分數(shù)階傅立葉變換ppt課件

1、 分數(shù)階傅立葉變換 Fractional Fourier Fransform) 簡介n19291980 早期未被人們注重的研討。n1980年，V.Namias 從特征值和特征函數(shù)的角度提出了分數(shù)階傅立葉變換的概念。定義為傳統(tǒng)傅立葉變換的分數(shù)冪方式。n1994年， L.B.Ameida將分數(shù)階傅立葉變換解釋為時頻面上的坐標軸旋轉(zhuǎn)。主要研討方向和成果nFRFT的根本性質(zhì)nFRFT與其他時頻分析工具的關(guān)系nFRFT的光學實現(xiàn)技術(shù)和運用nFRFT的數(shù)值計算與快速算法nFRFT在信號處置中的運用n高維分數(shù)階傅立葉變換的研討FRFT的普通研討思緒：1.將傅立葉變換的運用直接推行到FRFT。 傳統(tǒng)的傅立葉變

2、換是將信號在一組正交完備的正弦基上展開，所以正弦信號的傅立葉變換是一個函數(shù)。 分數(shù)階傅立葉變換是將信號在一組正交的chirp信號上展開，那么一個chirp信號的某一階次的FRFT也是一個函數(shù)。FRFT的普通研討思緒：n單分量、多分量Chirp信號的檢測和參數(shù)估計。n雷達信號的目的檢測和識別。nSAR和ISAR成像。n運動目的檢測和識別。n寬帶干擾抑制。FRFT的普通研討思緒：2.將將FRFT視為時頻面上的旋轉(zhuǎn)算子視為時頻面上的旋轉(zhuǎn)算子 信號信號FRFT的時頻分布是信號時頻分布的一的時頻分布是信號時頻分布的一個旋轉(zhuǎn)。個旋轉(zhuǎn)。 可用于信號間的分別，噪聲抑制。這是分數(shù)可用于信號間的分別，噪聲抑制。這

3、是分數(shù)階傅立葉域濾波或掃頻濾波的根本原理。進一階傅立葉域濾波或掃頻濾波的根本原理。進一步提出分數(shù)階傅立葉變換域的最正確濾波的概步提出分數(shù)階傅立葉變換域的最正確濾波的概念。念。 可以運用于多路復用技術(shù)?？梢赃\用于多路復用技術(shù)。 FRFT的普通研討思緒：3.研討研討FRFT與其他時頻分析方法的關(guān)系與其他時頻分析方法的關(guān)系 研討與研討與Wigner_Ville分布、小波變換、分布、小波變換、短時傅立葉變換和短時傅立葉變換和Radon_Wigner變換的關(guān)變換的關(guān)系。利用已有的研討成果研討分數(shù)階傅立葉變系。利用已有的研討成果研討分數(shù)階傅立葉變換的運用。換的運用。 FRFT的普通研討思緒：例如：分數(shù)階傅

4、立葉變換和Radon_Wigner變換的關(guān)系。 信號分數(shù)階傅立葉變換的模平方是信號在該方向的Radon_Wigner變換。 利用這個結(jié)果可以研討基于分數(shù)階傅立葉變換的噪聲背景下的線性調(diào)頻信號檢測方法。分數(shù)階傅立葉變換的定義：221( )( )( , ) ( )1cotexp(cot)22sin( , )()2()(21)ppps tpF s uKt u s t dtjtutujjnKt utuntun定義 ：信號的 階分數(shù)階傅立葉變換是一個線性積分運算其中：22( )1cot( )exp(cot)22sin( )2()(21)2pF s ujtutus tjjdtns uns unp其中：討論

5、：n變換核的性質(zhì)：221221*1.limlim2.( , )( , )3.( , )( , )4.(, )( ,)5.( , )( , )( , )6.( , )( ,)()pnpnpnpnpppppppqp qpqpKKKKKt uKu tKt uKt uKt uKtuKt z Kz u dzKt uKt u Kt u dtuu變換核是 的連續(xù)函數(shù)。有討論：n變換的性質(zhì)：041541.2.( )( )( )3.( )( )( )(4.( )( )5.( )( )pqp qnppF s tF s ts tF s tF s tsF Fs tFs tFs tFs t分數(shù)階傅立葉變換是線性變換。傅

