建模：線性規(guī)劃在工商管理中的應(yīng)用

1、1 線性規(guī)劃的一些應(yīng)用線性規(guī)劃的一些應(yīng)用1 1 人力資源分配的問題2 2 生產(chǎn)計(jì)劃的問題3 3 套裁下料問題4 4 配料問題5 5 投資問題21 1人力資源分配的問題 例1某晝夜服務(wù)的公交線路每天各時(shí)間段內(nèi)所需司機(jī)和乘務(wù)人員數(shù)如下： 設(shè)司機(jī)和乘務(wù)人員分別在各時(shí)間段一開始時(shí)上班，并連續(xù)工作八小時(shí)，問該公交線路怎樣安排司機(jī)和乘務(wù)人員，既能滿足工作需要，又配備最少司機(jī)和乘務(wù)人員?3 解：設(shè) xi 表示第i班次時(shí)開始上班的司機(jī)和乘務(wù)人員數(shù),這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型。 目標(biāo)函數(shù)： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 約束條件：s.t. x1 + x6 60 x1 + x2

2、70 x2 + x3 60 x3 + x4 50 x4 + x5 20 x5 + x6 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 04 例2一家中型的百貨商場，它對售貨員的需求經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析如下表所示。為了保證售貨人員充分休息，售貨人員每周工作5天，休息兩天，并要求休息的兩天是連續(xù)的。問應(yīng)該如何安排售貨人員的作息，既滿足工作需要，又使配備的售貨人員的人數(shù)最少？時(shí)間所需售貨員人數(shù)星期日28星期一15星期二24星期三25星期四19星期五31星期六285 解：設(shè) xi ( i = 1,2,7)表示星期一至日開始休息的人數(shù),這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型。 目標(biāo)函數(shù)： Min x1 + x2 + x3 +

3、x4 + x5 + x6 + x7 約束條件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1 25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2 19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3 31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4 28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 062 2生產(chǎn)計(jì)劃的問題 例3某公司面臨一個(gè)是外包協(xié)作還是自行生產(chǎn)的問題。該公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，都需要經(jīng)過鑄造、機(jī)加工和裝配三個(gè)車

4、間。甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件可以外包協(xié)作，亦可以自行生產(chǎn)，但產(chǎn)品丙必須本廠鑄造才能保證質(zhì)量。數(shù)據(jù)如表。問：公司為了獲得最大利潤，甲、乙、丙三種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件？甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄造中，由本公司鑄造和由外包協(xié)作各應(yīng)多少件？甲乙丙資 源 限 制鑄 造 工 時(shí) (小 時(shí) /件 )51078000機(jī) 加 工 工 時(shí) (小 時(shí) /件 )64812000裝 配 工 時(shí) (小 時(shí) /件 )32210000自 產(chǎn) 鑄 件 成 本 (元 /件 )354外 協(xié) 鑄 件 成 本 (元 /件 )56-機(jī) 加 工 成 本 (元 /件 )213裝 配 成 本 (元 /件 )322產(chǎn) 品 售 價(jià) (元 /件 )2318167

5、解：設(shè) x1,x2,x3 分別為三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三種產(chǎn)品的件數(shù)，x4,x5 分別為由外協(xié)鑄造再由本公司加工和裝配的甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)。 求 xi 的利潤：利潤 = 售價(jià) - 各成本之和 產(chǎn)品甲全部自制的利潤 =23-(3+2+3)=15 產(chǎn)品甲鑄造外協(xié)，其余自制的利潤 =23-(5+2+3)=13 產(chǎn)品乙全部自制的利潤 =18-(5+1+2)=10 產(chǎn)品乙鑄造外協(xié)，其余自制的利潤 =18-(6+1+2)=9 產(chǎn)品丙的利潤 =16-(4+3+2)=7 可得到 xi （i = 1,2,3,4,5） 的利潤分別為 15、10、7、13、9 元。8通過以上分析,可建立如下的數(shù)學(xué)模型

6、:目標(biāo)函數(shù)： Max 15x1 + 10 x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 約束條件： 5x1 + 10 x2 + 7x3 8000 6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 12000 3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 10000 x1,x2,x3,x4,x5 09例4永久機(jī)械廠生產(chǎn)、三種產(chǎn)品，均要經(jīng)過A、B兩 道工序加工。設(shè)有兩種規(guī)格的設(shè)備A1、A2能完成 A 工序；有三種規(guī)格的設(shè)備B1、B2、B3能完成 B 工序?？稍贏、B的任何規(guī)格的設(shè)備上加工； 可在任意規(guī)格的A設(shè)備上加工，但對B工序，只能在B1設(shè)備上加工；只能在A2與B2設(shè)備上加工。數(shù)據(jù)

