二重積分及其性質(zhì)ppt課件

1、二重積分及其性質(zhì)二重積分及其性質(zhì)教學(xué)目的：二重積分及其計(jì)算教學(xué)目的：二重積分及其計(jì)算教學(xué)重點(diǎn)：二重積分的根本性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)：二重積分的根本性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：有限與無(wú)限的轉(zhuǎn)化教學(xué)難點(diǎn)：有限與無(wú)限的轉(zhuǎn)化二重積分及其性質(zhì)二重積分及其性質(zhì)二重積分引入性質(zhì)定義幾何意義線性性區(qū)域可拆分性保序性積分中值定理設(shè)有一立體，它的底是設(shè)有一立體，它的底是xoy平面上的有界閉區(qū)域平面上的有界閉區(qū)域D 它的側(cè)面是以它的側(cè)面是以D的邊境曲線的邊境曲線為準(zhǔn)線而母線平行于為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的軸的柱面柱面.頂是由二元非負(fù)連續(xù)函數(shù)頂是由二元非負(fù)連續(xù)函數(shù)表示的曲面表示的曲面z = f (x, y) 這種立體稱為這種立體稱為D上的曲頂

2、柱上的曲頂柱體體曲頂拄面的體積曲頂拄面的體積對(duì)于平頂柱體，即對(duì)于平頂柱體，即f (x, y)h，這里，這里h是大于是大于0的常數(shù)，有的常數(shù)，有體積體積 = 底面積底面積高高 但曲頂柱體的高但曲頂柱體的高f (x, y)在區(qū)域在區(qū)域D上是變量，當(dāng)點(diǎn)上是變量，當(dāng)點(diǎn)(x, y)在區(qū)域在區(qū)域D上變化時(shí)，高上變化時(shí)，高f (x, y)不時(shí)變化，因而曲頂柱不時(shí)變化，因而曲頂柱體的體積不能用上面的公式來(lái)計(jì)算體的體積不能用上面的公式來(lái)計(jì)算. 但我們可以仿照但我們可以仿照求曲邊梯形面積的思路求曲邊梯形面積的思路.分析分析將D劃分為n個(gè)小閉區(qū)域：以每個(gè)小區(qū)域?yàn)榈祝运鼈兊囊悦總€(gè)小區(qū)域?yàn)榈?，以它們的邊境曲線為準(zhǔn)線作

3、母線平行于邊境曲線為準(zhǔn)線作母線平行于z軸的柱面，形成許多小曲頂柱體軸的柱面，形成許多小曲頂柱體.原曲頂柱體被分割成原曲頂柱體被分割成n個(gè)小曲個(gè)小曲頂柱體頂柱體.曲頂柱體體積的近似等于曲頂柱體體積的近似等于n個(gè)小曲頂柱體的體積之和個(gè)小曲頂柱體的體積之和例題例題步驟如下：步驟如下：用假設(shè)干個(gè)小平用假設(shè)干個(gè)小平頂柱體體積之頂柱體體積之和近似表示曲和近似表示曲頂柱體的體積，頂柱體的體積，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲頂柱體的底，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，并取典型小區(qū)域，.),(lim10iiniifV 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積每個(gè)小曲頂柱體可以近似地看成是一個(gè)平頂柱體例題

4、例題區(qū)域D分割得越細(xì)密，小曲頂柱體的體積和越接近體積V. 為了得到V的準(zhǔn)確值，令n個(gè)小區(qū)域的最大直徑0，那么小曲頂柱體的體積和的極限就是曲頂柱體的體積V，即iiniifV)(lim10，例題例題二重積分的定義二重積分的定義假如當(dāng)這些小區(qū)域的直徑的最大值趨于0時(shí)，上式的極限總存在，那么稱函數(shù)f(x, y)在區(qū)域D上可積，此極限值稱為函數(shù)f (x, y)在區(qū)域D上的二重積分. Dniiiifdyxf10),(lim),(例題例題注注1 要從定義來(lái)斷定一個(gè)二重積分是否存在是困難的要從定義來(lái)斷定一個(gè)二重積分是否存在是困難的.為為應(yīng)用方便，我們介紹一個(gè)與定積分存在定理類似的結(jié)論應(yīng)用方便，我們介紹一個(gè)與定

5、積分存在定理類似的結(jié)論.定理定理1 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的函數(shù)必在上連續(xù)的函數(shù)必在D上可積上可積.特別，在有界閉區(qū)域特別，在有界閉區(qū)域D上有定義的初等函數(shù)必在上有定義的初等函數(shù)必在D上可積上可積. 因而，以后我們一般不就可積性問(wèn)題展開(kāi)討論因而，以后我們一般不就可積性問(wèn)題展開(kāi)討論.例題例題例題例題二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義性質(zhì)性質(zhì)1 被積函數(shù)的常系數(shù)因子可以提到積分號(hào)外，即被積函數(shù)的常系數(shù)因子可以提到積分號(hào)外，即DDdyxfkdyxkf),(),(性質(zhì)性質(zhì)2 函數(shù)和差的二重積分等于各函數(shù)二重積分的函數(shù)和差的二重積分等于各函數(shù)二重積分的和差，即和差，即DDDdyxgdyxfd

6、yxgyxf),(),(),(),(性質(zhì)性質(zhì)3 假如區(qū)域假如區(qū)域D可以劃分為可以劃分為D1與與D2，其中，其中D1與與D2除邊除邊境外無(wú)公共點(diǎn)，那么境外無(wú)公共點(diǎn)，那么21DDDdyxfdyxfdyxf),(),(),(.二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)DDdyxgdyxf),(),(推論推論 dyxfdyxfDD),(),( 性質(zhì)性質(zhì)5 設(shè)設(shè)M和和m分別是函數(shù)分別是函數(shù)f (x, y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的最大值和最小值，為區(qū)域上的最大值和最小值，為區(qū)域D的面積，那么的面積，那么MdyxfmD),(例題例題 性質(zhì)性質(zhì)4 假如在區(qū)域假如在區(qū)域D上有上有 ，那，那么么( , )( , )f x yg x y性質(zhì)性質(zhì)6二重積分中值定理二重積分中值定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x, y)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，為區(qū)域的面積，那么在上連續(xù)，為區(qū)域的面積，那么在D上至少存在一點(diǎn)上至少存在一點(diǎn)(,), 使得使得