控制工程基礎(chǔ)第二章 數(shù)學(xué)模型ppt課件

1、 2019年控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)( (第二章）第二章） 建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上對控制系統(tǒng)進行分析、綜合，是機電控制工程的基本方法。如果將物理系統(tǒng)在信號傳遞過程中的動態(tài)特性用數(shù)學(xué)表達式描述出來，就得到了組成物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 經(jīng)典控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)。經(jīng)典控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)。而現(xiàn)代控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以狀態(tài)空間方程為基礎(chǔ)。而現(xiàn)代控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以狀態(tài)空間方程為基礎(chǔ)。而以物理定律及實驗規(guī)律為依據(jù)的微分方程又是最基本的數(shù)學(xué)而以物理定律及實驗規(guī)律為依據(jù)的微分方程又是最基本的數(shù)學(xué)模型，是列寫傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程的基礎(chǔ)。模

2、型，是列寫傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程的基礎(chǔ)。)()()(22txdtdmtvdtdmtfm1212( )( )( )( )( )( )( )kttf tk x tx tkx tkv tv tdtkv t dt1212( )( )( )( )( )( )( )DftD v tv tDv tdx tdx tDdtdtdx tDdtq 機械平移系統(tǒng)機械平移系統(tǒng)22( )( )( )( )( )( )( )( )iDkokoDodf tftf tmx tdtf tkx tdftDx tdtmmfi(t)kDxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fk(t) 機械平移系統(tǒng)機械平移系統(tǒng) 及其力學(xué)模型及其力

3、學(xué)模型fD(t)靜止平衡工作點作為靜止平衡工作點作為零點，以消除重力的影響零點，以消除重力的影響22( )( )( )( )oooiddmy tDy tky tf tdtdtq 彈簧阻尼系統(tǒng)彈簧阻尼系統(tǒng)xo(t)0fi(t)kD彈簧彈簧-阻尼系統(tǒng)阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)運動方程為一階常系數(shù)系統(tǒng)運動方程為一階常系數(shù)微分方程。微分方程。 ( )( )( )ooidDx tkx tf tdt( )( )( )iDkf tftftq 機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)k i(t) o(t)00Tk(t)TD(t)D粘性液體粘性液體齒輪齒輪J J 旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動慣量；旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動慣量； k 扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)； D 粘性阻

4、尼系數(shù)粘性阻尼系數(shù)柔性軸柔性軸22( )( )( )( )( )( )( )( )kioDookDTtkttdTtDtdtdJtTtTtdt22( )( )( )( )oooiddJtDtktktdtdt( )( )u tR i t 電容電容dttiCtu)(1)(Ci(t)u(t) 電感電感dttdiLtu)()(Li(t)u(t)dttiCtudttiCtidtdLtRituoi)(1)()(1)()()(q R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)無源電路網(wǎng)絡(luò)LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)無源電路網(wǎng)絡(luò)一般一般R R、L L、C C均為常數(shù)，上式為二階常系數(shù)微均為常數(shù)，上式為二階常

5、系數(shù)微分方程。分方程。 )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo若若L=0L=0，則系統(tǒng)簡化為：，則系統(tǒng)簡化為：)()()(tututudtdRCioo)()(0)(21titituaq 有源電路網(wǎng)絡(luò)有源電路網(wǎng)絡(luò)+ CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)adttduCRtuoi)()()()(tudttduRCio即：即： tedttdiLtiRtemaaaai tiKtTaT dttdKteoem 22dttdJdttdDtToo( )( )( )( )aoaaoaTeoTiL JtL DR JtR DK KtK e t)()()(teKtKKDRtJRiToe

6、Taoa )()()(2121xfxfxxf)()(xfxf)()()(2121xfxfxxf)()()()()()()()(111101111txbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn3003320022000)()(! 31)()(! 21 )()()()(xxxxdxxfdxxxxdxxfdxxxxdxxdfxfxfy)()()(000 xxxxdxxdfxfy0)(xxdxxdfK)()(),(202210112010202101202101xxxfxxxfxxfyxxxxxxxx22110 xKxKyyy

7、),(20100 xxfy 2021012021012211,xxxxxxxxxfKxfK0o.2( )sin( )( )iooT tmgltmltsino.2( )( )( )ooimltmgltT t)(0L0L0,xpfQLppxxLLppxxL0L0Lpp,xpfxx,xpf,xpfQL0L0L0L0)(LcqLpKxKQL0L0L0L0ppxxLLcppxxLqp,xpfKx,xpfK,dtydAQ)(dtydDdtydMAp22L)()()()()(xKdtydAADKdtydAMKqc22c)()()(txKtyAADKtyAMKqcc ( )( ( )y tf x t)(xfy

