高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)大學(xué))課件上第5_5反常積分審斂法

1、二、無(wú)界函數(shù)反常積分的審斂法二、無(wú)界函數(shù)反常積分的審斂法第五節(jié)反常積分無(wú)窮限的反常積分無(wú)界函數(shù)的反常積分一、無(wú)窮限反常積分的審斂法一、無(wú)窮限反常積分的審斂法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 反常積分的審斂法 函數(shù) 第五五章 一、無(wú)窮限反常積分的審斂法一、無(wú)窮限反常積分的審斂法定理定理1.,0)(, ),)(xfaCxf且設(shè)若函數(shù)xattfxFd)()(.d)(收斂則反常積分axxf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,),上有上界在a證證:,0)(xf,),)(上單調(diào)遞增有上界在axF根據(jù)極限收斂準(zhǔn)則知 xaxxttfxFd)(lim)(lim存在 ,.d)(收斂即反常積分axxf定理定理2

2、 . (比較審斂原理), ),)(aCxf設(shè)有分大的x且對(duì)充)()(0 xgxf, 則收斂xxgad)(收斂xxfad)(發(fā)散xxfad)(發(fā)散xxgad)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證證: 不失一般性 ,),時(shí)設(shè) ax)()(0 xgxf,d)(收斂若xxga有則對(duì)at xxftad)(xxgtad)(xxgad)(的是故txxftad)(因此 單調(diào)遞增有上界函數(shù) , xxfxxfatatd)(d)(lim.d)(收斂即反常積分xxfa機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,d)(發(fā)散若xxfa時(shí)有因?yàn)閍t xxgxxftatad)(d)(0,t令.)(必發(fā)散可見(jiàn)反常積分xdxga說(shuō)

3、明說(shuō)明: 已知xxapd11,p收斂1,p發(fā)散)0( a,)0()(作比較函數(shù)故常取AxAxgp得下列比較審斂法.極限存在 ,定理定理3. (比較審斂法 1)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),)(aCxf設(shè)非負(fù)函數(shù),0) 1M若存在常數(shù)有使對(duì)充分大的xpxMxf)(;d)(收斂則xxfa,0)2N若存在常數(shù)有使對(duì)充分大的xpxNxf)(.d)(發(fā)散則xxfa, 1p, 1p. )0( a例例1. 判別反常積分xxxd1sin1342解解:的斂散性 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3421sin0 xx341x341x由比較審斂法 1 可知原積分收斂 .思考題思考題: 討論反常積分x

4、xd11133的斂散性 .提示提示: 當(dāng) x1 時(shí), 利用 11) 1(1113333xxx可知原積分發(fā)散 .定理定理4. (極限審斂法1)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,0)(, ),)(xfaCxf且若;d)(收斂時(shí)xxfa.d)(發(fā)散時(shí)xxfalp0, 1lp0, 1lxfxpx)(lim則有: 1) 當(dāng)2) 當(dāng)證證:,1時(shí)當(dāng)p根據(jù)極限定義 , 對(duì)取定的,0當(dāng) x 充分大時(shí), 必有l(wèi)xfxp)(, 即pxMxf)(0)(lM;d)(收斂可見(jiàn)xxfa滿足當(dāng)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 .d)(發(fā)散可見(jiàn)xxfa,1時(shí)p可取,0必有l(wèi)xfxp)(即pxlxf)()(lNxN,0l使

5、時(shí)用任意正l (, )lN 代替數(shù)pxxpxxfxfx1)(lim)(lim注意注意: 此極限的大小刻畫(huà)了.0)(的快慢程度趨于時(shí)xfx例例2. 判別反常積分121dxxx的斂散性 . 解解:2211limxxxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 11lim21xx1根據(jù)極限審斂法 1 , 該積分收斂 . 例例3. 判別反常積分xxxd11223的斂散性 . 解解:21lim2321xxxx221limxxx1根據(jù)極限審斂法 1 , 該積分發(fā)散 . 定理定理5.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,d, ),)(收斂）（且若axxfaCxf.d)(收斂則反常積分axxf證：證：, )()()

6、(21xfxfx令則)()(0 xfx ,d 收斂）（axxf,d)(也收斂axx)()(2)(xfxxfxxfxxxxfaaad)(d)(2d)(而.d)(收斂可見(jiàn)反常積分xxfa定義定義. 設(shè)反常積分,d)(收斂xxfaxxfad)(,d)(收斂若axxf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則稱絕對(duì)收斂 ; xxfad)(,d)(發(fā)散若axxf則稱條件收斂 . 例例4. 判斷反常積分)0,(dsin0abaxbxexa為常數(shù)的斂散性 .解解:,sinxaxaexbe因,d0收斂而xexa根據(jù)比較審斂原理知,dsin收斂axaxbxe故由定理5知所給積分收斂 (絕對(duì)收斂) .無(wú)界函數(shù)的反常積

