第二章4.1導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則

1、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則4.1導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則埃型號(hào)學(xué)挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 理解導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則的推導(dǎo)方法.2. 掌握導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則.3. 會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則進(jìn)行簡單導(dǎo)數(shù)計(jì)算.知識(shí)鏈接利用導(dǎo)數(shù)的和(差)公式進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的前提條件是什么答應(yīng)用的前提條件是：必須是有限個(gè)函數(shù)和(差)的形式；其中每個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都存在且利用公式能容易求出.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1. 導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則(1) 符號(hào)語言 f(x)+g(x)亠fx(+gX( f(x)-g(x)厶f(x)g丸(2) 文字語言兩個(gè)函數(shù)和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和(差).2. 兩個(gè)函數(shù)和差的求導(dǎo)法則的推廣(1)af(x)g(

2、x)丄afx(gx(a,b為常數(shù)).f1(x)(x)(x)-fx)=f1(x)2(x)3(x)-fx).k課堂講義j審點(diǎn)難虎個(gè)個(gè)擊磚要點(diǎn)一直接利用法則求導(dǎo)數(shù)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=x1+2+2；xx(2)y=1+sin2cos2；ii(3)y=xx2+X3；(4)y=(,.x+1)-1x1.解觀察式子的特點(diǎn)，可以先化簡再求導(dǎo).(1)；y=x+2+2，二y丄1令XX1,1(2)；y=1+sincos=1+2sinx，.y=qcosx.(3)vy=xx2+X+x312=x3+1+X2，-y丄3x2x3.(4)；y=(.x+1)-1X1二一、：x+=2x規(guī)律方法i1+1.對(duì)一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，要

3、緊扣導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，聯(lián)系基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，在不利于直接應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式時(shí)，可適當(dāng)運(yùn)用代數(shù)、三角恒等變換手段，對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡，然后求導(dǎo)這樣可以減少運(yùn)算量，優(yōu)化解題過程.跟蹤演練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):14(1)y=5x53x3+3x+2；4x.x(2)y=sin；+co*.解(i)y=54x3+3x+2/=5X53X3+(3x)+(.2)丄X44+3.2X2XQoXoX；y=sin24+cos2.2Zsincos,1必，11cosx311?sin2=122=4+4cosX，,1.y=4S1nx要點(diǎn)二求導(dǎo)法則的逆向應(yīng)用例2已知fx(是一次函數(shù)，x f(x)的表達(dá)式為f(x)=x2+x+4.要點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的

4、應(yīng)用例3已知函數(shù)f(x)=x3+x,求函數(shù)在點(diǎn)(2,10)處的切線方程.解fx)=(x3+x)(x3)+(x)丄3x2+1. f(2)3x2+1=13.所求切線的斜率是13.fx)(2x1)f(x)=1對(duì)一切xR恒成立，求f(x)的解析式.解由fx)為一次函數(shù)可知，f(x)為二次函數(shù)，設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a工0,則fx(=2ax+b，把f(x)，fx(代入關(guān)于x的方程得x2(2ax+b)(2x1)(ax2+bx+c)=1，即(ab)x2+(b2x+c1=0，又該方程對(duì)一切xR恒成立，所以ab=0，a=2，b2c=0，解得b=2，c1=0，c=1，所以f(x)=2x2+2x+1.規(guī)律方

5、法待定系數(shù)法就是用設(shè)未知數(shù)的方法分析所要解決的問題，然后利用已知條件解出所設(shè)未知數(shù)，進(jìn)而將問題解決.待定系數(shù)法常用來求函數(shù)解析式，特別是已知具有某些特征的函數(shù).跟蹤演練2設(shè)y=f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且fx)=2x+1.求y=f(x)的函數(shù)表達(dá)式.解tfx(二2x+1，f(x)=x2+x+c(c為常數(shù))，又方程f(x)=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，即x2+x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，=12剛14c=0，即c=4，所求切線的方程是13xy16=0.規(guī)律方法導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線的切線的斜率，對(duì)較復(fù)雜函數(shù)的求導(dǎo)，可利用導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則.n跟蹤演練3已知函數(shù)f(x)=sinx+

6、cosx,求曲線y=f(x)在x=4處的切線方程.解/fx(=(sinx+cosx)=(sinx)+(cosx)=cosxsinx,，冗nnf;=cos；sin;=0.444n曲線y=f(x)在x=4處的切線斜率為0.又f4=2二所求切線方程為y=.2.=當(dāng)堂檢測J當(dāng)堂訓(xùn)務(wù).體驗(yàn)成功答案(1,e)解析I(ex)=ex.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,exo),則過該切點(diǎn)的切線斜率為ey0，令=exo0eXo矗二0.即xoexo=exo二xo=1.二切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,e).課筆吏結(jié)1.導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則是計(jì)算導(dǎo)數(shù)的重要工具.2.利用導(dǎo)數(shù)解決曲線的切線問題要分清所給點(diǎn)是否是切點(diǎn).C.=分層訓(xùn)練A.(1,0