8、 yx,x222( )1( )( )( )()()2df xd f xyf xf xxxxxdxdxxxyK x ( )yyyyf x xxx x xdfKdx0)(limtfett0)()()(dtetftfLsFst0dtest0,)(21)()(1tdsesFjsFLtfjjst0100)( 1ttt)0)(Re(101 )(1)(10ssesdtettLststatetf)()0)(Re(,1 0)(0asasdtedteeeLtasstatat0sinsindtettLst0coscosdtettLsttjtjtjtjeeteejt21cos21sin0)Re(112121sin22

9、00ssjsjsjdteedteejtLsttjsttj22cossstL)0(1lim)0(0)(0tttt且)1 (1lim1lim)(000sstesdtetL)()1 (lim)1 (1lim00seesss1lim)(0setL000)(ttttf0)Re(1)(2000ssdtsesetdttetfLststst02100)(2ttttf0)Re(121)(302ssdtettfLst ttn1 11001!1nnstnunnnL ttt edtu e duss0)()(dtetftfLst000)()()()(dtetftfLdtetftfLstst0)()0(),0()()(t

10、tfffssFdttdfL)0()0()0()()()0()0()()()1(21222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdL)()()()()()(222sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfLnnn)0()()()0()()(fssFdttdfLfssFdttdfL), 3, 2, 1()() 1()()()()()(222ntftLsFdsdtftLsFdsdttfLsFdsdnnnn0)()0(,)0()()()1()1(tdttffsfssFdttfL)(1)(sFsdttfLsfssFdttfLsfssFdttfL)0()()()0()()(

11、)1()1()(1)(sFsdttfLnn)0(1)0(1)(1)()1()1(1nnnnfsfssFsdttfL sXeatatxLas1)()(asFtfeLat2222cossinsstLstL2222)()(cos)(sinasasteLasteLatat)(lim)0()(lim0ssFftfst)(lim)()(lim0ssFftfst)(limtft)()()()(sGsFtgtfLttdtgfdgtftgtf00)()()()()(*)()0tL faF asaa常數(shù) 11)(ssFeLt1)(/asaasaFeLattfa)()()()(11101110mnasasasabs

12、bsbsbsAsBsFnnnnmmmm)()()()()(2101110nmmmpspspscscscscsAsBsFniiinnpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(ipsiipssFA)()(nitpiniiiieApsALsFL1111)()6(2)(22ssssssF23)2)(3(2)6(2)(321222sAsAsAsssssssssssF31)2)(3(2)(0201ssssssssFA158)2(2)() 3(3232sssssssFsA54)3(2)()2(2223sssssssFsA)0(5415831)()(231teesFLtftt215431158

13、131)(ssssFnnpsApsApspsAsAsAsBsF332121)()()()(21212121)()(pspspspsAsApspssF或或niiinnpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(ipsiipssFA)()()1(1)(2sssssF1232123211)(2210ssAsAsAjsjssssF1)(00sssFA23212123212)()() 1(jsjsAsAsFss0, 123)(2321)(21212121AAAAAA11)(2sssssF2223211sss22222321212321211ssss2222232123312321211ss

14、sstetetftt23sin3123cos1)(22ttet23sin2123cos2332120,6023sin3212ttet sssssX231 sajsajsasssssX321232321232116321232112321231jjsssssajs63212ja那么那么110233ssssssa sjsjjsjsssssX12321632123216321123 131322221213131 12626333sincos1 1322jtjttx tjejetettt )()()()()()(101110nrrmmmmpspspsbsbsbsbsAsBsF)()()()()(11

15、001002001nnrrrrrpsApsApsApsApsA0)(001pspssFAr0)(002pspssFdsdAr0)(! 2102203pspssFdsdAr0)()!1(10110pspssFdsdrArrrrtpnnentpsL0)!1()(1101)0( )!2()!1()()(10102021011teAeAeAtrAtrAsFLtftpntprtprrrnr) 1()2(3)(2ssssF12)2()(302201sAsAsAsF12132)2)(201ssssssFA2 2) 1() 1)(3() 1()3( 2132)2)(2202sssssssssdsdsssFds

