一元多項式習(xí)習(xí)題及解答

1、習(xí) 題 一A 組 1. 判別是否為數(shù)域解 是2. 設(shè)，求，解，3設(shè)，求的展開式中各項系數(shù)的和解 由于的各項系數(shù)的和等于，所以4. 求除以的商與余式(1) ；(2) 解 (1) 用多項式除法得到 所以， (2) 用多項式除法得到所以，5設(shè)是兩個不相等的常數(shù)，證明多項式除以所得余式為證明 依題意可設(shè)，則解得故所得余式為6. 問適合什么條件時，能被整除(1) ，；(2) ，解 (1) 由整除的定義知，要求余式所以先做多項式除法，要求， 所以即時，可以整除(2) 方法同上先做多項式除法，所得余式為，所以，即或時，可以整除7. 求與的最大公因式:(1) ；(2) ；(3) 解 (1) 用輾轉(zhuǎn)相除法得到用

2、等式寫出來，就是，所以(2) 同樣地，所以.(3) 同樣用輾轉(zhuǎn)相除法，可得 8. 求使：(1) ：(2) ：(3) 解 (1) 利用輾轉(zhuǎn)相除法，可以得到，因而，并且所以(2) 利用輾轉(zhuǎn)相除法，可以得到，因而，并且所以(3) 利用輾轉(zhuǎn)相除法，可以得到，因而，并且所以9. 設(shè)的最大公因式是一個二次多項式，求的值解 利用輾轉(zhuǎn)相除法，可以得到 ， 由題意，與的最大公因式是一個二次多項式，所以解得10. 設(shè)，求和解 用去除，得余式，由題意要求知，即解得11. 證明：如果，那么證明 由條件可知，存在和使得，存在和使得用乘以第一式得，代入第二式得，即，所以12. 證明：如果與不全為零，且，那么證明 由于，與

3、不全為零，所以兩邊同時除以，有，所以13. 證明：如果，且為與的一個組合，那么是與的一個最大公因式證明 由題意知是與的公因式再由條件設(shè) 又設(shè)為與的任一公因式，即，則由上式有 故而是與的一個最大公因式14. 證明：，其中的首項系數(shù)為1證明 顯然是與的一個公因式下面來證明它是最大公因式設(shè)滿足，則由上題結(jié)果知，是與的一個最大公因式，又首項系數(shù)為1，所以15. 設(shè)多項式與不全為零，證明證明 設(shè)，則存在多項式，使因為與不全為零，所以上式兩邊同時除以，有 ，故成立16分別在復(fù)數(shù)域、實數(shù)域和有理數(shù)域上分解為不可約因式之積解 在實數(shù)域上的分解式為在復(fù)數(shù)域上的分解式為在有理數(shù)域上是不可約多項式否則，若可約，有以

4、下兩種可能（1）有一次因式，從而它有有理根，但，所以無有理根（2）無一次因式，設(shè)，其中為整數(shù)于是，又分兩種情況：，又 ，從而由 ，得，矛盾；，則，矛盾綜合以上情況，即證17. 求下列多項式的有理根：(1) ；(2) ；(3) 解 (1)由于是首項系數(shù)為1的整系數(shù)多項式，所以有理根必為整數(shù)根，且為的因數(shù)的因數(shù)有：，計算得到：故是的有理根再由多項式除法可知，是的單根(2) 類似（1）的討論可知，的可能的有理根為：，計算得到，故是的有理根再由多項式除法可知，是的2重根(3) 類似地，的可能的有理根為：，計算得到故，是的有理根再由多項式除法可知，是的4重根，是的單根18若實系數(shù)方程有一根（為實數(shù)，），

