四復(fù)變函數(shù)級數(shù)更新PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1四復(fù)變函數(shù)級數(shù)更新四復(fù)變函數(shù)級數(shù)更新1 復(fù)數(shù)項復(fù)數(shù)項 級級 數(shù)數(shù)（常數(shù)項級數(shù)）常數(shù)項級數(shù)）1、復(fù)數(shù)列的極限：、復(fù)數(shù)列的極限： 000lim,zzzzzzNnifnnnn收收斂斂于于稱稱：復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列成成立立，則則：使使收收斂斂： 發(fā)發(fā)散散。不不收收斂斂，稱稱發(fā)發(fā)散散：若若nnzz biazbiazznnnn 0復(fù)數(shù)列：復(fù)數(shù)列： bblimaalimzznnnnn 的的充充分分必必要要條條件件是是：收收斂斂于于復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)列列定定理理一一：0第1頁/共35頁2、復(fù)數(shù)項級數(shù)：、復(fù)數(shù)項級數(shù)： 1211limnnnnnnnnnnszzzssszsz 部分和：如果：則：數(shù)列收斂收斂如果：數(shù)列不收斂發(fā)

2、散 nnnzzzz211都都收收斂斂和和：收收斂斂的的充充分分必必要要條條件件是是級級數(shù)數(shù)定定理理二二： 111nnnnnnbaz0lim1 nnnnzz 收收斂斂的的必必要要條條件件為為推推論論：第2頁/共35頁收收斂斂。收收斂斂，則則定定理理三三：如如果果 11nnnnzz絕絕對對收收斂斂。和和件件為為：絕絕對對收收斂斂的的充充分分必必要要條條推推論論： 111nnnnnnbaz收收斂斂。不不收收斂斂，但但條條件件收收斂斂：收收斂斂。絕絕對對收收斂斂： 111nnnnnnzzz第3頁/共35頁 發(fā)發(fā)散散收收斂斂收收斂斂的的收收斂斂性性、判判斷斷下下列列數(shù)數(shù)列列例例 innzenzniniz

3、zninnnncos1)11(111:1 條件收斂條件收斂絕對收斂絕對收斂發(fā)散發(fā)散性：性：、判斷下列級數(shù)的收斂、判斷下列級數(shù)的收斂例例 11121)1(!)8()1(12nnnnnninninin：判判斷斷級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性。目目標(biāo)標(biāo)1第4頁/共35頁復(fù)習(xí)掌握復(fù)習(xí)掌握不不確確定定發(fā)發(fā)散散收收斂斂、根根值值審審斂斂法法：不不確確定定發(fā)發(fā)散散收收斂斂、比比值值審審斂斂法法：發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散收收斂斂收收斂斂、比比較較審審斂斂法法： 111111111111,1,1lim31,1,1lim2,1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnuuuuuuuuuvuuvvuif 一、正項級

4、數(shù)審斂法：一、正項級數(shù)審斂法：011 nnnnnnv ,uvu 和和第5頁/共35頁是是收收斂斂的的級級數(shù)數(shù)。）（常常用用級級數(shù)數(shù)收收斂斂萊萊布布尼尼茨茨準(zhǔn)準(zhǔn)則則級級數(shù)數(shù)二二、交交錯錯級級數(shù)數(shù)審審斂斂法法： nuuuifunnnnnnnn11312110lim)1(1111級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)收收斂斂級級數(shù)數(shù)：、級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)收收斂斂）：、等等比比級級數(shù)數(shù)（幾幾何何級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散、調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù)、收收斂斂的的必必要要條條件件：三三、其其他他： 1;1141;1313121120lim1120ppnpqqaqaqaaqnunpnnnn第6頁/共35頁2 冪冪 級級 數(shù)數(shù) 111