6、立葉變換）（）（） (可加性）（）（） 性質(zhì)4的證明：( , )( , )( , )( ( )( , ) ( )( , )( , ) ( )( , )( , ) ( )( , )( ( )( ( )pqp qp qp qpqqppqpqKt z Kz u dzKt uFs tKt u s t dtKt z Kz u dz s t dtKz uKt z s t dt dzKz u Fs t dzF Fs t 利用FRFT的其他定義：n特征函數(shù)和特征值V.Namias,1980)222/2/2/2/2( )( )( )( )( ),( )( )1jkkkkktkkkkkttkkFttettHt e

7、HtkHermitedHteedt將傅立葉變換當作信號空間上的算子，對應的特征方程為：是 階多項式。（）2/2/2( )( )( )( )( )ktkkkppjpkkkktHt epFttet 分數(shù)階傅立葉變換的定義2：令為普通傅立葉變換的特征值對應的特征函數(shù)，且構(gòu)成有限能量信號空間的標準基，定義 階分數(shù)階傅立葉變換為算子：計算：0/20/20( ),( )( )( )( ),( )( )( )( )( )( )( ) ( )kkkkkkkpjpkkkkjpkkkks tts tctcs tts tt dtF s tectett s t dt對信號由是標準正交基，有/20( )( , ) (

8、)( , )( )( )ppjpkpkkkF s uKt u s t dtKt uetu比較原定義：我們得到：分數(shù)階傅立葉變換核的頻譜展開（奇異值分解）2/2022/20_( )( )( )1cotexp(cot)22sin( )( )/2kjutjkkkkjpkkkkHermiteGaussueetujtutujjetup函數(shù)剛好具有性質(zhì)：其中：n分數(shù)階傅立葉變換定義3：tuv分數(shù)階傅立葉變換的性質(zhì)：n線性性：( )( )ppnnnnnnFc s tc Fs tn逆：1()ppFF分數(shù)階傅立葉變換的性質(zhì)：n可交換性：1221ppppF FFFn可結(jié)合性：331212()()ppppppF F

9、FFFF分數(shù)階傅立葉變換的性質(zhì)：n特征值與特征函數(shù)：/2pjpkkkFenParseval準那么：,ppf gF f F g分數(shù)階傅立葉變換的性質(zhì)：n與Wigner分布的關(guān)系：()( , )( )( cossin, sincos)pW F s u vW s uvuv分數(shù)階傅立葉變換的運算性質(zhì)(1). ()( ) ( )()ppFstuFs tu反轉(zhuǎn)性2221coscot(1)cos22(2).( /)( )1cotsine ( )()1cotsinarctan(tan),pj upFMs t MujMuFs tjMM 尺度特性其中：與 在同一象限。分數(shù)階傅立葉變換的運算性質(zhì)：2000sinco

10、s2sin0(3). ()( )e ( )(cos)pj tjutpFs ttuFs tut時移特性202sincos2sin(4).( )( )e ( )(sin)pjtvj vjuvpFes tuFs tuv頻移特性分數(shù)階傅立葉變換的運算性質(zhì)：1(5).( )( ) cossin( 2 ) ( )( )pnnpFt s tudujFs tudt微分特性（頻域）11(6).( 2 )( )( ) sincos( 2 ) ( )( )pnnpdFjs tudtdujFs tudt微分特性(時域）例：1 ( )( )cos ( )( )sin( 2 ) ( )( )pppFts tuduFs t

