?shù)？特征值的幾何重?cái)?shù)？求矩陣的特征向量實(shí)例例 求如下矩陣的特征向量002121103A解： 1. 由特征方程|I-A|=0求得系統(tǒng)的特征值。0)2)(1(02121103|2AI解該特征方程，可求得系統(tǒng)的特征值為1=1 2=3=2即2為系統(tǒng)的二重特征值，其代數(shù)重?cái)?shù)為22. 計(jì)算1=1的特征向量。(1I

34、-A)v1=0解之得特征向量v1的通解為 v1=v11 v11 2v11T令v11=1，解之得 v1=v11 v12 v13T= 1 1 2T3. 計(jì)算重特征值2=3=2的特征向量。 按定義有 (2I-A)v2=0由于 n-rank(2I-A)=2因此，特征值應(yīng)有2個(gè)獨(dú)立特征向量，故該重特征值的幾何重?cái)?shù)亦為2。解之得特征向量v2的通解為 v2=v21 v22 v21T令v21=1、v22=0和1、解之得v2=1 0 1 T 和 v3=1 1 1T即重特征值2有兩個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立的特征向量。某些重特征值的線(xiàn)性獨(dú)立特征向量數(shù)某些重特征值的線(xiàn)性獨(dú)立特征向量數(shù)(幾何重?cái)?shù)幾何重?cái)?shù))小于其代數(shù)重?cái)?shù)小于其代數(shù)重?cái)?shù)

35、，從而使得矩陣所，從而使得矩陣所有特征值所對(duì)應(yīng)的有特征值所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性獨(dú)立特征向量數(shù)之和小于矩陣維數(shù)線(xiàn)性獨(dú)立特征向量數(shù)之和小于矩陣維數(shù)。為此，為此， 引入廣義特征引入廣義特征向量和特征向量鏈。向量和特征向量鏈。下次課任務(wù)：下次課任務(wù)：1、自己看書(shū)，講解廣義特征向量和特征向量鏈。、自己看書(shū)，講解廣義特征向量和特征向量鏈。2、研究單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立過(guò)程。也可以以其他實(shí)際系統(tǒng)作為、研究單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立過(guò)程。也可以以其他實(shí)際系統(tǒng)作為實(shí)例，研究其狀態(tài)空間模型的建立過(guò)程。實(shí)例，研究其狀態(tài)空間模型的建立過(guò)程。廣義特征向量廣義特征向量 對(duì)n維線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)i為nn維系統(tǒng)矩陣

36、A的一個(gè)i重特征值(i=1,2,., i j , i j)，則 TikiTikiTiiiikiikiinknkvAIvAIvAvvAIvAIA非零向量的，滿(mǎn)足級(jí)廣義左特征向量的的屬于非零向量的，滿(mǎn)足級(jí)廣義右特征向量的的屬于10)(0)(10)(0)(11ikiiiikiiikiikivAIvvAIvvAIvvv1)1(2)2()1()()()()( 對(duì)對(duì)n維線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)矩陣維線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)矩陣A的的特征值特征值 i 的的代數(shù)重?cái)?shù)為代數(shù)重?cái)?shù)為 i ，則，則A的屬于的屬于 i 的的廣義右特征向量組由廣義右特征向量組由 i 個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)n 1維非零向量組成維非零向量組成(i

37、=1,2,., , i j , i j) 。P54稱(chēng)此組特征向量為稱(chēng)此組特征向量為 i的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為 k 的廣義右特征向量鏈的廣義右特征向量鏈（2）確定廣義特征向量組的算法）確定廣義特征向量組的算法廣義特征向量的基本屬性：廣義特征向量的基本屬性： 對(duì)對(duì)n維線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)維線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè) i為系統(tǒng)矩陣為系統(tǒng)矩陣A的屬于的屬于 i 重特征值重特征值 i的的k級(jí)廣義級(jí)廣義右特征向量，按以下方法定義的右特征向量，按以下方法定義的k個(gè)特征向量必為線(xiàn)性無(wú)關(guān)：個(gè)特征向量必為線(xiàn)性無(wú)關(guān)：（1）廣義特征向量鏈）廣義特征向量鏈關(guān)于廣義特征向量和特征向量鏈另一種定義和求法關(guān)于廣義特征向量和特征向量鏈另一種定

