分?jǐn)?shù)階傅立葉變換ppt課件

1、 分?jǐn)?shù)階傅立葉變換 Fractional Fourier Fransform) 簡介n19291980 早期未被人們注重的研討。n1980年，V.Namias 從特征值和特征函數(shù)的角度提出了分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的概念。定義為傳統(tǒng)傅立葉變換的分?jǐn)?shù)冪方式。n1994年， L.B.Ameida將分?jǐn)?shù)階傅立葉變換解釋為時(shí)頻面上的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)。主要研討方向和成果nFRFT的根本性質(zhì)nFRFT與其他時(shí)頻分析工具的關(guān)系nFRFT的光學(xué)實(shí)現(xiàn)技術(shù)和運(yùn)用nFRFT的數(shù)值計(jì)算與快速算法nFRFT在信號(hào)處置中的運(yùn)用n高維分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的研討FRFT的普通研討思緒：1.將傅立葉變換的運(yùn)用直接推行到FRFT。 傳統(tǒng)的傅立葉變

2、換是將信號(hào)在一組正交完備的正弦基上展開，所以正弦信號(hào)的傅立葉變換是一個(gè)函數(shù)。 分?jǐn)?shù)階傅立葉變換是將信號(hào)在一組正交的chirp信號(hào)上展開，那么一個(gè)chirp信號(hào)的某一階次的FRFT也是一個(gè)函數(shù)。FRFT的普通研討思緒：n單分量、多分量Chirp信號(hào)的檢測和參數(shù)估計(jì)。n雷達(dá)信號(hào)的目的檢測和識(shí)別。nSAR和ISAR成像。n運(yùn)動(dòng)目的檢測和識(shí)別。n寬帶干擾抑制。FRFT的普通研討思緒：2.將將FRFT視為時(shí)頻面上的旋轉(zhuǎn)算子視為時(shí)頻面上的旋轉(zhuǎn)算子 信號(hào)信號(hào)FRFT的時(shí)頻分布是信號(hào)時(shí)頻分布的一的時(shí)頻分布是信號(hào)時(shí)頻分布的一個(gè)旋轉(zhuǎn)。個(gè)旋轉(zhuǎn)。 可用于信號(hào)間的分別，噪聲抑制。這是分?jǐn)?shù)可用于信號(hào)間的分別，噪聲抑制。這

3、是分?jǐn)?shù)階傅立葉域?yàn)V波或掃頻濾波的根本原理。進(jìn)一階傅立葉域?yàn)V波或掃頻濾波的根本原理。進(jìn)一步提出分?jǐn)?shù)階傅立葉變換域的最正確濾波的概步提出分?jǐn)?shù)階傅立葉變換域的最正確濾波的概念。念。 可以運(yùn)用于多路復(fù)用技術(shù)?？梢赃\(yùn)用于多路復(fù)用技術(shù)。 FRFT的普通研討思緒：3.研討研討FRFT與其他時(shí)頻分析方法的關(guān)系與其他時(shí)頻分析方法的關(guān)系 研討與研討與Wigner_Ville分布、小波變換、分布、小波變換、短時(shí)傅立葉變換和短時(shí)傅立葉變換和Radon_Wigner變換的關(guān)變換的關(guān)系。利用已有的研討成果研討分?jǐn)?shù)階傅立葉變系。利用已有的研討成果研討分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的運(yùn)用。換的運(yùn)用。 FRFT的普通研討思緒：例如：分?jǐn)?shù)階傅

4、立葉變換和Radon_Wigner變換的關(guān)系。 信號(hào)分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的模平方是信號(hào)在該方向的Radon_Wigner變換。 利用這個(gè)結(jié)果可以研討基于分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的噪聲背景下的線性調(diào)頻信號(hào)檢測方法。分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的定義：221( )( )( , ) ( )1cotexp(cot)22sin( , )()2()(21)ppps tpF s uKt u s t dtjtutujjnKt utuntun定義 ：信號(hào)的 階分?jǐn)?shù)階傅立葉變換是一個(gè)線性積分運(yùn)算其中：22( )1cot( )exp(cot)22sin( )2()(21)2pF s ujtutus tjjdtns uns unp其中：討論