7、如表。問：為使該廠獲得最大利潤，應(yīng)如何制定產(chǎn)品加工方案？產(chǎn)品單件工時(shí) 設(shè)備 設(shè)備的 有效臺時(shí) 滿負(fù)荷時(shí)的設(shè)備費(fèi)用 A1 5 10 6000 300 A2 7 9 12 10000 321 B1 6 8 4000 250 B2 4 11 7000 783 B3 7 4000 200 原料（元/件） 0.25 0.35 0.50 售價(jià)（元/件） 1.25 2.00 2.80 10解：設(shè) xijk 表示第 i 種產(chǎn)品，在第 j 種工序上的第 k 種設(shè)備上加工的數(shù)量。建立如下的數(shù)學(xué)模型: s.t. 5x111 + 10 x211 6000 （ 設(shè)備 A1 ） 7x112 + 9x212 + 12x31

8、2 10000 （ 設(shè)備 A2 ） 6x121 + 8x221 4000 （ 設(shè)備 B1 ） 4x122 + 11x322 7000 （ 設(shè)備 B2 ） 7x123 4000 （ 設(shè)備 B3 ） x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 （產(chǎn)品在A、B工序加工的數(shù)量相等） x211+ x212- x221 = 0 （產(chǎn)品在A、B工序加工的數(shù)量相等） x312 - x322 = 0 （產(chǎn)品在A、B工序加工的數(shù)量相等） xijk 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,311目標(biāo)函數(shù)為計(jì)算利潤最大化，利潤的計(jì)算公式為： 利潤 = （銷售單價(jià) - 原料

9、單價(jià)）* 產(chǎn)品件數(shù)之和 -（每臺時(shí)的設(shè)備費(fèi)用*設(shè)備實(shí)際使用的總臺時(shí)數(shù)）之和。這樣得到目標(biāo)函數(shù)： Max(1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35)x(2-0.35)x221221+(2.80-0.5)x312 300/6000(5x111+10 x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)- 250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)-200/4000(7x123).經(jīng)整理可得： Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121

10、-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123123 3套裁下料問題 例5某工廠要做100套鋼架，每套用長為2.9 m,2.1 m,1.5 m的圓鋼各一根。已知原料每根長7.4 m，問：應(yīng)如何下料，可使所用原料最??？ 解： 共可設(shè)計(jì)下列5 種下料方案，見下表 設(shè) x1,x2,x3,x4,x5 分別為上面 5 種方案下料的原材料根數(shù)。這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型。 目標(biāo)函數(shù)： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 約束條件： s.t. x1 + 2x2 + x4 100 2x3 + 2x4 + x5 100 3x1 + x2 + 2x3 + 3x5

11、100 x1,x2,x3,x4,x5 013 用“管理運(yùn)籌學(xué)”軟件計(jì)算得出最優(yōu)下料方案：按方案1下料30根；按方案2下料10根；按方案4下料50根。 即 x1=30; x2=10； x3=0； x4=50； x5=0； 只需90根原材料就可制造出100套鋼架。 注意：在建立此類型數(shù)學(xué)模型時(shí)，約束條件用大于等于號比用等于號要好。因?yàn)橛袝r(shí)在套用一些下料方案時(shí)可能會(huì)多出一根某種規(guī)格的圓鋼，但它可能是最優(yōu)方案。如果用等于號，這一方案就不是可行解了。144 4配料問題 例6某工廠要用三種原料1、2、3混合調(diào)配出三種不同規(guī)格的產(chǎn)品甲、乙、丙，數(shù)據(jù)如右表。問：該廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)，使利潤收入為最大？產(chǎn)品名稱規(guī)

12、格要求單價(jià)（元/kg）甲原材料1不少于50%，原材料2不超過25%50乙原材料1不少于25%，原材料2不超過50%35丙不限25原材料名稱每天最多供應(yīng)量單價(jià)（元/kg）11006521002536035 解：設(shè) xij 表示第 i 種（甲、乙、丙）產(chǎn)品中原料 j 的含量。這樣我們建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，要考慮： 對于甲： x11，x12，x13； 對于乙： x21，x22，x23； 對于丙： x31，x32，x33； 對于原料1： x11，x21，x31； 對于原料2： x12，x22，x32； 對于原料3： x13，x23，x33； 目標(biāo)函數(shù)： 利潤最大，利潤 = 收入 - 原料支出 約束條件： 規(guī)

