第六章共形映射

1、第六章共形映射6.1解：w2z(1)w(1)2,|w(1)|2,argw(1)0,伸縮率為2，旋轉(zhuǎn)角為0(2)1w(4)(3)w(1i)(4)1'1»2，argw(1)，伸縮率為-，旋轉(zhuǎn)角為1'2,|w(2(1i),|w'(1i)|2、2argw'(1i)，伸縮率為22，旋轉(zhuǎn)角w(34i)2(34i),|w(34i)|10,argw(34i)arctan，3伸縮率為10，旋轉(zhuǎn)角為6.2解:(1)(2)(3)(4)zxu,yv2222uvuvu,yv2222uvuvu,yv2222uvuvu,yv2222uvuvivx代入xx代入xxx代入(x代入x2令

2、wu1I，則可以得到xu2y24得到uy得到u1得到u2八221)yu整理得(u2u2u整理得v1u26.3解:(1)分式線性變換3把x0,y0變成下半單位圓域，把上半虛軸變成zi實(shí)軸上1,1，把正半實(shí)軸變成下半單位圓(2) 分式線性變換w(1i)z，將Imz0區(qū)域按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一，得到區(qū)域4ImwRew分式線性變換w把正實(shí)軸變成了不含(0,1)的實(shí)軸，把a(bǔ)rgz變成z141|w2(1i)l1-的實(shí)軸下面部分2（4）分式線性變換w-把虛軸上0i變成實(shí)軸上的（1,），把正實(shí)軸變換成z11上半虛軸，把zai變成了|w-|1的上半圓。226.4 解：wz2把上半單位圓映射成為|w|1，并且沿正實(shí)軸

3、割開。6.5 解：進(jìn)而可以得到進(jìn)而可以得到wz2iz2ii_VIi(z1)進(jìn)而可以得到wz1z1i1】(z1)6.6解:（1）令z，化簡(jiǎn)可以得到-iw，化簡(jiǎn)可以得到丄w，化簡(jiǎn)可以得到wz密，將z平面上的區(qū)域|zi|2,1mz,.43域argzi-，令兀乙，將乙平面上的角形區(qū)域3面上的下半平面，然后令wZ2，則將下半平面變成了z1(TTji0變成乙平面上的角形區(qū)Nrgarw平面的上半平面，綜合上面變換可得到所求線性變換為z1（2）兩個(gè)圓的交點(diǎn)是z1，令乙，將z平面上的區(qū)域Z15|Zi|-.2,1zi|X2變成乙平面上的角形區(qū)域一argz!，令Z2z；，將445z1平面上的角形區(qū)域arg變成z2平

4、面上的角形區(qū)域arg4422iz2，可以將Z2平面上的角形區(qū)域？argz3變成上半平面，綜合可以得到wi()2Z16.7解：將上半平面映射為單位圓內(nèi)部的分式線性變換為weZZo(1) Zoi，(2)Zoi，2，所以w2，所以wX(3)利用保對(duì)稱點(diǎn)性質(zhì)，可以知道,zi,1,i變成w,1,、.5，然后根據(jù)保交比性質(zhì)可以得到w3z(52i)(,52i)z3(4)Zoi，所以wiZZowe-1ZoZ6.8解：將單位圓映射為單位圓內(nèi)部的分式線性變換為1(1)Zo1，所以w厶22z1211z2z2(2)Zo1，所以w21z-i2.2z12，i1z2i2z6.9解：(1)令Zz.3i，將z平面上的區(qū)域|z|2,1mz1變成z1平面上的z<3i43角形區(qū)域Nrgarargzi4，令Z2z3，將zi平面上的角形區(qū)域3成Z2平面上的下半平面，然后令wZ2，則將下半平面變成了w平面的上半平面，綜合上面變換可得到所求線性變換為Z罷i、3w()zV3i(2)令Ziz4，將z平面上的區(qū)域0argzz|2變成乙平面上的半圓區(qū)域0argz1,|Zi|16，令Z2z,16z116將Zi平面上的半圓區(qū)域40argziZi|16變成z?平面上的argz，然后令wz?，則將下半平面變成了w平面的上半平面，綜合上面變換可得到所求線性變換為16)24(芻Z(3)將帶形區(qū)域aRezb變成上半平面的變換為