7、)B(2,8)C.(1,0)和(-1,4)D.(2,8)和(-1,4)答案C解析Tfx()=3x0+1=4,二xo=1.4. 曲線f(x)=x2+bx+c在點(diǎn)(1,2)處的切線與其平行直線bx+y+c=0間的距離是()答案C解析因?yàn)榍€過點(diǎn)(1,2),所以b+c=1,又f(=2+b,由題意得2+b=b,二b=1,c=2.所以所求的切線方程為y-2=x-1,即x-y+1=0,故兩平行直線x-y+1=0和x-y-2=0的距離為|1+2|3,25. 過點(diǎn)P(-1,2)且與曲線f(x)=3x2-4x+2在點(diǎn)M(1,1)處的切線平行的直線方程是答案2x-y+4=0解析易求fx(=6x-4,f(=2.所求

8、直線的斜率k=2.則直線方程為y2=2(x+1),即2xy+4=0.6.某物體做直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=t2+*t的單位是s,s的單位是m),則它在第4s末的瞬時(shí)速度應(yīng)該為答案137亦m/s3解析/s=2tt,313v=s(4)8品=7亦(m/s).7.已知函數(shù)f(x)=2x+x2x,求f(l)f解fx)=(2x+x2x)(2x)+(x2)x=2xln2+2x1,f(甘2ln2+1,f(4)242+2X41=16ln2+7.二、能力提升8.函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)為(3+夕+13占1c1c13弋+b23+乂1答案D解析:y=5寺x+3丄飛=3&+未13+x1.9. 設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線

9、y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1)處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處切線的斜率為()11A.4B.4C.2D.2答案A解析依題意得fx(=gx(+2x,f(=g(+2=4.10. (2013江西)設(shè)函數(shù)f(x)在(0,內(nèi)可導(dǎo)，且f(ex)=x+ex,則f(=.答案2解析令t=3，則x=lnt，所以函數(shù)為f(t)=lnt+t，即f(x)=lnx+x,所以fx(11=x+1,即f(=1+1=2.11. 已知拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)(1,1),且在點(diǎn)(2,1)處與直線y=x3相切,求a、b、c的值.解因?yàn)閥=ax1由得a=2,b=3,+bx+c過點(diǎn)(1,1),所以a

10、+b+c=1.y=2ax+b,曲線在點(diǎn)(2,1)處的切線的斜率為4a+b=1.又曲線過點(diǎn)(2,1),所以4a+2b+c=1.a+b+c=1,由4a+b=1,4a+2b+c=1,a=3,解得b=11,c=9.所以a、b、c的值分別為3、一11、9.12.M(1,f(1)處的切線方程為x+2y+5=ax6已知函數(shù)f(x)=x+b的圖像在點(diǎn)0.求函數(shù)y=f(x)的解析式.解由M(1,f(1)在x+2y+5=0上得1+2f(1)+5=0,即卩f(1)=2.2,又fx)=ax2+b2xax6x2+b21.由f1)=2得0.函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=2x6x2+3.a1+b+2a6三、探究與創(chuàng)新13

11、.設(shè)函數(shù)f(x)=axb,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程為7x4y12=x(1) 求f(x)的解析式；(2) 證明：曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=o和直線y=x所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值.(1)解由7x-4y-12=o得y=fx3.1當(dāng)x=2時(shí)，y=，1-f(2)=2,又fx)=a+吉-f(=4由12-7-4b=2-b-4+aa=1解之得b=3故f(x)=x-3.入(2)證明設(shè)P(xo,yo)為曲線上任一點(diǎn)，3由y=1+X2知入曲線在點(diǎn)P(xo,yo)處的切線方程為3y-yo=1+xo(x-xo),即y-xo-xo二1+x(x-xo)令x=0得y=xo,

12、從而得切線與直線x=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為0,-xO.令y=x得y=x=2xo,從而得切線與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2xo,2xo).16所以點(diǎn)P(xo,yo)處的切線與直線x=o,y=x所圍成的三角形面積為2-匚|2xo|=6.故曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6.切線方程為y10=13(x2)，即13xy16=0.1 .函數(shù)f(x)=sinx+x的導(dǎo)數(shù)是()A. fx(=cosx+1B.fx)=cosx1C.fx(=cosx+1D.fx)=cosx+x答案A2 .曲線y=x*343x2+1在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為()A.y=3x4B.y=3x+2C.y=4x+3D.y=4x5答案B解析ty=3x26x,曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為一3.切線方程為y=3x+2.3.已知f(=13，則函數(shù)g(x)=f(x)+x在x=1處的導(dǎo)數(shù)為.答案14解析gx(=fx)+1,g(=f(+1=14.4.過原點(diǎn)作曲線y=ex的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為.、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.下列結(jié)論不正確的是()A. 若y=3,則y=oB. 若f(x二3x+1,則f偉31若y=&+x,則y=2Jx+*1D.若y=sinx+c