5、：n變換核的性質(zhì)：221221*1.limlim2.( , )( , )3.( , )( , )4.(, )( ,)5.( , )( , )( , )6.( , )( ,)()pnpnpnpnpppppppqp qpqpKKKKKt uKu tKt uKt uKt uKtuKt z Kz u dzKt uKt u Kt u dtuu變換核是 的連續(xù)函數(shù)。有討論：n變換的性質(zhì)：041541.2.( )( )( )3.( )( )( )(4.( )( )5.( )( )pqp qnppF s tF s ts tF s tF s tsF Fs tFs tFs tFs t分?jǐn)?shù)階傅立葉變換是線性變換。傅

6、立葉變換）（）（） (可加性）（）（） 性質(zhì)4的證明：( , )( , )( , )( ( )( , ) ( )( , )( , ) ( )( , )( , ) ( )( , )( ( )( ( )pqp qp qp qpqqppqpqKt z Kz u dzKt uFs tKt u s t dtKt z Kz u dz s t dtKz uKt z s t dt dzKz u Fs t dzF Fs t 利用FRFT的其他定義：n特征函數(shù)和特征值V.Namias,1980)222/2/2/2/2( )( )( )( )( ),( )( )1jkkkkktkkkkkttkkFttettHt e

7、HtkHermitedHteedt將傅立葉變換當(dāng)作信號(hào)空間上的算子，對(duì)應(yīng)的特征方程為：是 階多項(xiàng)式。（）2/2/2( )( )( )( )( )ktkkkppjpkkkktHt epFttet 分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的定義2：令為普通傅立葉變換的特征值對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)，且構(gòu)成有限能量信號(hào)空間的標(biāo)準(zhǔn)基，定義 階分?jǐn)?shù)階傅立葉變換為算子：計(jì)算：0/20/20( ),( )( )( )( ),( )( )( )( )( )( )( ) ( )kkkkkkkpjpkkkkjpkkkks tts tctcs tts tt dtF s tectett s t dt對(duì)信號(hào)由是標(biāo)準(zhǔn)正交基，有/20( )( , ) (

8、)( , )( )( )ppjpkpkkkF s uKt u s t dtKt uetu比較原定義：我們得到：分?jǐn)?shù)階傅立葉變換核的頻譜展開（奇異值分解）2/2022/20_( )( )( )1cotexp(cot)22sin( )( )/2kjutjkkkkjpkkkkHermiteGaussueetujtutujjetup函數(shù)剛好具有性質(zhì)：其中：n分?jǐn)?shù)階傅立葉變換定義3：tuv分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的性質(zhì)：n線性性：( )( )ppnnnnnnFc s tc Fs tn逆：1()ppFF分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的性質(zhì)：n可交換性：1221ppppF FFFn可結(jié)合性：331212()()ppppppF F

9、FFFF分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的性質(zhì)：n特征值與特征函數(shù)：/2pjpkkkFenParseval準(zhǔn)那么：,ppf gF f F g分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的性質(zhì)：n與Wigner分布的關(guān)系：()( , )( )( cossin, sincos)pW F s u vW s uvuv分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的運(yùn)算性質(zhì)(1). ()( ) ( )()ppFstuFs tu反轉(zhuǎn)性2221coscot(1)cos22(2).( /)( )1cotsine ( )()1cotsinarctan(tan),pj upFMs t MujMuFs tjMM 尺度特性其中：與 在同一象限。分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的運(yùn)算性質(zhì)：2000sinco

10、s2sin0(3). ()( )e ( )(cos)pj tjutpFs ttuFs tut時(shí)移特性202sincos2sin(4).( )( )e ( )(sin)pjtvj vjuvpFes tuFs tuv頻移特性分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的運(yùn)算性質(zhì)：1(5).( )( ) cossin( 2 ) ( )( )pnnpFt s tudujFs tudt微分特性（頻域）11(6).( 2 )( )( ) sincos( 2 ) ( )( )pnnpdFjs tudtdujFs tudt微分特性(時(shí)域）例：1 ( )( )cos ( )( )sin( 2 ) ( )( )pppFts tuduFs t