13、格要求 4 個(gè)； 供應(yīng)量限制 3 個(gè)。15 利潤=總收入-總成本=甲乙丙三種產(chǎn)品的銷售單價(jià)*產(chǎn)品數(shù)量-甲乙丙使用的原料單價(jià)*原料數(shù)量，故有目標(biāo)函數(shù)Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33）= -15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33 約束條件： 從第1個(gè)表中有： x110.5(x11+x12+x13) x120.25(x11+x12+x13) x210.25(x21+x22+x23) x2

14、20.5(x21+x22+x23)16 從第2個(gè)表中，生產(chǎn)甲乙丙的原材料不能超過原材料的供應(yīng)限額，故有 (x11+x21+x31)100 (x12+x22+x32)100 (x13+x23+x33)60 通過整理，得到以下模型：17例6（續(xù)）目標(biāo)函數(shù)：Max z = -15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33 約束條件： s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 0 （原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 0 （原材料2不超過25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 0

15、（原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 0 （原材料2不超過50%） x11+ x21 + x31 100 (供應(yīng)量限制） x12+ x22 + x32 100 (供應(yīng)量限制） x13+ x23 + x33 60 (供應(yīng)量限制） xij 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3185 5投資問題 例7某部門現(xiàn)有資金200萬元，今后五年內(nèi)考慮給以下的項(xiàng)目投資。已知：項(xiàng)目A：從第一年到第五年每年年初都可投資，當(dāng)年末能收回本利110%；項(xiàng)目B：從第一年到第四年每年年初都可投資，次年末能收回本利125%，但規(guī)定每年最大投資額不能超過30萬元；項(xiàng)目C：需在第

16、三年年初投資，第五年末能收回本利140%，但規(guī)定最大投資額不能超過80萬元；項(xiàng)目D：需在第二年年初投資，第五年末能收回本利155%，但規(guī)定最大投資額不能超過100萬元。 據(jù)測定每萬元每次投資的風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)如右表：問：a）應(yīng)如何確定這些項(xiàng)目的每年投資額，使得第五年年末擁有資金的本利金額為最大？b）應(yīng)如何確定這些項(xiàng)目的每年投資額，使得第五年年末擁有資金的本利在330萬元的基礎(chǔ)上使得其投資總的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)為最??？項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)（次/萬元）A1B3C4D5.5 解： 1 1）確定決策變量：連續(xù)投資問題 設(shè) xij ( i = 15，j = 14)表示第 i 年初投資于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D

17、(j=4)項(xiàng)目的金額。這樣我們建立如下的決策變量： A x11 x21 x31 x41 x51 B x12 x22 x32 x42 C x33 D x24192 2）約束條件：第一年：A當(dāng)年末可收回投資，故第一年年初應(yīng)把全部資金投出去，于是 x11+ x12 = 200；第二年：B次年末才可收回投資，故第二年年初有資金1.1 x11，于是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11；第三年：年初有資金 1.1x21+ 1.25x12，于是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；第四年：年初有資金 1.1x31+ 1.25x22，于是 x41 + x42 = 1.

18、1x31+ 1.25x22；第五年：年初有資金 1.1x41+ 1.25x32，于是 x51 = 1.1x41+ 1.25x32； B、C、D的投資限制： xi2 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 3 3）目標(biāo)函數(shù)及模型：a) a) Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； x51 = 1.1x41+ 1.2

19、5x32； xi2 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 xij 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4） 20b)b)所設(shè)變量與問題a相同，目標(biāo)函數(shù)為風(fēng)險(xiǎn)最小，有 Min f =x11+x21+x31+x41+x51+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 在問題a的約束條件中加上“第五年末擁有資金本利在330萬元”的條件，于是模型如下：Min f = (x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； x51 = 1.1x41+ 1.25x32； xi2 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 1.1x51 + 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x24 330 xij 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）21通過以上分析,可建立如下的數(shù)學(xué)模型:目標(biāo)函數(shù)： Max 15x1 + 10 x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 約束條件： 5x1 + 10 x2 + 7x3 80