16、dA21) 1)(3sssFA1222)2(1)(2ssssF)0(2)2()()(21teetsFLtfttl 借用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程借用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程 求解步驟求解步驟q 將微分方程通過拉氏變換變?yōu)閷⑽⒎址匠掏ㄟ^拉氏變換變?yōu)?s 的代數(shù)方的代數(shù)方q 程；程； q 解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表q 達式；達式；q 應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。 原函數(shù)原函數(shù)（微分方程的解）（微分方程的解）象函數(shù)象函數(shù)微分方程微分方程象函數(shù)的象函數(shù)的代數(shù)方程代數(shù)方程拉氏反變換拉氏反變換拉氏變換拉氏變

17、換解解代代數(shù)數(shù)方方程程拉氏變換法求解線性微分方程的過程拉氏變換法求解線性微分方程的過程 實例實例)()(6)(5)(22txtxdttdxdttxdiooo設(shè)系統(tǒng)微分方程為：設(shè)系統(tǒng)微分方程為：若若xi (t) =1(t)，初始條件分別為，初始條件分別為xo(0)、xo(0)，試求，試求xo(t)。解：對微分方程左邊進行拉氏變換解：對微分方程左邊進行拉氏變換)0()0()()(222ooooxsxsXsdttxdL)0()0()5()()65()(6)(5)(222ooooooxxssXsstxdttdxdttxdL)0(5)(5)(5oooxssXdttdxL)(6)(6sXtxLoostLs

18、XtxLii1)( 1)()(323265)0()0()5()65(1)(2132122sBsBsAsAsAssxxsssssXooosxxssXssooo1)0()0()5()()65(261065121sssA212) 3(12sssA313)2(13sssA)0()0(323)0()0()5(1ooooxxssxxsB)0()0(232)0()0()5(2ooooxxssxxsB) 0( ) 0() 0(2) 0() 0(3 312161)(3232texxexxeetxtootootto)0312161)(32teetxtto3)0()0(22)0()0(333122161)(sxxs

19、xxssssXoooooq 應(yīng)用拉氏變換法求解微分方程時，由于初始應(yīng)用拉氏變換法求解微分方程時，由于初始q 條件已自動地包含在微分方程的拉氏變換條件已自動地包含在微分方程的拉氏變換式式q 中，因此，不需要根據(jù)初始條件求積分常中，因此，不需要根據(jù)初始條件求積分常數(shù)數(shù)q 的值就可得到微分方程的全解。的值就可得到微分方程的全解。 q 如果所有的初始條件為零，微分方程的如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏變換可以簡單地用拉氏變換可以簡單地用sn代替代替dn/dtn得到。得到。 由上述實例可見：由上述實例可見：五、傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)五、傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)l 傳遞函數(shù)的概念和定義

20、傳遞函數(shù)的概念和定義 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。比。 零初始條件：零初始條件：q t0時，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為時，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為0；q 輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即的工作狀態(tài)，即t 0 時，輸出量及其各階時，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也均為導(dǎo)數(shù)也均為0；)()()(sXsXsGio)()()()()()()()(111)(00111)(0txatxbtxbtxbtxatxatxatxaimim

21、miminonnononnnnmmmmioasasasabsbsbsbsXsXsG11101110)()()(等效彈性剛度等效彈性剛度 力學(xué)模型力學(xué)模型 時域方程時域方程 拉氏變換式拉氏變換式 等效彈簧等效彈簧剛度剛度 彈簧彈簧 k x(t) tkxtf skXsF k 阻尼器阻尼器 D x(t) txDtf sDsXsF Ds 質(zhì)量質(zhì)量 M x(t) txMtf sXMssF2 2Ms 22( )( )( )( )oooiddmx tDx tkx tf tdtdt2( )( )( )( )oooims XsDsXskXsF s2( )1( )( )oiXsG sF smsDsk21( )(

22、)1( )11oiUsCsG sU sLsRCsLCsRCsq 幾點結(jié)論幾點結(jié)論 傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)s域中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，域中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型， 其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)， 與 系統(tǒng)的輸入形式無關(guān)。與 系統(tǒng)的輸入形式無關(guān)。 若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函數(shù)函數(shù)G(s) 決議，即傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)內(nèi)在決議，即傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)內(nèi)在的固有動態(tài)特性。的固有動態(tài)特性。 傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的固有特性。即以系統(tǒng)外部關(guān)系來描述系統(tǒng)的固有特性。即