38、義和求法 廣義特征向量是重特征值廣義特征向量是重特征值 i所對(duì)應(yīng)的所對(duì)應(yīng)的某個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立的特征向量某個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立的特征向量vj滿(mǎn)足如下方程組滿(mǎn)足如下方程組的的向量向量vj,k:,.3 , 2)(1,1 ,kvvAIvvkjkjijj 解上述方程組一直到無(wú)解為止，就可求得特征值解上述方程組一直到無(wú)解為止，就可求得特征值 i的特征向量的特征向量vj所對(duì)應(yīng)的所有所對(duì)應(yīng)的所有廣義特征向量廣義特征向量vj,k 。例 求如下矩陣的特征向量和特征向量鏈解 1. 由特征方程|I-A|=0可求得系統(tǒng)的特征值為1=2=3=-1 即-1為系統(tǒng)的三重特征值，其代數(shù)重?cái)?shù)為3。111201634A由于 n-rank(1I-A

39、)=2 因此，該特征值-1有2個(gè)獨(dú)立特征向量，幾何重?cái)?shù)亦為2。 由于該重特征值的幾何重?cái)?shù)小于代數(shù)重?cái)?shù)，因此兩個(gè)獨(dú)立特征向量中有一個(gè)一定存在廣義特征向量。 2. 計(jì)算對(duì)應(yīng)于三重特征值-1的特征向量。按定義有 (1I-A)v1=00211211633131211vvv即 解之得如下特征向量的通解式： v1=v11 v12 -(v11+v12)/2T3. 計(jì)算對(duì)應(yīng)于特征向量的廣義特征向量和特征向量鏈。按定義式，特征向量v1的廣義特征向量v1,2滿(mǎn)足 (1I-A)v1,2= -v1 即)(2/ 1211211633121112112, 1vvvvv因此，根據(jù)方程的可解性，v11和v12滿(mǎn)足v11=-3

40、v12此時(shí)的廣義特征向量v1,2的解為v1,2= r1 r2 -(r1+r2-v12)/2T其中r1和r2為任意數(shù)。因此存在廣義特征向量的特征向量v1為和其對(duì)應(yīng)的廣義特征向量可以分別取為v1=v11 v12 -(v11+v12)/2T =-3v12 v12 v12 T =1 -1/3 -1/3 Tv1,2=r1 r2 -(r1+r2-v12)/2T=1 2/3 -1 T另外一個(gè)不存在廣義特征向量的三重特征值1的特征向量為v2=v11 v12 -(v11+v12)/2T=1 0 -1/2 T本例共求得3個(gè)特征向量和廣義特征向量。 故特征值1對(duì)應(yīng)于特征向量v1的特征向量鏈為v1和v1,2。結(jié)論結(jié)論

41、 2.6 狀態(tài)方程的約當(dāng)規(guī)范形狀態(tài)方程的約當(dāng)規(guī)范形特征值為兩兩互異的情形特征值為兩兩互異的情形對(duì)對(duì)n個(gè)特征值個(gè)特征值 1、 2、 n兩兩互異的兩兩互異的n維線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，基于維線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，基于n個(gè)特征向量構(gòu)造變換陣個(gè)特征向量構(gòu)造變換陣 P = 1、 2、 n，則狀態(tài)方程，則狀態(tài)方程 BuAxx可通過(guò)線(xiàn)性非奇異變換可通過(guò)線(xiàn)性非奇異變換 1Pxx而化為約當(dāng)規(guī)范形。而化為約當(dāng)規(guī)范形。 BPBu,Bxxn211 約當(dāng)規(guī)范形約當(dāng)規(guī)范形被廣泛應(yīng)用于線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性的分析。被廣泛應(yīng)用于線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性的分析。任意線(xiàn)性時(shí)不變?nèi)我饩€(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)方程都可以通過(guò)系統(tǒng)的狀態(tài)方程都可以通過(guò)線(xiàn)性非

42、奇異變換線(xiàn)性非奇異變換化為約當(dāng)規(guī)范形?；癁榧s當(dāng)規(guī)范形。Pxx（）niAvviii2 , 1特征向量特征向量P-1AP，對(duì)角規(guī)范型對(duì)角規(guī)范型系統(tǒng)狀態(tài)實(shí)現(xiàn)完全解耦，狀態(tài)變量之間的耦合已完全被解除系統(tǒng)狀態(tài)實(shí)現(xiàn)完全解耦，狀態(tài)變量之間的耦合已完全被解除112112222121111nnnnnnP若若A陣為陣為能控規(guī)范形能控規(guī)范形1210100001000010naaaaA則則P陣是一個(gè)陣是一個(gè)范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)矩陣，為矩陣，為 考慮，如何證明？考慮，如何證明？即即P的每一列向量即為的每一列向量即為A的屬于相應(yīng)特征的屬于相應(yīng)特征值的一個(gè)特征向量值的一個(gè)特征向量當(dāng)出現(xiàn)復(fù)數(shù)特征值時(shí)，可

