4-2隨機(jī)變量的方差和矩

1、一、隨機(jī)變量方差的定義及性質(zhì)一、隨機(jī)變量方差的定義及性質(zhì)三、例題講解三、例題講解二、常見(jiàn)概率分布的方差二、常見(jiàn)概率分布的方差四、矩的概念四、矩的概念第二節(jié)第二節(jié) 隨機(jī)變量的方差和矩隨機(jī)變量的方差和矩五、小結(jié)五、小結(jié)).(,)(.)()()(),()(,)(,)(,XXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX記為記為為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差稱稱即即或或記為記為的方差的方差為為則稱則稱存在存在若若是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量設(shè)設(shè)22222 1. 方差的定義方差的定義一、隨機(jī)變量方差的定義及性質(zhì)一、隨機(jī)變量方差的定義及性質(zhì)方差描述了隨機(jī)變量方差描述了隨機(jī)變量X X取值對(duì)于數(shù)學(xué)取值對(duì)于數(shù)學(xué)期

2、望的分散程度期望的分散程度. . 如果如果D(X)D(X)值大值大, , 表示表示X X 取值分散程度大取值分散程度大; ; 而如果而如果D(X)D(X)值小值小, , 則表則表示示X X 的取值比較集中的取值比較集中. .2. 方差的意義方差的意義離散型隨機(jī)變量的方差離散型隨機(jī)變量的方差 ,)()(12kkkpXExXD 連續(xù)型隨機(jī)變量的方差連續(xù)型隨機(jī)變量的方差,d)()()(2xxpXExXD 3. 方差的計(jì)算方差的計(jì)算 (1) 利用定義計(jì)算利用定義計(jì)算 .)(的概率密度的概率密度為為其中其中Xxp., 2 , 1,的分布律的分布律是是其中其中XkpxXPkk .)()()(22XEXEX

3、D 證明證明)()(2XEXEXD )()(222XEXXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE 22)()(XEXE (2) 利用公式計(jì)算利用公式計(jì)算).()(22XEXE 證明證明22)()()(CECECD 4. 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)(1) 設(shè)設(shè) C 是常數(shù)是常數(shù), 則有則有. 0)( CD22CC . 0 (2) 設(shè)設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量, C 是常數(shù)是常數(shù), 則有則有).()(2XDCCXD 證明證明)(CXD)(22XEXEC ).(2XDC )(2CXECXE ).()()(YDXDYXD (3) 設(shè)設(shè) X, Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, D(X), D(Y) 存

4、在存在, 則則證明證明)()()(2YXEYXEYXD 2)()(YEYXEXE )()(2)()(22YEYXEXEYEYEXEXE ).()(YDXD 推廣推廣).()()()(22221212211nnnnXDaXDaXDaXaXaXaD 則有則有相互獨(dú)立相互獨(dú)立若若,21nXXX即即取常數(shù)取常數(shù)以概率以概率的充要條件是的充要條件是,CX)X(D)(104 . 1 CXP25)()(),()(CXEXDXEC 則則若若契比雪夫不等式契比雪夫不等式證明證明.,)(,)(222成立成立不等式不等式則對(duì)于任意正數(shù)則對(duì)于任意正數(shù)方差方差具有數(shù)學(xué)期望具有數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量定理定理XPXD

5、XEX 對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的情況來(lái)證明對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的情況來(lái)證明.則有則有的概率密度為的概率密度為設(shè)設(shè)),(xpX 契比雪夫不等式契比雪夫不等式契比雪夫契比雪夫.22XP xxpxd)()(221.122 xxpxxd)( 2222XP .122XP 得得XP xxxpd)(16006006,(, ).XXB解解： 設(shè)設(shè)表表示示粒粒種種子子中中的的良良種種數(shù)數(shù) 則則115 EX600, DX600.666 X1X-100 P0 02 P0 026006600.由由切切比比曉曉夫夫不不等等式式有有4213. 01446561600112112100-XP2DX6161例例 假設(shè)一批種子的良種率為

6、假設(shè)一批種子的良種率為 ，從中任意選出，從中任意選出600粒，試用切比曉夫（粒，試用切比曉夫（Chebyshev）不等式估計(jì)：這）不等式估計(jì)：這600粒種子中良種所占比例與粒種子中良種所占比例與 之差的絕對(duì)值不超之差的絕對(duì)值不超過(guò)過(guò)0.02的概率。的概率。例例 在每次試驗(yàn)中在每次試驗(yàn)中,事件事件A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為0.5.(1)利用切比謝夫不等式估計(jì)在利用切比謝夫不等式估計(jì)在1000次獨(dú)立試驗(yàn)中次獨(dú)立試驗(yàn)中,事件事件A發(fā)生的次數(shù)在發(fā)生的次數(shù)在400 600之間的概率之間的概率;(2)要使要使A出現(xiàn)的頻率在出現(xiàn)的頻率在0.35 0.65之間的概率不小之間的概率不小于于0.95,至少需要多少