5、則方程有實根證明 設(shè)原方程有三個根不失一般性，令，從而有 ，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，所以，即，故這說明有實根19. 證明：如果，那么證明 因為，所以 因此，令，則有，即20. 下列多項式在有理數(shù)域上是否可約(1) ；(2) ；(3) ；(4) ，p為奇素數(shù)；(5) ，k為整數(shù)解 （1）的可能的有理根為：，而，所以它在有理數(shù)域上不可約（2）由Eisenstein判別法，取素數(shù)，則不能整除1，而 ，但是不能整除2，所以該多項式在有理數(shù)域上不可約（3）令，代入有取素數(shù)，由Eisenstein判別法知，在有理數(shù)域上不可約，所以在有理數(shù)域上不可約(4) 令，代入，得，取素數(shù)，由Eisenstein判別法知

6、，在有理數(shù)域上不可約，所以在有理數(shù)域上不可約(5) 令，代入，得，取素數(shù)，由Eisenstein判別法知，在有理數(shù)域上不可約，所以在有理數(shù)域上不可約B 組 1設(shè)，是實數(shù)域上的多項式，(1) 若，則(2) 在復(fù)數(shù)域上，上述命題是否成立證明 (1）當(dāng)時，有，所以，命題成立如果，不全為零，不妨設(shè)當(dāng)時，為奇數(shù)；當(dāng)時，因為，都是實系數(shù)多項式，所以與都是首項系數(shù)為正實數(shù)的奇次多項式，于是也有為奇數(shù)而這時均有，且為偶數(shù)，矛盾因此有，從而有(2) 在復(fù)數(shù)域上，上述命題不成立例如，設(shè)，其中為自然數(shù)，有，但，2. 設(shè)，滿足,證明. 證明 兩式相加得到.由可知.兩式相減得到.故，即.3設(shè)，證明(1) 若，則；(2)

7、 若，是否有解 (1) 因為，故存在多項式，使得于是由于，故有，即(2) 否例如取，雖然且，但不能整除4當(dāng)為何值時，和的最大公因式是一次的并求出此時的最大公因式 解 顯然當(dāng)時，則當(dāng)時，則這時5證明：對于任意正整數(shù)，都有 證明 由題意可知與不全為零令，則，從而，所以對任意正整數(shù)，有，于是有，即 又由，有，因此是與的首項系數(shù)為1的最大公因式，從而有6. 設(shè)且，證明證明 設(shè)，則由于 ，故又設(shè)，由上式及，可得， ，從而 ，于是 ，即也是和的最大公因式，即7設(shè)，且與不全為零，證明是與的一個最大公因式的充分必要條件是證明 必要性若是與的一個最大公因式，則存在多項式使， 于是由與不全為零知，因此有，即充分性

8、若，則存在多項式，使兩邊同時乘有由是與的一個公因式知，是與的一個最大公因式8設(shè)和是兩個多項式，證明當(dāng)且僅當(dāng)證明 必要性設(shè)，若與不互素，則有不可約公因式，使，所以或不妨設(shè)，由可知，因此是和的公因式，與互素矛盾，故與互素充分性設(shè)，則存在使，上式說明9. 如果，那么，證明 的兩個根為和，所以，因為，所以，故有即解得，從而，10. 若，則的根只能是零或單位根證明 因為，故存在多項式，使設(shè)為的任一根，即，則也就是說，當(dāng)為的一根時，也為的一根依此類推，可知也是的根由于的根的個數(shù)有限，故必定存在正整數(shù)(不妨設(shè))，使得，于是有即，或者，即為單位根11. 設(shè)是一個整系數(shù)多項式，且都是奇數(shù)，則沒有整數(shù)根證明 設(shè)，假設(shè)有整數(shù)根，則整除，即，其中商式也是一個整系數(shù)多項式事實上，設(shè)，代入上式并比較兩端同次冪系數(shù)，得，因為是一個整系數(shù)多項式，所以，也是整數(shù)，令分別代入展開式，得由于都是奇數(shù)，則及都必須是奇數(shù)，這是不可能的，所以，不能有整數(shù)根12證明對于任意非負(fù)整數(shù)，都有 證明 設(shè)