43、以當(dāng)作互異情況考慮，但 必包含共扼復(fù)數(shù)元，在系統(tǒng)分析與綜合中，需作實(shí)數(shù)化處理。BAP,含復(fù)特征值得對(duì)角規(guī)范型含復(fù)特征值得對(duì)角規(guī)范型niiiiijjA11niiiiiA11模態(tài)矩陣121.iinxxxxxx 12.RiIinxxxxxx例例試將下列狀態(tài)方程變換為約當(dāng)規(guī)范形約當(dāng)規(guī)范形uxxxxxx10051166116110321321解：A的特征值可由A0求出 05116611611AI3, 2, 1321對(duì)應(yīng)于 11的特征矢量111A312111312111511661161103111210特征值為兩兩互異的情形特征值為兩兩互異的情形1011同理可以算出421296133111210則變換矩

44、陣P為 941620111321Puxxxxxx132300020001321321狀態(tài)方程變換為約當(dāng)規(guī)范形約當(dāng)規(guī)范形結(jié)論結(jié)論特征值包含重值的情形特征值包含重值的情形對(duì)包含重特征值的n維線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)的特征值 ),(,),(),(222111重重重重重重lll那么，基于相應(yīng)于各特征值的廣義特征向量組所組成的變換陣Q，令 xQx1可將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為約當(dāng)規(guī)范形： BQBuBxJJBuQxAQQxl1111,njilji21)(具有準(zhǔn)對(duì)角線(xiàn)的形式具有準(zhǔn)對(duì)角線(xiàn)的形式其中，Ji為相應(yīng)于特征值i 的約當(dāng)塊：ikikiiiirrikiiiiiikikiiirkJliJJJJ1)(21)(, 2 ,

45、 1,11, 2 , 1lqqqQ21征向量為對(duì)應(yīng)特征根的廣義特其中：lqqq21例：例：P61重特征值情形的約當(dāng)規(guī)范形是一個(gè)“嵌套式”的對(duì)角塊陣，外層，中層，內(nèi)層系統(tǒng)狀態(tài)可實(shí)現(xiàn)可能的最簡(jiǎn)耦合。系統(tǒng)狀態(tài)可實(shí)現(xiàn)可能的最簡(jiǎn)耦合。當(dāng)系統(tǒng)矩陣當(dāng)系統(tǒng)矩陣A所有的特征值所有的特征值I 的的 i= i，約當(dāng)規(guī)范形為對(duì)角線(xiàn)矩陣。約當(dāng)規(guī)范形為對(duì)角線(xiàn)矩陣。30000100011000011000110001100002特征值包含重值的約當(dāng)規(guī)范型特征值包含重值的約當(dāng)規(guī)范型約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形下的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)： nnlJJJ21其中iiiiiiiJJJJ21ikikrriiiikJ111約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形i的代數(shù)重?cái)?shù)：ii的幾何

46、重?cái)?shù)：i特征值在矩陣中出現(xiàn)的次數(shù)特征值在矩陣中出現(xiàn)的次數(shù)特征值所占約當(dāng)小塊的個(gè)數(shù)特征值所占約當(dāng)小塊的個(gè)數(shù)例：求下述系統(tǒng)約當(dāng)規(guī)范型：xyuxx001,100041020122解：根據(jù) 得 即0 AI01221, 221（代數(shù)重?cái)?shù)2）對(duì)于 顯然代數(shù)重?cái)?shù)等于幾何重?cái)?shù)，21對(duì)于 其幾何重?cái)?shù)為1221)(3AIrank（不可對(duì)角化）根據(jù)各特征值的代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)應(yīng)有A的約旦標(biāo)準(zhǔn)型為：1112J特征值包含重值的情形特征值包含重值的情形下面求變換矩陣Q，使得：12111Q AQJ即： ，AQ QJ1112),(),(321321XXXXXXA32322112XXAXXAXXAX求得特征向量求得特征向量求得

