初三自主招生教學案19：圓的進階

1、第二講：圓的進階2、切線長定理:知識梳理:1)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的2)同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等3)半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90。的圓周角所對的弦是直徑4)如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形1、圓周角定理:從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角3、弦切角定理：1）弦切角等于它所夾的弧對的圓周角2）如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等4、相交弦定理：1）圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等2）如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它

2、分直徑所成的兩條線段的比例中項5、切割線定理：1）從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項2）從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等例題精講：例1：如圖，在平彳T四邊形ABCD中，AB43,AD溫,BDAD,以BD為直徑的。交AB于E,交CD于FF,則平行四邊形ABCD被OO截得的陰影部分的面積為.例2：如圖，ABC內(nèi)接于。O,AB的延長線與過C點的切線GC相交于點D,BE與AC相交于點F,且CBCE,求證：（1）BE/DG;（2）BC2CF2BF?FE.例3：已知：如圖（1）,O。1與。2相交于A、B兩點，經(jīng)過A點的直線分

3、別交。1、。2于C、D兩點（C、D不與B重合），連結(jié)BD,過點C作BD的平行線交。Oi于點E,連BE.（1）求證：BE是。O2的切線；（2）如圖（2）,若兩圓圓心在公共弦AB的同側(cè)，其他條件不變，判斷BE和。O2的位置關系（不要求證明）.同步練習(稍難)：練習1：如圖，OO表示一個圓形工件，圖中標注了有關尺寸，且MB:MA1:4,求工件半徑的長.練習2：如圖，已知CP為。O的直徑，AC切。O于點C,AB切。O于點D,并與CP的延長線相交于點B,又BD2BP.求證：(1)CP3PB；(2)ACPC.練習3：如圖，已知O是線段AB上一點，以OB為半徑的。O交線段AB于點C,以線段OA為直徑的半圓交

4、。O于點D,過點B作AB垂線與AD的延長線交于點E,連結(jié)CD.若AC2,且AC、AD的長是關于x的方程x2kx4V50的兩個根.(1)證明AE切。O于點D；(2)求線段EB的長；(3)求tanADC的值.參考答案例1:答案：15.33%2解析：連結(jié)OE、DE.ADBD，且AB473,AD2底,DBA30,且BD6.3 BD為直徑，DEB90.DEBD?sin303,DE3M.SDEB9V3.24 O為BD的中點，9SBOE4_1_八5 DO-BD3,DOE60,21115c6 &w2（SADBS扇形SEOB）J33.2例2:答案：證明略解析：（1）BD是。O的切線，BPC是。O的割線，

5、BD2BP?BC.BD2BP,4BD2BP?BC.7 4BPBC.BCBPPC,4BPBPBC.PC3BP.連結(jié)DO.8 AB切。于點D,AC切。于點C,ODBACB90.BB,.ODBsACB.DOBD2BP1.ACBC4BP2AC2DO.PC2DO.ACPC.例3:答案：仍是切線解析：（1）連結(jié)AB,作。2的直徑BH,連結(jié)AH.則ABHH90,HADB,EBAECA.EC/BD,ADBACEEBA.EBAABH90.即EBH90.BE是。O2的切線.（2）同理可知，BE仍是。2的切線.同步練習：練習1：答案：10cm解析：把OM向兩方延長，分別交。O于C、D兩點.設。O的半徑為R.從圖中知

6、，AB15cm.又MB:MA1:4,1_MB155從圖中知，CM由相交弦定理，得123（R3(cm),MAR8,MDAM?BM8)(R8).12cm.R8,CM?MD.解此方程，得R10.故工件的半徑長為10cm.練習2:答案：9解析：由切割線定理，得PA2PD?PE.PA10.PBPC10.PEPDDE25,DB6.由相交弦定理，得AB?BCBE?BD.AB9.5練習3：答案：1)證略2)BE4753)tanADC5解析：（1）連結(jié)?？?OA是半圓的直彳仝，ADO90.AE切。于點D.AC、AD的長是關于x的方程x2kx4V50的兩個根，且AC2,AC?AD2J5,AD4<5.AD是。的切線，ACB為割線，AD2AC?AB,又AD2v5,AC2,.AB10.則BC8,OB4.BEAB,BE切。O于B.又AE切。于點D,BEDE.在RtABE中，設BEx,由勾股定理，得(x2<5)2x2102.解此方程，得x4底.即BE的長為4<5