第7講高階偏導(dǎo)數(shù)ppt課件

1、第七節(jié)第七節(jié) 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù) 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù) 求混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)的定理求混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)的定理多元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)的情形類似多元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)的情形類似. . 一般說(shuō)來(lái)一般說(shuō)來(lái), , 在區(qū)域在區(qū)域 內(nèi)內(nèi), , 函數(shù)函數(shù) z = f (x, y) z = f (x, y) 的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)數(shù)數(shù),xzyz仍是變量仍是變量 x , y x , y 的多元函數(shù)的多元函數(shù), , 如果偏導(dǎo)數(shù)如果偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù). .依此類推依此類推, , 可定義多元函數(shù)的更高階的導(dǎo)數(shù)可定義多元函數(shù)的更高階的導(dǎo)數(shù). .仍可偏導(dǎo)仍可偏導(dǎo), , 則它們的偏導(dǎo)數(shù)就是原來(lái)函數(shù)

2、則它們的偏導(dǎo)數(shù)就是原來(lái)函數(shù),xzyz高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù) 一般地, 若函數(shù) f (X) 的 m1 階偏導(dǎo)數(shù)仍可偏 導(dǎo),則稱其偏導(dǎo)數(shù)為原來(lái)函數(shù)的 m 階偏導(dǎo)數(shù). 二階和二階以上的偏導(dǎo)數(shù)均稱為高階偏導(dǎo)數(shù)二階和二階以上的偏導(dǎo)數(shù)均稱為高階偏導(dǎo)數(shù), , 其其中中, , 關(guān)于不同變量的高階導(dǎo)數(shù)關(guān)于不同變量的高階導(dǎo)數(shù), , 稱為混合偏導(dǎo)數(shù)稱為混合偏導(dǎo)數(shù). .例的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)：二二元元函函數(shù)數(shù) ),( yxfz xzxy xzx xzyyzxy yzx yzy22xzyxz2xyz222yz 例例1122ffxzxx 2222ffyzyy 122ffyxzxy 212ffxyzyx 二元函數(shù)的二階偏

3、導(dǎo)數(shù)共 22 = 4 項(xiàng)例的的三三階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)：二二元元函函數(shù)數(shù) ),( yxfz 22xz3322xzxzxyxzxzy2322xy22xz22yzyxz2xyz2 例例1例的的三三階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)：二二元元函函數(shù)數(shù) ),( yxfz 22yzxyzyzx23223322yzyzyxy22xz22yzyxz2xyz2 例例2例的的三三階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)：二二元元函函數(shù)數(shù) ),( yxfz yxz2xyxzyxzx32232yxzyxzyxy22xz22yzyxz2xyz2 例例3例的的三三階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)：二二元元函函數(shù)數(shù) ),( yxfz xyz2232xyzxyzxyxyzxyzy32

4、xy22xz22yzyxz2xyz2 例例4共共 23 = 8 23 = 8 項(xiàng)項(xiàng). .的的三三階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)：二二元元函函數(shù)數(shù) ),( yxfz 求高階導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序有關(guān)例求求13323xyxyyxz的二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù). .先求一階偏導(dǎo)數(shù)：先求一階偏導(dǎo)數(shù)：,33322yyyxxz,9223xxyyxyz再求二階偏導(dǎo)數(shù)：再求二階偏導(dǎo)數(shù)：22xzxzx)33(322yyyxx26xy22yzyzy)92(23xxyyxyxyx1823 例例解解例求求13323xyxyyxz的二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù). . 例例解解二階混合偏導(dǎo)數(shù)：二階混合偏導(dǎo)數(shù)：yxz2)33(322yyyxy19622y

5、yxxyz2)92(23xxyyxx19622yyx 兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)相等兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)相等這里的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)這里的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)例設(shè)設(shè)0 , 0 0 , )(),(22222222yxyxyxyxxyyxf, )0, 0(xyf . )0, 0(yxf 求求需按定義求函數(shù)在點(diǎn)需按定義求函數(shù)在點(diǎn)(0, 0) (0, 0) 處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù): :)0, 0(xfxfxfx)0, 0()0,(lim00)0, 0(yfyfyfy)0, 0(), 0(lim00 )0, 0(xyfyfyfxxy)0, 0(), 0(lim01lim0yyy )0, 0(yxfxfxfyyx)0, 0

6、()0,(lim01lim0 xxx 例例解解定理假設(shè)),(yxfz 的二階混合偏導(dǎo)數(shù)在),U(00yx內(nèi)存在且在點(diǎn)),(00yx處連續(xù),則必有yxyxf),(002 .),(002xyyxf引入記號(hào)：)(Xf在在內(nèi)有直到內(nèi)有直到 k k 階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,記為記為, )()(kCXf。, 2 , 1 , 0k)(),(nCyxf時(shí)時(shí), , 則在求則在求n n 階及階及n n 階以下的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)階以下的偏導(dǎo)數(shù)時(shí), , 可大大減少運(yùn)算可大大減少運(yùn)算次數(shù)次數(shù). .自變量的個(gè)數(shù)越多自變量的個(gè)數(shù)越多, , 求導(dǎo)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)的作用越求導(dǎo)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)的作用越二元函數(shù)的二元函數(shù)的n n 階

7、偏導(dǎo)數(shù)就有階偏導(dǎo)數(shù)就有2n 2n 項(xiàng)項(xiàng), , 當(dāng)當(dāng) 明顯明顯. .例xzyxxye22yzyxex22xzxxz22x)2(2yxxyeyxeyxy2)42(22yzyyz22y)(22yxexyxex24xyzyxz22yxeyxx2)22(3x)(22yxex 例例解解 . 2的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求yxez 例xu)(222zyxfxzyx)(222)(2222zyxfxx)(2(222zyxfx)(2222zyxf)(42222zyxfx yyxu2)(2(222zyxfx)(4222zyxfxy 22xu 例例解解 . , , , )( 2222222yxuxuCfzyxfu求其

8、中設(shè)例xu 1fxzyx)( 2fxxyz)(21fyzfyxu2)(21fyzfy 11fyzyx)( 12fyxyz )(2fz yxyzfyzyxfyz)()(2221 11f 12)(fzyx 222fxyz2fz. ,22yxuxyu此時(shí) . , , ) ,( 22yxuCfxyzzyxfu求求且且設(shè)設(shè) 例例解解例 . , 0 22xzxyzez求求設(shè)設(shè)這是求隱函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)這是求隱函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù). .則則令令 ,),( xyzezyxFzzFxFxzxyeyzzxyeyzzxzxxz22xyeyzxz 例例解解xzxxz22xyeyzxz2)()(xyeyxzeyzxyexzyzzz32)()()(xyexyeyyzeyzxyezyzzzz32232)(22xyeezyzxyzeyzzzxyeyzxzz例 練練證具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試，其中設(shè)gfxyxgyxyfu,)()( . 0222yxuyxux 練練.,10 222yvyxuxvyuyvxu求設(shè)例利用變量代換利用變量代換,atx atx 將方程將方程22222xuatu化為關(guān)于變量化為關(guān)于變量,的方程的方程. . )(2Cu令令,),(uu ,atx atx