函數(shù)極限性質(zhì)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1函數(shù)極限性質(zhì)函數(shù)極限性質(zhì)0f ( x )Axx近近似似式式并并不不要要求求在在也也成成立立，這這一一點(diǎn)點(diǎn)十十注注意意：分分重重要要。000Af ( x )Af ( x )f ( x ).由由此此看看來來極極限限與與毫毫無無關(guān)關(guān)系系，的的存存在在與與否否及及大大小小與與的的大大小小甚甚至至有有無無定定義義都都無無關(guān)關(guān)系系00f ( x )xx.我我們們稱稱函函數(shù)數(shù)在在某某點(diǎn)點(diǎn)的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)（或或除除去去 ）的的性性質(zhì)質(zhì)為為函函的的局局部部性性質(zhì)質(zhì)數(shù)數(shù)第1頁/共25頁1. .函函數(shù)數(shù)極極限限的的性性質(zhì)質(zhì)1性性質(zhì)質(zhì) ()()假假設(shè)設(shè)在在同同函函數(shù)數(shù)極極限限的的一一極極限限唯唯一一性性過過程

2、程中中有有00lim( ),lim( ),xxxxf xAf xBAB和和則則。第2頁/共25頁000002lim( )( )0()xxf xf xxMxO xx 性性質(zhì)質(zhì) ()()設(shè)設(shè)存存在在，則則在在 點(diǎn)點(diǎn)的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域中中有有界界；即即存存在在常常數(shù)數(shù)，使使得得在在的的某某去去心心鄰鄰域域局局部部有有界界性性中中，有有00|( )|, ().f xMxO xx 00002.3f ( x )xxMxO ( x ) x 稱稱函函數(shù)數(shù)在在下下有有界界，即即存存在在定定，使使得得當(dāng)當(dāng)義義時(shí)時(shí)，有有| f ( x )|M. 第3頁/共25頁003lim( )lim( )xxxxf xAg x

3、B局局部部保保號(hào)號(hào)性性性性質(zhì)質(zhì) ()()假假設(shè)設(shè)，0(1)()ABBxx如如，則則對(duì)對(duì)的的某某一一去去心心鄰鄰域域中中的的所所有有 ，有有( )( )( )f xg xg x。0(2)( )( ),.xxf xg xAB若若在在極極限限過過程程下下，則則注注：該該性性質(zhì)質(zhì)與與數(shù)數(shù)列列極極限限中中保保號(hào)號(hào)性性質(zhì)質(zhì)類類似似。第4頁/共25頁2 函函數(shù)數(shù)極極限限四四則則運(yùn)運(yùn)算算性性質(zhì)質(zhì)00lim( ), lim( ),xxxxf xAg xB如如果果那那么么000(1) lim ( )( )lim( )lim( );xxxxxxf xg xf xg xAB000(2) lim( )( )lim( )

4、 lim( );xxxxxxf xg xf xg xA B000lim( )( )(3)0, lim.( )lim( )xxxxxxf xf xABg xg xB當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)00,xxxx 注注：上上述述性性質(zhì)質(zhì)只只表表述述了了的的情情形形，事事實(shí)實(shí)上上對(duì)對(duì)于于0,xxxxx 的的情情形形，性性質(zhì)質(zhì)也也是是成成立立的的。第5頁/共25頁42211 lim57.xxxx 例例求求1110( ),nnnnP xa xaxa xa 對(duì)對(duì)于于多多項(xiàng)項(xiàng)式式函函數(shù)數(shù)根根據(jù)據(jù)極極010101000lim( )();nnnnxxP xa xaxa xaP x 限限的的運(yùn)運(yùn)算算法法則則有有0( )( ),( )li

5、m( )( )xxP xP x Q xP xQ x對(duì)對(duì)于于分分式式函函數(shù)數(shù)（其其中中為為多多項(xiàng)項(xiàng)式式），有有0000(), lim( )(),()0 xxP xQ xQ xQ x 從從而而當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，利利用用商商的的極極限限運(yùn)運(yùn)算算法法則則有有000()( )lim.( )()xxP xP xQ xQ x 0()0Q x 若若，則則關(guān)關(guān)于于商商的的極極限限的的運(yùn)運(yùn)算算法法但但則則不不能能應(yīng)應(yīng)用用。第6頁/共25頁0lim( ),( )(), l2im( ),xxuAg xAg xAAf uB （）若若且且復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)的的極極限限運(yùn)運(yùn)算算這這里里 可可以以是是無無窮窮則則大大定定法法理理 ：則