47、廣義特征向量TX2101TX 101 2TX 1023123012(,)100211QX XX得： 1120112110 12Q AQJQ BCQ 系統(tǒng)約旦標(biāo)準(zhǔn)型為：zyuzz210,1201112取坐標(biāo)變換：x Qz2.7 由狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣由狀態(tài)空間描述導(dǎo)出傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣定義：?jiǎn)屋斎雴屋敵鼍€(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出變量拉普拉斯變換和定義：?jiǎn)屋斎雴屋敵鼍€(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出變量拉普拉斯變換和輸入變量拉普拉斯變換之比，稱(chēng)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即輸入變量拉普拉斯變換之比，稱(chēng)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即 )( )( )(susysg多輸入多輸出線(xiàn)性時(shí)不

48、變系統(tǒng)多輸入多輸出線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，在，在零初始條件零初始條件下，輸出變量拉普拉斯變換和輸下，輸出變量拉普拉斯變換和輸入變量拉普拉斯變換因果關(guān)系：入變量拉普拉斯變換因果關(guān)系：)( )()( susGsy稱(chēng)稱(chēng)G(s)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。其中其中 )()()()()()()()( ,)()()( 111111sgsgsgsgsGsusususysysyqpqppq，011101)()()(asasasbsbsbsusysgnnnmm(1) G(s)的函數(shù)屬性的函數(shù)屬性 傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣G(s)在函數(shù)屬性上是復(fù)變量在函數(shù)屬性上是復(fù)變量s的的qp有理分式矩陣。有理分式矩陣

49、。 (2) G(s)的真性和嚴(yán)真性的真性和嚴(yán)真性 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)G(s)是真或嚴(yán)真時(shí)，是真或嚴(yán)真時(shí)，G(s)才是物理上可實(shí)現(xiàn)的才是物理上可實(shí)現(xiàn)的 零陣是嚴(yán)真的非零常陣是真的)(lim)()(lim)(sGsGsGsGss(3) G(s)的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式 階子式的最小公分母的所有的最小多項(xiàng)式階子式的最小公分母、階、階、的所有的特征多項(xiàng)式1)()()(),min(21)()()(sGssGpqsGssGGG(4) G(s)的極點(diǎn)的極點(diǎn) G(s)的極點(diǎn)定義為方程式的極點(diǎn)定義為方程式 0)( sG的根的根 P66例例2.10 (5) G(s)的循環(huán)性的循環(huán)性 若若 常

50、數(shù)ksksGG),()(稱(chēng)稱(chēng)G(s)是循環(huán)的是循環(huán)的 (6) G(s)正則性和奇異性正則性和奇異性 是非正則的為奇異滿(mǎn)足方有理分式矩陣是正則的)()(0)(det)()(sGsGsGsGsGG(s)基于基于(A,B,C,D)的表達(dá)式的表達(dá)式考慮連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)考慮連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng) DuCxyBuAxx則則DBAsICsG1)()(設(shè)設(shè)G(s)的首一化特征多項(xiàng)式為的首一化特征多項(xiàng)式為 G(s)，A的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為 (s)，若，若 )()(ssG必有必有 )(deg)(degssG若系統(tǒng)能控能觀測(cè)，則若系統(tǒng)能控能觀測(cè)，則 )()(ssGdeg表示多項(xiàng)式的次數(shù)表示多項(xiàng)式的次數(shù)

51、表表G(s)的極點(diǎn)集合的極點(diǎn)集合G G，A的特征值集合的特征值集合，若，若G G，則則G ；若系統(tǒng)能控能觀；若系統(tǒng)能控能觀測(cè)，則測(cè)，則G= 。5123152 xxuy1x【例】求如下系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解 (1) 先計(jì)算逆矩陣C(sI-A)-1B5311)4)(2(1)(adj)(1ssssAsIAsIAsI)4)(2(1315ssssAsI53111315adj)(adjssssAsI代數(shù)余子式(2) 由傳遞函數(shù)計(jì)算公式可得)4)(2(5912525311)4)(2(21 )()(1sssssssBAsICsG結(jié)論結(jié)論G(s)的實(shí)用計(jì)算關(guān)系式的實(shí)用計(jì)算關(guān)系式令 CBBCABCAECBBCABCAE

52、CBCABECBEsssAsIsnnnnnnnnnnnn12110231211210111)det()(則)(1)(012211EsEsEsEssGnnnnDBAsICsG1)()(A的階次較高時(shí)，上述方法較繁瑣的階次較高時(shí)，上述方法較繁瑣q 同一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，即使其維數(shù)相同，但其具體結(jié)構(gòu)和系數(shù)矩陣也是多同一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，即使其維數(shù)相同，但其具體結(jié)構(gòu)和系數(shù)矩陣也是多種多樣的，種多樣的， 如系統(tǒng)矩陣如系統(tǒng)矩陣A可以為對(duì)角線(xiàn)矩陣的或者約旦矩陣的可以為對(duì)角線(xiàn)矩陣的或者約旦矩陣的, 也可以為其他形式的（如能控標(biāo)準(zhǔn)形）。也可以為其他形式的（如能控標(biāo)準(zhǔn)形）。 即狀態(tài)空間模型不具有唯一性。即