5、0001000111)()()()()(,)()()(lim,)()()()()()(nnnnnnnnnnnnnnnnzfzSDzfDzfzSzzfzSzSzDzfzfzSzfzfzf上上收收斂斂，和和函函數(shù)數(shù)為為：在在區(qū)區(qū)域域處處處處收收斂斂，和和函函數(shù)數(shù)：如如果果級級數(shù)數(shù)在在和和為為：點點收收斂斂在在則則稱稱有有：內(nèi)內(nèi)某某點點如如果果部部分分和和：復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)：1、冪級數(shù)：、冪級數(shù)：第7頁/共35頁 nnnnnnnnnnzczcczczzczzcczzc100001000)()()(冪級數(shù)：冪級數(shù)：冪級數(shù)：冪級數(shù)：必必發(fā)發(fā)散散。發(fā)發(fā)散散絕絕對對收收斂斂。收收斂斂定定理理）定

6、定理理一一（阿阿貝貝爾爾 000000000,)0(nnnnnnnnnnnnzczzzczczzzzcAbel、收收斂斂圓圓及及半半徑徑：2上上不不一一定定。外外發(fā)發(fā)散散；內(nèi)內(nèi)絕絕對對收收斂斂；在在收收斂斂圓圓RRRCCC稱稱收收斂斂半半徑徑。：收收斂斂區(qū)區(qū)域域為為圓圓域域RRzCR, 第8頁/共35頁zzzfzzzznnnnn 11)(1120解解：等等比比級級數(shù)數(shù)和和和和函函數(shù)數(shù)、求求級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂區(qū)區(qū)域域及及例例111112 zRzzzzn收收斂斂區(qū)區(qū)域域：記記住住：內(nèi)內(nèi)、外外的的特特性性。：掌掌握握冪冪級級數(shù)數(shù)在在收收斂斂圓圓目目標(biāo)標(biāo)24,3)142(1p第第四四章章習(xí)習(xí)題題：作

7、作業(yè)業(yè)：判判斷斷級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性。目目標(biāo)標(biāo)1第9頁/共35頁)2(3種種、收收斂斂半半徑徑的的求求法法：lRlciflRlccifnnnnnn1:1:limlim1 則則：收收斂斂半半徑徑為為根根值值法法定定理理三三則則：收收斂斂半半徑徑為為比比值值法法定定理理二二外外）級級數(shù)數(shù)處處處處發(fā)發(fā)散散（除除級級數(shù)數(shù)處處處處絕絕對對收收斂斂000 RlRl證證明明： 0nnnzc第10頁/共35頁 1113)(cos2 , 0()1()(2nnnnnnzinznznz的的情情況況）討討論論在在況況討討論論在在收收斂斂圓圓周周上上的的情情收收斂斂圓圓周周上上的的情情形形。、求求級級數(shù)數(shù)的的收收斂

8、斂半半徑徑及及例例 處處處處發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散點點有有收收斂斂點點處處處處絕絕對對收收斂斂結(jié)結(jié)論論：在在收收斂斂圓圓上上，&。：求求冪冪級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑目目標(biāo)標(biāo)3第11頁/共35頁，復(fù)復(fù)合合），、冪冪級級數(shù)數(shù)的的運(yùn)運(yùn)算算：（ 4 冪冪級級數(shù)數(shù)。這這個個代代換換運(yùn)運(yùn)算算用用在在展展開開時時復(fù)復(fù)合合運(yùn)運(yùn)算算： 0212100210)()()(),min()()(),min()()()(nnnnnnnnnnnnnzgazgfrRrzgrrRzbzazgzfrrRzbazgzf2010)()(rRzbzgrRzazfnnnnnn第12頁/共35頁 0)3(513nnnzcz展展開開為為：函函

9、數(shù)數(shù)例例的的常常用用方方法法：展展開開為為將將函函數(shù)數(shù) 0)(1)(nnnazcbzzf?1)(1111)(11 azzgzzzzzgazn求求收收斂斂半半徑徑用用形形式式把把函函數(shù)數(shù)化化為為）把把函函數(shù)數(shù)化化為為分分母母出出現(xiàn)現(xiàn)（第13頁/共35頁00000001000100( ),1( )2( )( )3( )( )1nnnnnnnnnznnznf zczzRf zczzzzRf zzzRfznczzf zzzRcfdzzn定理四（和函數(shù)的性質(zhì)）（收斂半徑均為則：和函數(shù)（在內(nèi)解析。和函數(shù)在內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可逐項求導(dǎo)得到。（和函數(shù)在內(nèi)的積分可逐項求積分得到。（第14頁/共35頁3 泰泰 勒勒 級級