6、則0lim ( )lim( ).xxuAf g xf uB00 xXxXlim f ( x )lim | f ( x )|.例例：證證明明第7頁/共25頁注注：下下列列結(jié)結(jié)論論也也成成立立000lim ( ),lim( )lim ( )lim( ).xuuxuug xuf uAf g xf uA00lim( ),lim( )lim ( )lim( ).xxuxxug xf uAf g xf uA lim ( ),lim( )lim ( )lim( ).xuxug xf uAf g xf uA 第8頁/共25頁0lim( )1xxf xc如如果果存存在在，而而 為為推推論論常常數(shù)數(shù)，則則即即求求

7、極極限限時(shí)時(shí)，常常數(shù)數(shù)因因子子可可以以提提到到極極限限符符號(hào)號(hào)的的外外面面。00lim( )lim( ),xxxxc f xcf x 0lim(2)xxf xn如如果果存存在在，而而 為為推推論論正正整整數(shù)數(shù)，則則00lim ( )lim( ) .nnxxxxf xf x 第9頁/共25頁1 lim2.xxe求求例例121002xxxxlim;lime. 判判別別下下列列極極限限是是否否存存在在，如如果果存存在在求求出出其其值值（1 1）（2 2）例例3 323 lim5) .1(xx 例例求求注注：第10頁/共25頁0(3)f xx設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在定定理理點(diǎn)點(diǎn)的的某某：（鄰鄰域域海海涅涅定定

8、理理）有有定定義義，00lim( )(),nnxxf xAxxx則則的的充充分分必必要要條條數(shù)數(shù)列列任任意意件件是是對(duì)對(duì)0(),nxx n 當(dāng)當(dāng)有有l(wèi)im().nnf xA 注注：該該定定理理的的可可以以證證明明某某些些函函數(shù)數(shù)的的極極限限逆逆否否命命題題不不存存在在。方方法法是是只只要要找找到到兩兩個(gè)個(gè)具具有有不不同同極極限限的的數(shù)數(shù)列列即即可可。000nnnnnxx x ( xx ),xx (n),lim f ( x )Alim f ( x ). 反反之之，若若數(shù)數(shù)列列當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)則則在在不不存存在在存存第11頁/共25頁01 limsin.4xx例例證證明明不不存存在在第12頁/共25頁3.

9、 .函函數(shù)數(shù)極極限限的的判判別別定定理理( ), ( )4f xg x（）兩兩邊邊夾夾定定理理或或定定如如果果函函夾夾逼逼數(shù)數(shù)定定理理理理 ：及及( )h x 滿滿足足下下列列條條件件：(1) ( )( )( );g xf xh x(2)lim ( )lim ( );g xAh xlim( )lim( ).f xf xA 那那么么存存在在，且且01xxx 注注 ：上上述述自自變變量量的的變變化化過過程程可可以以是是，也也可可以以是是。002xxx注注 ：如如果果上上述述極極限限過過程程是是，則則要要求求函函數(shù)數(shù)在在的的某某個(gè)個(gè)x 去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義；若若上上述述極極限限過過程程是

10、是，則則要要求求函函|xM 數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)有有定定義義。第13頁/共25頁0sinlim1xxx (1)(1)重重要要極極限限OACDBxxAB sin xCB tan xAD 由由右右圖圖可可知知：,AOBAODAOBSSS扇扇形形111sintan ,222xxxsintan ,xxxsin,x不不等等號(hào)號(hào)各各邊邊都都除除以以得得sincos1.xxx或或11,sincosxxx00sinlimcoscos01lim1.xxxxx由由于于，則則由由兩兩邊邊夾夾定定理理知知：第14頁/共25頁.sin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx第15頁/共25頁第16頁/共25頁第17頁/共25頁第18頁/共