23、以系統(tǒng)外部的輸入輸出特性來描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。的輸入輸出特性來描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。 傳遞函數(shù)的一般形式傳遞函數(shù)的一般形式)()()()()()()()()(111101111mntxbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio考慮線性定常系統(tǒng)考慮線性定常系統(tǒng)當初始條件全為零時，對上式進行拉氏變換當初始條件全為零時，對上式進行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：1011( )mmmmN sb sb s

24、bsb1011( )nnnnD sa sa sasa令：令：( )( )( )( )( )oiXsN sG sX sD s那么：那么：D(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為系統(tǒng)稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為系統(tǒng)的特征根。特征方程決定著系統(tǒng)的動態(tài)特性。的特征根。特征方程決定著系統(tǒng)的動態(tài)特性。D(s)中中s的最高階次等于系統(tǒng)的階次。的最高階次等于系統(tǒng)的階次。l 特征方程、零點和極點特征方程、零點和極點 特征方程特征方程式中，式中，K K稱為系統(tǒng)的放大系數(shù)或增益。稱為系統(tǒng)的放大系數(shù)或增益。當當s=0s=0時：時： G(0)=bm/an=K G(0)=bm/an=K從微分方程的角度看，此時相當于所有的

25、從微分方程的角度看，此時相當于所有的導(dǎo)數(shù)項都為零。因此導(dǎo)數(shù)項都為零。因此K K 反應(yīng)了系統(tǒng)處于靜反應(yīng)了系統(tǒng)處于靜態(tài)時，輸出與輸入的比值。態(tài)時，輸出與輸入的比值。 零點和極點零點和極點 )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG將將G(s)寫成下面的形式寫成下面的形式 D(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根的根s=pj (j=1, 2, , n)，稱為傳遞函數(shù)的極點；，稱為傳遞函數(shù)的極點；式中，式中，N(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根的根s=zi (i=1, 2, , m)，稱為傳遞函數(shù)的零點；，稱為傳遞函

26、數(shù)的零點；系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點就是系統(tǒng)的特征根。零點系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點就是系統(tǒng)的特征根。零點和極點的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。和極點的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。 零、極點分布圖零、極點分布圖 將傳遞函數(shù)的零、將傳遞函數(shù)的零、極點表示在復(fù)平面極點表示在復(fù)平面上的圖形稱為傳遞上的圖形稱為傳遞函數(shù)的零、極點分函數(shù)的零、極點分布圖。圖中，零點布圖。圖中，零點用用“O“O表示，極表示，極點用點用“”表示。表示。 G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零極點分布圖的零極點分布圖0 12312-1-2-3-1-2 jl 傳遞函數(shù)的幾點說明傳遞函數(shù)的幾點說明 傳遞函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定

27、常傳遞函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定常 系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系式；傳遞函系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系式；傳遞函 數(shù)的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)；數(shù)的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)； 傳遞函數(shù)是傳遞函數(shù)是 s 的復(fù)變函數(shù)。傳遞函數(shù)中的各的復(fù)變函數(shù)。傳遞函數(shù)中的各 項系數(shù)和相應(yīng)微分方程中的各項系數(shù)對應(yīng)相項系數(shù)和相應(yīng)微分方程中的各項系數(shù)對應(yīng)相 等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)；等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)； 傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零 時刻之前，系統(tǒng)對所給定的平衡工作點處于時刻之前，系統(tǒng)對所給定的平衡工作點處于 相對靜止狀態(tài)。因此，傳遞函數(shù)不反映系統(tǒng)

28、相對靜止狀態(tài)。因此，傳遞函數(shù)不反映系統(tǒng) 在非零初始條件下的全部運動規(guī)律；在非零初始條件下的全部運動規(guī)律； 傳遞函數(shù)只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系，傳遞函數(shù)只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系， 無法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況。無法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況。 一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入對一個一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入對一個輸出的關(guān)系，適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的輸出的關(guān)系，適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述。描述。 l 脈沖響應(yīng)函數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù) 初始條件為初始條件為0 0時，系統(tǒng)在單位脈沖輸入作用下時，系統(tǒng)在單位脈沖輸入作用下的輸出響應(yīng)的拉氏變換為的輸出響應(yīng)的拉氏變換為)()()()(sGsXsGsY