10、數(shù)數(shù)圓圓域域內(nèi)內(nèi)解解析析時時，有有：在在、泰泰勒勒展展開開定定理理：RzzDzf 0:)(1)(!1)()(0)(00zfnczzczfnnnnn 其中：其中：冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)是解析函數(shù)。冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)是解析函數(shù)。研究：一個解析函數(shù)是否能用冪級數(shù)來表達(dá)？研究：一個解析函數(shù)是否能用冪級數(shù)來表達(dá)？ ）逐逐項項求求積積分分；帶帶入入（將將出出現(xiàn)現(xiàn)展展開開冪冪級級數(shù)數(shù)：柯柯西西積積分分公公式式：1)2()3()(1)2()(21)()1(0zzzdzfizfC 證明：證明：第15頁/共35頁問題：泰勒級數(shù)可以將解析函數(shù)展開為冪級數(shù)，但這樣的展開式是否唯一呢？問題：泰勒級數(shù)可以將解析函

11、數(shù)展開為冪級數(shù)，但這樣的展開式是否唯一呢？為為泰泰勒勒級級數(shù)數(shù)的的系系數(shù)數(shù)?？煽傻玫茫阂砸灾鹬痦楉椙笄髮?dǎo)導(dǎo)得得：由由冪冪級級數(shù)數(shù)在在收收斂斂域域內(nèi)內(nèi)可可冪冪級級數(shù)數(shù)：已已經(jīng)經(jīng)用用別別的的方方法法展展開開為為在在設(shè)設(shè))(!1)2()()()()()1(0)(00100zfnazzazzaazfzzfnnnn 最最近近一一個個奇奇點點。為為距距為為：的的泰泰勒勒展展開開式式收收斂斂半半徑徑在在是是唯唯一一的的；數(shù)數(shù)，函函數(shù)數(shù)級級數(shù)數(shù)展展開開為為泰泰勒勒級級任任何何在在單單連連通通域域解解析析的的結(jié)結(jié)論論：000)()2()1(zaazRzzf 第16頁/共35頁。：求求冪冪級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半

12、徑徑目目標(biāo)標(biāo)32( 142 143)6 ,11(1,2,3,6),12(1)p作業(yè) ：第四章習(xí)題級級數(shù)數(shù)的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)可可展展為為在在解解析析在在展展成成必必能能在在，內(nèi)內(nèi)解解析析的的函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)和和函函數(shù)數(shù)解解析析；在在收收斂斂圓圓等等價價TaylorzzfzzfzzczzfRzzRzzzzcnnnnnn000000000)()()()()( 第17頁/共35頁數(shù)數(shù)展展開開。：求求解解析析函函數(shù)數(shù)的的泰泰勒勒級級目目標(biāo)標(biāo)4解析函數(shù)泰勒展開式的方法：解析函數(shù)泰勒展開式的方法：(1)(1)、直接法：、直接法： 直接用泰勒展開定理，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求系數(shù)。直接用泰勒展開定理，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求系

13、數(shù)。(2)(2)、間接法：、間接法： 借助一些常用函數(shù)的泰勒展開式，以唯一性為依據(jù)，運(yùn)用冪級數(shù)的借助一些常用函數(shù)的泰勒展開式，以唯一性為依據(jù)，運(yùn)用冪級數(shù)的性質(zhì)及復(fù)合運(yùn)算性質(zhì)及復(fù)合運(yùn)算得到解析函數(shù)的泰勒展開式。得到解析函數(shù)的泰勒展開式。的的泰泰勒勒展展開開式式。在在、求求對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的主主值值例例的的冪冪級級數(shù)數(shù)。展展開開成成、把把函函數(shù)數(shù)例例點點展展開開、在在例例0)1ln(3)1(12!210122 zzzznzzzeznz第18頁/共35頁2、一些常用初等函數(shù)的泰勒展開式：、一些常用初等函數(shù)的泰勒展開式：1)1(1111111)!2()1(!4!21cos)!12()1(!5!3si