7、分可轉(zhuǎn)化為無(wú)窮限的反常積分.二、無(wú)界函數(shù)反常積分的審斂法二、無(wú)界函數(shù)反常積分的審斂法,)(, ,()(的瑕點(diǎn)為設(shè)xfabaCxf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由定義 babaxxfxxfd)(limd)(0則有令,1tax例如1120d)1(limd)(abtttafxxfbaabtttaf12d)1(因此無(wú)窮限反常積分的審斂法完全可平移到無(wú)界函數(shù)的反常積分中來(lái) .定理定理6. (比較審斂法 2)定理3 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 為設(shè)非負(fù)函數(shù)abaCxf, ,)(,0) 1M若存在常數(shù)qaxMxf)()(;d)(收斂則xxfba,0)2N若存在常數(shù)axNxf)(.d)(發(fā)散則xxfb

8、a, 1q瑕點(diǎn) ,有有利用xaxbaqd)(11,q收斂1,q發(fā)散有類似定理 3 與定理 4 的如下審斂法. 使對(duì)一切充分接近 a 的 x ( x a) .定理定理7. (極限審斂法2)定理4 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ，且若0)(, ,()(xfbaCxf;d)(,收斂時(shí)xxfba.d)(,發(fā)散時(shí)xxfbalq0, 10lq0, 1lxfaxqx)()(lim則有: 1) 當(dāng)2) 當(dāng)例例5. 判別反常積分.lnd31的斂散性xx解解:,1為瑕點(diǎn)此處x利用洛必達(dá)法則得xxxln1) 1(lim1xx111lim1根據(jù)極限審斂法2 , 所給積分發(fā)散 .例例6. 判定橢圓積分定理4 目錄 上頁(yè)

9、 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ) 1()1)(1 (d210222kxkxx散性 . 解解:,1為瑕點(diǎn)此處x由于 1limx的斂21) 1( x)1)(1 (1222xkx)1)(1 (1lim221xkxx)1 (212k根據(jù)極限審斂法 2 , 橢圓積分收斂 . 類似定理5, 有下列結(jié)論:,)(d)(baaxxf收斂為瑕點(diǎn)若反常積分機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7. 判別反常積分xxxdln10的斂散性 .解解:,d)(baxxf收斂稱為絕對(duì)收斂 . ,0為瑕點(diǎn)此處x,0lnlim410 xxx因, 1ln,41xxx 有的故對(duì)充分小從而 4141lnlnxxxxx411x據(jù)比較審斂法2,

10、所給積分絕對(duì)收斂 .則反常積分 三、三、 函數(shù)函數(shù)1. 定義定義:函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 下面證明這個(gè)特殊函數(shù)在0s內(nèi)收斂 . 1121011d,dxexIxexIxsxs.) 11I討論)0(d)(01sxexsxs令;,11是定積分時(shí)當(dāng)Is ,10時(shí)當(dāng) sxsxsexex1111sx11, 11s而.21收斂知根據(jù)比較審斂法I)(的反常積分含參變量s機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(1xsexxsxex1lim.)22I討論2lim xx0112d xexIxs.12收斂知根據(jù)極限審斂法I綜上所述 , 21)(IIs.0上收斂在s2. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 遞推公式機(jī)動(dòng) 目

11、錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證證: 0d) 1(xexsxs)0()() 1(ssss(分部積分)0dxsex01d0 xexsexxsxs)(ss注意到:0d) 1 (xex1有,N n)() 1(nnn) 1() 1(nnn) 1 (!n!n(2)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證證: ,) 1()(sss.)(,0ss時(shí)當(dāng)1) 1 (,0)(連續(xù)在且可證明ss)(,0ss時(shí)(3) 余元公式: ) 10()sin()1 ()(ssss有時(shí)當(dāng),21s)(21(證明略)(4)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 得令,2ux 的其他形式)(s)0(d)(01sxexsxs)0(d2)(0122suuessu,12ts再令,21 ts即得應(yīng)用中常見(jiàn)的積分) 1(2121d02ttueuut這表明左端的積分可用 函數(shù)來(lái)計(jì)算.例如,0d2ueu21212內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 兩類反常積分的比較審斂法比較審斂法和極限審斂法極限審斂法 . 2. 若