29、拉氏反變換拉氏反變換)()()()(11tgsGLsYLtyg(t)稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)權(quán)函數(shù)）。稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)權(quán)函數(shù)）。系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)與傳遞函數(shù)包含關(guān)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)與傳遞函數(shù)包含關(guān)于系統(tǒng)動態(tài)特性的相同信息。于系統(tǒng)動態(tài)特性的相同信息。注意到復(fù)數(shù)域相乘等同于時域內(nèi)卷積，因此，注意到復(fù)數(shù)域相乘等同于時域內(nèi)卷積，因此，由：由：)()()(sXsGsY知線性系統(tǒng)在任意輸入作用下，其時域輸出知線性系統(tǒng)在任意輸入作用下，其時域輸出ttdtgxdtxgtxtgty00)()()()()()()(式中，當式中，當t 0t 0時，時，g(t) = x(t) = 0g(t) = x(t) = 0

30、。l 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 環(huán)節(jié)環(huán)節(jié) 具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個環(huán)節(jié)。經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)元件的一部分稱為一個環(huán)節(jié)。經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。稱為典型環(huán)節(jié)。 任何復(fù)雜的系統(tǒng)總可歸結(jié)為由一些典型任何復(fù)雜的系統(tǒng)總可歸結(jié)為由一些典型環(huán)節(jié)所組成。環(huán)節(jié)所組成。 環(huán)節(jié)的分類環(huán)節(jié)的分類 )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsXsXsG假設(shè)系統(tǒng)有假設(shè)系統(tǒng)有b個實零點，個實零點，c 對復(fù)零點，對復(fù)零點，d 個個實極點，實極點，e對復(fù)極點和對復(fù)極點和v個零極點，由線性系個零極點，由線性

31、系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零、極點表達式統(tǒng)傳遞函數(shù)的零、極點表達式可見可見 b+2c = m v+d+2e = niiiiiisszs1),1(1jjjjjjTsTTsps1),1(1對于實零點對于實零點zi=i和實極點和實極點pj=j ，其，其因式可以變換成如下形式：因式可以變換成如下形式：1222222()()()() 21 (21)szszsjsjssss 對于復(fù)零點對對于復(fù)零點對z=+j和和z+1= j ，其因式可以變換成如下形式：，其因式可以變換成如下形式：22221, 式中，式中，對于復(fù)極點對對于復(fù)極點對pk=k+jk和和pk+1=k jk ，其因式可以變換成如下形式：，其因式可以變換成如下形

32、式：1222222()()()() 21 (21)kkkkkkkkkkkkkspspsjsjssT sT sT22221, kkkkkkkT式中，式中，22112211(1)(21)( )(1)(21)bciidevjkkkjkKsssG ssT sT sT s 于是，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以寫成：于是，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以寫成：ekkdjjcbiiTTabK1211210011式中，式中，為系統(tǒng)靜態(tài)放大倍數(shù)。為系統(tǒng)靜態(tài)放大倍數(shù)。2222111,1,21,121KssssTsT sTs由上式可見，傳遞函數(shù)表達式包含六種不同的由上式可見，傳遞函數(shù)表達式包含六種不同的因子，即：因子，即：普通，任何線性系統(tǒng)

33、都可以看作是由上述普通，任何線性系統(tǒng)都可以看作是由上述六種因子表示的典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)組合。上六種因子表示的典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)組合。上述六種典型環(huán)節(jié)分別稱為：述六種典型環(huán)節(jié)分別稱為：比例環(huán)節(jié)：比例環(huán)節(jié)：K一階微分環(huán)節(jié)：一階微分環(huán)節(jié)： s+12221ss二階微分環(huán)節(jié)：二階微分環(huán)節(jié)：s1積分環(huán)節(jié)：積分環(huán)節(jié)：11Ts慣性環(huán)節(jié)：慣性環(huán)節(jié)：22121T sTs振蕩環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)：)()(sXesXiso實際系統(tǒng)中還存在純時間延遲現(xiàn)象，輸出完全實際系統(tǒng)中還存在純時間延遲現(xiàn)象，輸出完全復(fù)現(xiàn)輸入，但延遲了時間復(fù)現(xiàn)輸入，但延遲了時間，即，即xo(t)=xi(t-)，此時：此時：sesG)(或：或：se因此，除了上述六種