11、ujFs tudt（）2222221cot( )( )exp( 2cot2)22sin1cot2cot( )exp( 2cot2)22sin11cot2( )exp( 2cot2)sin22sinpudjtutuF s us tjjdtdujtutujus tjjdtjtutujts tjjdt證明：（例： ( )( )cos ( )( )2sin ( )( )pppFs tuduFs tujFs tudt（）（）（）2222221cot( )( )exp( 2cot2)22sin1cot2 cot( )exp( 2cot2)22sin11cot2( )exp( 2cot2)sin22sinp

12、jtutuF s us tjjdtjtutujts tjjdtjtutujus tjjdt 證明：（分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的運(yùn)算性質(zhì)：22tantan(7).( )( )sec ( )( )tpauj upj unaFs t dtueFs tu edu積分特性常見信號(hào)的分?jǐn)?shù)階傅立葉變換22000cot)2 ()( )1cote2,putjut cseFttujkkZ其中：。常見信號(hào)的分?jǐn)?shù)階傅立葉變換2tan21( )1tane,2pujFujkkZ其中：。常見信號(hào)的分?jǐn)?shù)階傅立葉變換02200tansec2( )1tane,2jtpujuFeujkkZ其中：。常見信號(hào)的分?jǐn)?shù)階傅立葉變換22/2tan2

13、 1tan( )1tane1tanarctan,2pjctucjcFeujcckkZ其中：。常見信號(hào)的分?jǐn)?shù)階傅立葉變換22/22( )euptFeu2222222/2(1)cotsec22( )1coteecotpctucucjccotccotFeujcj常見信號(hào)的分?jǐn)?shù)階傅立葉變換22/22( )( )( )e( )uptjnnnnFHt eueHtHtHermite其中：是多項(xiàng)式。分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的不確定性原理：122211() ( )() /1412ppppppppppuuFs tudus 定義：則：若角頻率用度表示若角頻率用弧度表示例：方波的分?jǐn)?shù)階傅立葉變換1| | 2( )0ts t其

14、他分?jǐn)?shù)階卷積：(* )()*fgf gfgfg傅立葉變換的卷積定理：對(duì)應(yīng)的有n傅立葉變換卷積定理成立的緣由：()j t vjtjveee221cot( , )exp(cot)22sinpjtutuKt ujj分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的核函數(shù)不具有可分離性。22cotcotsin22( )1cot( )2ptuutjjjF s ujes t eedt(1.線性調(diào)頻信號(hào)相乘2.變尺度傅立葉變換3.線性調(diào)頻信號(hào)相乘分?jǐn)?shù)階卷積的定義：22cot1,1cot2sin( )( )2pjC ujC tjB tuCBAjF s uAes t eedt定義：(分?jǐn)?shù)階卷積的定義：222(* ) ( ) ( )* ( )2

15、pjC ujC tjC tfgtAef t eg t e分?jǐn)?shù)階卷積定義為：定理：2(* ) ( )( ( )( ( )jC uppppFfgteFf tFg t思索題：n兩個(gè)函數(shù)的乘積的分?jǐn)?shù)階傅立葉變換有什么特點(diǎn)？n兩個(gè)函數(shù)相關(guān)的分?jǐn)?shù)階傅立葉變換應(yīng)該如何定義？有什么特點(diǎn)？離散分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的計(jì)算nFRFT的離散化問題.1.()2.3.4.pHppqp qH M OzaktasDFRFTFFF FFDFTFRFT提出：應(yīng)該具有酉性旋轉(zhuǎn)相加性一階運(yùn)算應(yīng)退化為。與連續(xù)的近似性。5階數(shù)取值的連續(xù)性。離散分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的計(jì)算n目前DFRFT的四種離散化算法301.( )2.3.4.piijFFTFa p WFRFT利用計(jì)離散FRFT的變換核 根據(jù)的定義，將其分解為信號(hào)的卷積，再利用FFT計(jì)算。利用矩陣的特征值和特征向量計(jì)算。直接離散化計(jì)算。離散分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的計(jì)算304401122301.( ),.( )piijppiijFFTFa p WFWIWFWFWFFa p W利用計(jì)離散FRFT的變換核的思想： 因?yàn)椋簩⒗斫鉃橐粋€(gè)時(shí)頻面上的旋轉(zhuǎn)算子，我們可以展開：202122231( )1cos()221( )1sin()221( )1cos()221( )1sin()22jpjpjpjpDFTWapepa pepapepapep 通過對(duì)矩陣的特征值分解，我們可以得到：