14、n!212224212532 zzzzzzzzzzRnzzzzRnzzzzzRnzzzennnnnnnnz第19頁/共35頁一、討論下列雙邊級數(shù)：一、討論下列雙邊級數(shù)：nnnnnnnnnnnnnzzczzczzcczzczzc)()()()()(00010000 其其展展式式如如何何？的的為為中中心心的的圓圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)解解析析這這一一節(jié)節(jié)研研究究：以以級級數(shù)數(shù)。的的可可以以在在該該圓圓域域展展為為為為中中心心的的圓圓域域內(nèi)內(nèi)解解析析的的上上一一節(jié)節(jié)知知道道：以以),()(),(000zfzTaylorzzzfz 4 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)第20頁/共35頁雙邊級數(shù)可以分為兩部分：雙邊級數(shù)可以分為兩

15、部分： 級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散。級級數(shù)數(shù)收收斂斂第第二二部部分分（負(fù)負(fù)冪冪項項）：級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散。級級數(shù)數(shù)收收斂斂正正冪冪項項）：第第一一部部分分101001202000;)(;)(RzzRzzzzcRzzRzzzzcnnnnnn 收斂區(qū)域：收斂區(qū)域：為圓環(huán)域為圓環(huán)域)(21201時時RRRzzR 和函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)性質(zhì)：在收斂圓環(huán)域內(nèi)，：在收斂圓環(huán)域內(nèi)， 是解析函數(shù)；可以逐項求導(dǎo)；逐項求積分是解析函數(shù)；可以逐項求導(dǎo)；逐項求積分。第21頁/共35頁級數(shù)的正整次冪部分稱為級數(shù)的正整次冪部分稱為解析部分解析部分；級數(shù)的負(fù)整次冪部分稱為級數(shù)的負(fù)整次冪部分稱為主要部分主要部分；。的的任任何何一一條條簡簡單單

16、閉閉曲曲線線為為圓圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)繞繞為為洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析，在在圓圓環(huán)環(huán)域域當(dāng)當(dāng)0100201, 2, 1, 0)()(21)()()(zcndzficzzczfRzzRzfcnnnnn ：二二、洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)展展開開定定理理第22頁/共35頁第23頁/共35頁問題：洛朗級數(shù)展開式是否唯一呢問題：洛朗級數(shù)展開式是否唯一呢？011000010110010( )( )()()( )()( )12()()1( )2()ppnnnpnpppnnccppcf zzf zazzaazzccfazzcfdadiazzfaiz 0設(shè)在 已經(jīng)用別的方法展開為冪級數(shù)：為圓環(huán)域內(nèi)圍繞z 的簡單閉

17、曲線，為 上任一點，則：（乘上式兩邊，并沿 積分，得：0, 1, 2,dp洛朗系數(shù)。第24頁/共35頁洛朗級數(shù)展開的求法：洛朗級數(shù)展開的求法：（1 1）直接法：由定義求）直接法：由定義求. . 太繁雜，一般不用。太繁雜，一般不用。（2 2）間接法：）間接法： 借助一些常用函數(shù)的級數(shù)展開式，以唯一性借助一些常用函數(shù)的級數(shù)展開式，以唯一性為依據(jù)，運(yùn)用冪級數(shù)的為依據(jù)，運(yùn)用冪級數(shù)的性質(zhì)、代數(shù)運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)性質(zhì)、代數(shù)運(yùn)算、復(fù)合運(yùn)算、求導(dǎo)和積分算、求導(dǎo)和積分等得到解析函數(shù)的洛朗展開式。等得到解析函數(shù)的洛朗展開式。有有負(fù)負(fù)冪冪項項的的展展開開式式為為洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)在在多多連連通通域域的的去去心心領(lǐng)領(lǐng)域域內(nèi)內(nèi)