34、典型環(huán)節(jié)外，還有一類典因此，除了上述六種典型環(huán)節(jié)外，還有一類典型環(huán)節(jié)型環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié) 。 典型環(huán)節(jié)示例典型環(huán)節(jié)示例 q 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關(guān)系。比例關(guān)系。其運動方程為：其運動方程為：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)分別為環(huán)節(jié)的輸出和輸入量；分別為環(huán)節(jié)的輸出和輸入量；K比例系數(shù)，等于輸出量與輸入量之比。比例系數(shù)，等于輸出量與輸入量之比。KsXsXsGio)()()(比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：z1z2ni(t)no(t)齒輪傳動副齒輪傳動副R2R1ui(t)uo(t)比例運算放大

35、器比例運算放大器KzzsNsNsGio21)()()(KRRsUsUsGio12)()()(q 一階慣性環(huán)節(jié)一階慣性環(huán)節(jié))()()(tKxtxtxdtdTioo1)()()(TsKsXsXsGio凡運動方程為下面一階微分方程凡運動方程為下面一階微分方程形式的環(huán)節(jié)稱為一階慣性環(huán)節(jié)。其傳遞函數(shù)為：形式的環(huán)節(jié)稱為一階慣性環(huán)節(jié)。其傳遞函數(shù)為： T時間常數(shù)，表征環(huán)節(jié)的慣性，和時間常數(shù)，表征環(huán)節(jié)的慣性，和 環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)式中，式中，K環(huán)節(jié)增益放大系數(shù)）；環(huán)節(jié)增益放大系數(shù)）；( )( )( )ooidx tDKx tKx tdt1( ),1KDG sTDskTsK如：彈簧如：彈簧-阻尼器環(huán)

36、節(jié)阻尼器環(huán)節(jié)xi(t)xo(t)彈簧彈簧-阻尼器組成的環(huán)節(jié)阻尼器組成的環(huán)節(jié)KDq 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié) 輸出量正比于輸入量的微分。輸出量正比于輸入量的微分。dttdxtxio)()(運動方程為：運動方程為：ssXsXsGio)()()(傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為：式中，式中，微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)dttdKtuito)()(sKssUsGtio)()()(如：測速發(fā)電機如：測速發(fā)電機uo(t) i (t)測測 速速 發(fā)發(fā) 電電 機機式中，式中， Kt Kt為電機為電機常數(shù)。常數(shù)。 無負載時無負載時RCui(t)uo(t)i(t)無源微分網(wǎng)絡(luò)無源微分網(wǎng)絡(luò)無源微分網(wǎng)絡(luò)無源微分網(wǎng)絡(luò) Rtitu

37、RtidttiCtuoi)()()()(1)(RCTTsTsRCsRCssG,11)(顯然，無源微分網(wǎng)絡(luò)包括有慣性環(huán)節(jié)和微顯然，無源微分網(wǎng)絡(luò)包括有慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)，稱之為慣性微分環(huán)節(jié)，只有當分環(huán)節(jié)，稱之為慣性微分環(huán)節(jié)，只有當|Ts|1|Ts|1時，才近似為微分環(huán)節(jié)。時，才近似為微分環(huán)節(jié)。 在物理系統(tǒng)中輸入輸出同量綱的微分環(huán)節(jié)在物理系統(tǒng)中輸入輸出同量綱的微分環(huán)節(jié)很難獨立存在，經(jīng)常和其它環(huán)節(jié)一起出現(xiàn)。很難獨立存在，經(jīng)常和其它環(huán)節(jié)一起出現(xiàn)。) 1()()()(sKsXsXsGio除了上述微分環(huán)節(jié)外，還有一類一階微分環(huán)除了上述微分環(huán)節(jié)外，還有一類一階微分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為：節(jié)，其傳遞函數(shù)為：微分環(huán)節(jié)

38、的輸出是輸入的導(dǎo)數(shù)，即輸出反微分環(huán)節(jié)的輸出是輸入的導(dǎo)數(shù)，即輸出反映了輸入信號的變化趨勢，從而給系統(tǒng)以映了輸入信號的變化趨勢，從而給系統(tǒng)以有關(guān)輸入變化趨勢的預(yù)告。因此，微分環(huán)有關(guān)輸入變化趨勢的預(yù)告。因此，微分環(huán)節(jié)常用來改善控制系統(tǒng)的動態(tài)性能。節(jié)常用來改善控制系統(tǒng)的動態(tài)性能。q 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)輸出量正比于輸入量對時間的積分。輸出量正比于輸入量對時間的積分。 tiodttxTtx0)(1)(運動方程為：運動方程為：TssXsXsGio1)()()(傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為：AtTAdtTtxto11)(0積分環(huán)節(jié)特點：積分環(huán)節(jié)特點： 輸出量取決于輸入量對時間的積累過程。輸出量取決于輸入量對時間的積累