53、狀態(tài)空間模型不具有唯一性。為何同一個(gè)系統(tǒng)具有不同的狀態(tài)空間模型為何同一個(gè)系統(tǒng)具有不同的狀態(tài)空間模型?原因原因: 狀態(tài)變量的不同選擇狀態(tài)變量的不同選擇這就產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題這就產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題:各種不同選擇的狀態(tài)變量之間，以及它們所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間模型之間各種不同選擇的狀態(tài)變量之間，以及它們所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間模型之間的關(guān)系如何的關(guān)系如何? 2.8 線(xiàn)性系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的特性線(xiàn)性系統(tǒng)在坐標(biāo)變換下的特性坐標(biāo)變換的坐標(biāo)變換的實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)是把系統(tǒng)在狀態(tài)空間一個(gè)坐標(biāo)系上的表征化為另一個(gè)坐標(biāo)系上的是把系統(tǒng)在狀態(tài)空間一個(gè)坐標(biāo)系上的表征化為另一個(gè)坐標(biāo)系上的表征。表征。 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換是狀態(tài)空間方法分析和綜合中廣為采用的一種

54、基本手段是狀態(tài)空間方法分析和綜合中廣為采用的一種基本手段突出突出系統(tǒng)的某些特性或特征，或是簡(jiǎn)化系統(tǒng)分析和綜合的計(jì)算過(guò)程系統(tǒng)的某些特性或特征，或是簡(jiǎn)化系統(tǒng)分析和綜合的計(jì)算過(guò)程。 x x y y A(xa,ya) (xa,ya) q 一個(gè)一個(gè)n階動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，可通過(guò)選擇階動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，可通過(guò)選擇n個(gè)狀態(tài)變量以建立狀態(tài)空間模型來(lái)描述。個(gè)狀態(tài)變量以建立狀態(tài)空間模型來(lái)描述。這這n個(gè)狀態(tài)變量的選擇不是唯一的。個(gè)狀態(tài)變量的選擇不是唯一的。一個(gè)一個(gè)n維線(xiàn)性獨(dú)立的狀態(tài)變量向量，維線(xiàn)性獨(dú)立的狀態(tài)變量向量，在在n維狀態(tài)空間中構(gòu)成一個(gè)坐標(biāo)維狀態(tài)空間中構(gòu)成一個(gè)坐標(biāo)系，系，即相當(dāng)于空間中的一個(gè)基底。即相當(dāng)于空間中的一個(gè)基底。 線(xiàn)

55、性空間中，隨著表征空間坐標(biāo)的基底的選取的不同，空間中的線(xiàn)性空間中，隨著表征空間坐標(biāo)的基底的選取的不同，空間中的點(diǎn)關(guān)于各種基底的坐標(biāo)亦不同。點(diǎn)關(guān)于各種基底的坐標(biāo)亦不同。 變換基底變換基底坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換。狀態(tài)變量所組成的狀態(tài)空間為一個(gè)實(shí)線(xiàn)性空間，狀態(tài)變量所組成的狀態(tài)空間為一個(gè)實(shí)線(xiàn)性空間，狀態(tài)空間中狀態(tài)變狀態(tài)空間中狀態(tài)變量的不同選擇類(lèi)似于線(xiàn)性空間中的坐標(biāo)系的不同選擇。量的不同選擇類(lèi)似于線(xiàn)性空間中的坐標(biāo)系的不同選擇。 在右圖所示，在右圖所示，A點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系下的坐點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)存在如下變化關(guān)系標(biāo)存在如下變化關(guān)系(其中其中P為非奇異的為非奇異的變換矩陣變換矩陣)aaaayxPyx結(jié)論結(jié)論2.8 對(duì)系統(tǒng)的坐標(biāo)變換代數(shù)上等同于對(duì)其狀態(tài)空間的基矩陣的一個(gè)線(xiàn)性非奇對(duì)系統(tǒng)的坐標(biāo)變換代數(shù)上等同于對(duì)其狀態(tài)空間的基矩陣的一個(gè)線(xiàn)性非奇異變換。異變