18、解解析析時時不不解解析析，但但在在當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)在在)()(,000zzz開開。：求求函函數(shù)數(shù)的的洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)展展目目標(biāo)標(biāo)5第25頁/共35頁132( )0zf zz ez例 、在點展開成洛朗級數(shù)。朗朗級級數(shù)數(shù)。在在這這些些區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)展展開開成成洛洛將將析析，在在下下列列圓圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)處處處處解解、例例)(2)21)10)2111)2)(1(1)(1zfzczbzazzzzzf 奇奇點點或或外外圓圓周周有有奇奇點點內(nèi)內(nèi)圓圓周周有有收收斂斂圓圓環(huán)環(huán)組組成成：級級數(shù)數(shù)展展開開式式；的的不不同同的的圓圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)有有不不同同結(jié)結(jié)論論：)()(zfzfLaurent第26頁/共35頁三、在計算

19、閉路積分中的應(yīng)用三、在計算閉路積分中的應(yīng)用112012012)()(;)( icdzzfcLaurentrzzrzfrzzrCzfc 找找出出系系數(shù)數(shù)展展式式；的的在在的的關(guān)關(guān)系系的的奇奇點點與與分分析析計計算算步步驟驟：12 icdz)z(fc 213)1()4)(1(14zzzdzzzedzzzz、求下列各積分的值：、求下列各積分的值：例例求求閉閉路路積積分分。：利利用用洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)展展開開的的目目標(biāo)標(biāo)16 C第27頁/共35頁開開。：求求函函數(shù)數(shù)的的洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)展展目目標(biāo)標(biāo)5求求閉閉路路積積分分。：利利用用洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)展展開開的的目目標(biāo)標(biāo)16 C數(shù)數(shù)展展開開。：求求解解析析函

20、函數(shù)數(shù)的的泰泰勒勒級級目目標(biāo)標(biāo)419)532(16432112)321(11)144143(3、）、（、第第四四章章習(xí)習(xí)題題：作作業(yè)業(yè)p第28頁/共35頁開。開。：求函數(shù)的洛朗級數(shù)展：求函數(shù)的洛朗級數(shù)展目標(biāo)目標(biāo)5求求閉閉路路積積分分。：利利用用洛洛朗朗級級數(shù)數(shù)展展開開的的目目標(biāo)標(biāo)16 C數(shù)數(shù)展展開開。：求求解解析析函函數(shù)數(shù)的的泰泰勒勒級級目目標(biāo)標(biāo)4內(nèi)內(nèi)、外外的的特特性性。：掌掌握握冪冪級級數(shù)數(shù)在在收收斂斂圓圓目目標(biāo)標(biāo)2：判判斷斷級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性。目目標(biāo)標(biāo)119)532(16)432112)321(11643)144141(、（、第第四四章章習(xí)習(xí)題題作作業(yè)業(yè)：p。：求求冪冪級級數(shù)數(shù)的的收

21、收斂斂半半徑徑目目標(biāo)標(biāo)3第29頁/共35頁第四章第四章 小結(jié)（小結(jié)（4條）條）1、 復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂: (1)復(fù)數(shù)列復(fù)數(shù)列 收斂的充要條件收斂的充要條件: 同時收斂（定理同時收斂（定理一）一） (2)復(fù)級數(shù)復(fù)級數(shù): （定理二）（定理二） 收斂的充要條件收斂的充要條件: 同時收斂同時收斂. (3)復(fù)級數(shù)絕對收斂復(fù)級數(shù)絕對收斂: （定理三）（定理三） 絕對收斂的充要條件絕對收斂的充要條件: 同時絕對收斂同時絕對收斂. ibannn nnba, 11nnnnba 11nnnnb,a第30頁/共35頁 2 、冪級數(shù)：、冪級數(shù)： (1)Abel定理定理:收斂范圍為圓域收斂范圍為圓域,圓內(nèi)絕對收斂圓內(nèi)絕對收斂,圓外圓外發(fā)散發(fā)散,圓上不定。圓上不定。 (2)收斂半徑求法收斂半徑求法: (3)性質(zhì)性質(zhì): 和函數(shù)在收斂圓內(nèi)和函數(shù)在收斂圓內(nèi)解析解析,可逐項求