7、次重復(fù)試驗(yàn)至少需要多少次重復(fù)試驗(yàn)?解解: 設(shè)設(shè)X表示表示1000次獨(dú)立試驗(yàn)中事件次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù), 則則 X B(1000,0.5), E(X)=10000.5=500, 975. 01002501100)(1100| )(|50060050050040060040022 XDXEXPXPXPD(X)=1000 0.5 0.5=250, 于是由切比謝夫不等式于是由切比謝夫不等式得得(2)設(shè)需要做設(shè)需要做n次獨(dú)立試驗(yàn)次獨(dú)立試驗(yàn),則則X B(n,0.5),求求n使得使得 成立成立.由切比謝夫不等式得由切比謝夫不等式得故至少需要做故至少需要做223次獨(dú)立試驗(yàn)次獨(dú)立試驗(yàn). 95.

8、 015. 05 . 05 . 065. 05 . 05 . 035. 065. 035. 0 nnXPnnnXnnPnXP220 250 50 15110 150 15110 95222 20 9.( .)( .).,.DXnPXnnnnnn 只只要要1. 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布 qpXE 01)(Xp01pp 1已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量 X 的分布律為的分布律為則有則有, p 22)()()(XEXEXD 222101p)p(p ppq 二、常見(jiàn)概率分布的方差二、常見(jiàn)概率分布的方差2. 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 ), 2 , 1 , 0( ,)1(nkppknkXPknk . 10 p則有則有 設(shè)隨機(jī)變

9、量設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 n, p 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布,其分布律為其分布律為npppknkEXknknk )1(0)1()(2XXXEXE )()1(XEXXE npppCkkknknkkn )1()1(0npppknknkkknknk )1()!( !)1(0nppppnnn 22)1()1(.)(22nppnn 22)()()(XEXEXD 222)()(npnppnn ).1(pnp npppkknnpnnknknk )2()2(222)1()!2()!()!2()1()1(pnp 3. 泊松分布泊松分布 . 0, 2 , 1 , 0,! kekkXPk則有則有 0!)(kk

10、ekkXE 11)!1(kkke ee . 且且分分布布律律為為設(shè)設(shè)),(PX )1()(2XXXEXE )()1(XEXXE 0!)1(kkekkk 222)!2(kkke ee2.2 所以所以22)()()(XEXEXD 22 . . 都等于參數(shù)都等于參數(shù)泊松分布的期望和方差泊松分布的期望和方差 4. 均勻分布均勻分布則有則有xxxpXEd)()( baxxabd1).(21ba ., 0,1)(其它其它bxaabxp其概率密度為其概率密度為設(shè)設(shè)),(baUX).(21ba 結(jié)論結(jié)論 均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn)均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn).22)()()(XEXEXD 222d1

11、 baxabxba.12)(2ab 12)(2ab 5. 指數(shù)分布指數(shù)分布 . 0. 0, 0, 0,)(, 其中其中其概率密度為其概率密度為服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量xxexpXx則有則有xxxpXEd)()( xexxd0 ./1 22)()()(XEXEXD 202/1d xexx22/1/2 21/1/.指數(shù)分布的期望和方差分別為和21 6. 正態(tài)分布正態(tài)分布其概率密度為其概率密度為設(shè)設(shè)),(2NX則有則有xxxfXEd)()( xexxd21222)( tx 令令, tx ., 0,21)(222)( xexfx. ttetettd2d212222 xexXExd2

12、1)(222)( 所所以以tettd)(2122 xexxd21)(222)(2 xxfxXDd)()()(2 得得令令, tx tetXDtd2)(2222 tetettd222222 2202.2 .2 和和分別為兩個(gè)參數(shù)分別為兩個(gè)參數(shù)正態(tài)分布的期望和方差正態(tài)分布的期望和方差2分布名稱分布名稱參數(shù)參數(shù)數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望方差方差兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布泊松分布泊松分布均勻分布均勻分布指數(shù)分布指數(shù)分布正態(tài)分布正態(tài)分布幾何分布幾何分布10 pp)1(pp 10, 1 pnnp)1(pnp 0 ba 2ba 12)(2ab 0 /12/1 0, 210 pp/12/ )1 (pp分布分布參數(shù)

13、參數(shù)數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望方差方差Gamma分布分布0, /2/ ).(.,)(XDxxxxxpX求求其它其它具有概率密度具有概率密度設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 0101011解解 1001d)1(d)1()(xxxxxxXE, 0 三、例題三、例題例例1 1 1020122d)1(d)1()(xxxxxxXE,61 于是于是22)()()(XEXEXD 2061 .61 例例 20 1., , |X YUE XYD XY設(shè)設(shè)，且且相相互互獨(dú)獨(dú)立立。求求：和和解：解：xy011101101101 01( ),( ),( , ),.XYfxxfyyf x yxy: |E XYE XYD XYD XY注注意意