39、過程。 具有明顯的滯后作用。具有明顯的滯后作用。積分環(huán)節(jié)常用來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。積分環(huán)節(jié)常用來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。如當輸入量為常值如當輸入量為常值 A A 時，由于時，由于輸出量須經(jīng)過時間輸出量須經(jīng)過時間T T才能達到輸入量在才能達到輸入量在t t = 0= 0時的值時的值A(chǔ) A。如：有源積分網(wǎng)絡(luò)如：有源積分網(wǎng)絡(luò) + CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a)()(tudttduRCioRCTTsRCssG,11)(q 二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)含有兩個獨立的儲能元件，且所存儲的能量含有兩個獨立的儲能元件，且所存儲的能量能夠相互轉(zhuǎn)換，從而導(dǎo)致輸出帶有振蕩的性能夠相互轉(zhuǎn)換，從而導(dǎo)致輸出帶有

40、振蕩的性質(zhì)，運動方程為：質(zhì)，運動方程為： 222( )2( )( )( ),01oooiddTx tTx tx tKx tdtdt22( )( )( )21oiXsKG sX sT sTs傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：式中，式中，T振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù) 阻尼比，對于振蕩環(huán)節(jié)，阻尼比，對于振蕩環(huán)節(jié)，0 p=1 -12 0 25 126p = 1 -12 0 25 126在在MATLABMATLAB中，用中，用numnum和和denden分別表示分別表示F(s)F(s)的分子的分子和分母多項式，即：和分母多項式，即：num = b0 b1 bmnum = b0 b1 bm den = a0

41、a1 an den = a0 a1 an然后利用下面的語句就可以表示這個系統(tǒng)然后利用下面的語句就可以表示這個系統(tǒng) sys=tf(num,den) sys=tf(num,den)其中其中tf()tf()代表傳遞函數(shù)的形式描述系統(tǒng)，代表傳遞函數(shù)的形式描述系統(tǒng)，還可以用零極點形式來描述，語句為還可以用零極點形式來描述，語句為 z=1 2; z=1 2; p=-1 -2 -3;p=-1 -2 -3;k=4;k=4;sys=zpk(z,p,k)sys=zpk(z,p,k)4 (s-1) (s-2)-(s+1) (s+2) (s+3)而且傳遞函數(shù)形式和零極點形式之間可以相互轉(zhuǎn)化，而且傳遞函數(shù)形式和零極點形

42、式之間可以相互轉(zhuǎn)化，語句為語句為 z,p,k = tf2zp(num,den) z,p,k = tf2zp(num,den) num,den = zp2tf(z,p,k) num,den = zp2tf(z,p,k)den1 = 1 2 2den2 = 2 3 3 2den = 2 7 13 14 10 4z=1; 2; z=1; 2; p=-1; -2; -3;p=-1; -2; -3;k=4;k=4;num,den = zp2tf(z,p,k)當傳遞函數(shù)復(fù)雜時，應(yīng)用多項式乘法函數(shù)當傳遞函數(shù)復(fù)雜時，應(yīng)用多項式乘法函數(shù)conv()conv()等等實現(xiàn)。例如實現(xiàn)。例如 den1=1,2,2 de

43、n1=1,2,2 den2=2,3,3,2 den2=2,3,3,2 den=conv(den1,den2) den=conv(den1,den2)計算閉環(huán)傳遞函數(shù)計算閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的基本連接方式有三種：系統(tǒng)的基本連接方式有三種： 串連、并聯(lián)和反饋串連、并聯(lián)和反饋串連：串連：sys=series(sys1,sys2)并聯(lián)：并聯(lián)：sys=parallel(sys1,sys2)反響：反響：sys=feedback(sys1,sys2,-1)如果是單位反饋系統(tǒng)，則可使用如果是單位反饋系統(tǒng)，則可使用cloop()函數(shù)，函數(shù)，sys=cloop(sys1,-1) 用用MATLAB展開部分分式展開部分分式設(shè)：設(shè)：nnnnmmmmasasasabsbsbsbsAsBsF11101110)()()(l應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例用用numnum和和denden分別表示分別表示F(s)F(s)的分子和分母多項式，的分子和分母多項式，即：即：num = b0 b1 bmnum = b0 b1