11、ujFs tudt（）2222221cot( )( )exp( 2cot2)22sin1cot2cot( )exp( 2cot2)22sin11cot2( )exp( 2cot2)sin22sinpudjtutuF s us tjjdtdujtutujus tjjdtjtutujts tjjdt證明：（例： ( )( )cos ( )( )2sin ( )( )pppFs tuduFs tujFs tudt（）（）（）2222221cot( )( )exp( 2cot2)22sin1cot2 cot( )exp( 2cot2)22sin11cot2( )exp( 2cot2)sin22sinp

12、jtutuF s us tjjdtjtutujts tjjdtjtutujus tjjdt 證明：（分數(shù)階傅立葉變換的運算性質(zhì)：22tantan(7).( )( )sec ( )( )tpauj upj unaFs t dtueFs tu edu積分特性常見信號的分數(shù)階傅立葉變換22000cot)2 ()( )1cote2,putjut cseFttujkkZ其中：。常見信號的分數(shù)階傅立葉變換2tan21( )1tane,2pujFujkkZ其中：。常見信號的分數(shù)階傅立葉變換02200tansec2( )1tane,2jtpujuFeujkkZ其中：。常見信號的分數(shù)階傅立葉變換22/2tan2

13、 1tan( )1tane1tanarctan,2pjctucjcFeujcckkZ其中：。常見信號的分數(shù)階傅立葉變換22/22( )euptFeu2222222/2(1)cotsec22( )1coteecotpctucucjccotccotFeujcj常見信號的分數(shù)階傅立葉變換22/22( )( )( )e( )uptjnnnnFHt eueHtHtHermite其中：是多項式。分數(shù)階傅立葉變換的不確定性原理：122211() ( )() /1412ppppppppppuuFs tudus 定義：則：若角頻率用度表示若角頻率用弧度表示例：方波的分數(shù)階傅立葉變換1| | 2( )0ts t其

14、他分數(shù)階卷積：(* )()*fgf gfgfg傅立葉變換的卷積定理：對應的有n傅立葉變換卷積定理成立的緣由：()j t vjtjveee221cot( , )exp(cot)22sinpjtutuKt ujj分數(shù)階傅立葉變換的核函數(shù)不具有可分離性。22cotcotsin22( )1cot( )2ptuutjjjF s ujes t eedt(1.線性調(diào)頻信號相乘2.變尺度傅立葉變換3.線性調(diào)頻信號相乘分數(shù)階卷積的定義：22cot1,1cot2sin( )( )2pjC ujC tjB tuCBAjF s uAes t eedt定義：(分數(shù)階卷積的定義：222(* ) ( ) ( )* ( )2

15、pjC ujC tjC tfgtAef t eg t e分數(shù)階卷積定義為：定理：2(* ) ( )( ( )( ( )jC uppppFfgteFf tFg t思索題：n兩個函數(shù)的乘積的分數(shù)階傅立葉變換有什么特點？n兩個函數(shù)相關(guān)的分數(shù)階傅立葉變換應該如何定義？有什么特點？離散分數(shù)階傅立葉變換的計算nFRFT的離散化問題.1.()2.3.4.pHppqp qH M OzaktasDFRFTFFF FFDFTFRFT提出：應該具有酉性旋轉(zhuǎn)相加性一階運算應退化為。與連續(xù)的近似性。5階數(shù)取值的連續(xù)性。離散分數(shù)階傅立葉變換的計算n目前DFRFT的四種離散化算法301.( )2.3.4.piijFFTFa p WFRFT利用計離散FRFT的變換核 根據(jù)的定義，將其分解為信號的卷積，再利用FFT計算。利用矩陣的特征值和特征向量計算。直接離散化計算。離散分數(shù)階傅立葉變換的計算304401122301.( ),.( )piijppiijFFTFa p WFWIWFWFWFFa p W利用計離散FRFT的變換核的思想： 因為：將理解為一個時頻面上的旋轉(zhuǎn)算子，我們可以展開：202122231( )1cos()221( )1sin()221( )1cos()221( )1sin()22jpjpjpjpDFTWapepa pepapepapep 通過對矩陣的特征值分解，我們可以得到：