研究課本定理探究證明應用

1、tnii學朮友叢網(wǎng)論文發(fā)表專家一l研究課本定理探究證明應用摘要：普通高中課程標準實驗教科書選修4-4坐標系與參數(shù)方程第4頁例2介紹了著名數(shù)學家歐拉（euler,1707-1783）于1765年提出的歐拉線定理“三角形的外心、重心和垂心在同一條直線上”的一種解析證法.為開闊學生視野，啟迪學生思維，提高學生的綜合證明水平，本文再介紹幾種解析證法，而后談談從證明中得到的一個性質(zhì)的應用，供高中師生教與學時參考.關(guān)鍵詞：研究；定理；證明；應用歐拉線定理的解析證明證1:如圖1，p，g，h分別為abc的外心、重心和垂心，以ab為x軸，ch為y軸建立平面直角坐標系，設(shè)a（a，o），b（b，0），c（o，c），

2、e，f分別為ab，bc的中點，貝Se，0，f,，ch的直線方程為x=0，pe的直線方程為x=.連結(jié)ah并延長交cb于點d，則ad的直線方程為y=（xa），pf的直線方程為y=x，即2bx2cyb2+c2=0,從而可求得h，p，g三點的坐標分別為h0，p,，g，.計算得hg=.同理可求得gp=，hp=.易得hg+gp二hp,故h，g，p三點共線.證2：證h，g，p三點連線形成的角中任一個角的余弦值為士1.設(shè)(a+b)2c2+(3ab+c2)2=m由證1已知hg，hp，gp的長度.匸交發(fā)表專家一LB國學朮發(fā)叢網(wǎng)www,qikanwang.nEt由余弦定理，得cos/h=1,所以/h=0°

3、,即卩h,g,p三點共線.證3:假設(shè)h,g,p三點不共線，則hgp的外接圓的圓心到h,g,p三點等距離.設(shè)點r(x,y)至h,g,p三點距離相等，即rh=rg=rp.于是rh2=rg2=rp2,即x2+y+=x+y,x+y+=x+y,而這個方程組無解，所以到h,g,p三點等距離的點不存在，因此假設(shè)不成立.故h,g,p三點共線.證4:因為h0,p,g,所以0111=+=0.shgp的面積=0,故h,g,p三點共線.歐拉線定理的一個性質(zhì)由上述證法1通過比較可得gp=hg,即“在歐拉線上，外心到重心的距離等于重心到垂心的距離之半”.歐拉線定理性質(zhì)的應用例設(shè)a1a2a3a4為Oo的內(nèi)接四邊形，h1,h

4、2,h3,h4依次為a1a2a3,a2a3a4,a3a4a1,a4a1a2的垂心，求證：h1,h2,h3,h4四點在同一圓上，并定出該圓的圓心位置.證明：如圖2,不妨設(shè)四邊形a1a2a3a4的外接圓圓心o在坐標原點，半徑為1,并設(shè)四個頂點的坐標依次為ai(cos0i,sin0i)tnii學朮友叢網(wǎng)論文發(fā)表專家一l(i=1,2,3,4);g1,g2,g3,g4分別為a1a2a3,Aa2a3a4,a3a4a1,a4a1a2的重心.應用三角形的重心坐標公式，得gi,g2,g3,g4,.又由歐拉線性質(zhì)，知ogi:gihi=1:2(i=1,2,3,4),所以ogi=ohi.另由定比分點坐標公式可求得垂心

5、hi的坐標依次為hi(cos01+cos02+cos03,sin01+sin02+sin03),h2(cos02+cos03+cos04,sin02+sin03+sin04),h3(cos03+cos04+cos01,sin03+sin04+sin01),h4(cos04+cos01+cos02,sin04+sin01+sin02).考慮點o'(cos01+cos02+cos03+cos04,sin01+sin02+sin03+sin04),容易求得o'h仁o'h2=oh3=oh4=1,于是h1,h2,h3,h4四點在以o'點為圓心，以1為半徑的圓上，從而命題得證.在平時的教學過程中，注意對著名定理的研究，符合新課程標準關(guān)于“讓學生的思維活躍起來”的理念要求，利于提高學生學習和研究專題