14、1002() xdxxy dy122022 () xxdx3122() D XYE XYE XY2E XY1 10 0|( , )|E XYxyf x y dxdyxy dxdy 110000()() yxdxxy dydyyx dx xy0 xy 111 1220 0|( , )|xyf x y dxdyxydxdy 61)2(101022dxdyyxyx22)(YXEYXEYXD則：181)31(612思考題：若思考題：若且它們獨(dú)立，),(),(22NYNX|,|YXDYXE求：10102)(dxdyyx)44(2 XXE44)(2 EXEXDX434352 .30 .30)2(2 XE所

15、所以以解解)44()2(22 XXEXE4)(4)(2 XEXE.)2(, 5)(, 3)(2 XEXDXE求求已知已知例例3 3.)(;,)(:,)(.,)(的數(shù)學(xué)期望與方差的數(shù)學(xué)期望與方差隨機(jī)變量隨機(jī)變量的值的值求求且已知且已知其它其它的概率密度為的概率密度為設(shè)隨機(jī)量設(shè)隨機(jī)量XeYcbaXPXExbcxxaxxpX 213431304220 解解,d)()(11 xxp因?yàn)橐驗(yàn)槔? 4xbcxxxaxxXEd)(d)(4220 , 2)( XE, 2 bca 35638,4331 XP,432523d)(d2132 bcaxbcxxax,262bca 2042dd1xbcxxax所以所以

16、, 1 b,41 a解之得解之得.41 c .432523, 235638, 1622cbabcacba因此有因此有,)1(16124 e22)()()(XXXEeeEeD 得得22224)1(41)1(161 ee.)1(41222 eexxexxeeExxXd)141(d41)()2(4220 ,)1(4122 exxexxeeExxXd)141(d41)(4222022 證明證明, 1 n.)(,., !)(1120000 nnnXPnxxnexxpXxn試證試證為正整數(shù)為正整數(shù)其中其中的分布密度為的分布密度為設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量xxpxXEd)()( 22xexxnxnd!102 例例

17、5 5xexxnxxxpXExnd!d)()( 01因?yàn)橐驗(yàn)?) 1() 1)(2( nnn1) 1() 1( nnXnP1)1( nnXP201=d!nxxx exn ),1)(2( nn. 1 n22)()()(EXXEXD 所以所以)1(20 nXP又因?yàn)橛忠驗(yàn)?)1(11 nn.1 nn.1)1(20 nnnXP)1()(1 nXEXP2)1()(1 nXD1)( nXEXP故得故得.,.,),04. 0,50.22(),03. 0 ,40.22()cm(22的概率的概率求活塞能裝入氣缸求活塞能裝入氣缸任取一只氣缸任取一只氣缸任取一只活塞任取一只活塞相互獨(dú)立相互獨(dú)立氣缸的直徑氣缸的直徑

18、計(jì)計(jì)以以設(shè)活塞的直徑設(shè)活塞的直徑Y(jié)XNYNX解解),04. 0,50.22(),03. 0 ,40.22(22NYNX因?yàn)橐驗(yàn)?,0025. 0 ,10. 0( NYX所以所以0 YXPYXP故有故有 0025. 0)10. 0(00025. 0)10. 0()(YXP)2( .9772. 0 例例6 6).(,.,cos)(YDXYxxxpX的方差的方差求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量其它其它的概率密度為的概率密度為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量2020 解解xxpxXEd)()( 22, 24dcos2022 xxxxxpxXEd)()( 44 204dcosxxx例例7 7,)()()(22XEX

19、EXD 因?yàn)橐驗(yàn)?2242424316 .2202 ,2431624 2242)()()(XEXEXD 所以所以不等式證明：利用Chebyshev，則若10EXXPDX0EXXPEXXP0EXXP01EXXP110nnEXXPEXXP而11nnEXXP不等式，得由概率的非負(fù)性及Chebyshev例例8證明證明:2110nDXnEXXP001nEXXP所以， 21n00001nEXXP所以，00 EXXP所以，因此，1 EXXP10P XCCDX由由此此例例及及方方差差的的性性質(zhì)質(zhì)，我我們們有有：為為常常數(shù)數(shù))(., 2 , 1),(,kkkXEkkXkXEX 記為記為簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱的的稱它為稱它為存

20、在存在若若是隨機(jī)變量是隨機(jī)變量設(shè)設(shè)階矩階矩階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩kkkXEXEkXkXEXE)(., 3 , 2 , 1,)( 記為記為的的稱它為稱它為存在存在若若階中心矩階中心矩四、矩的概念四、矩的概念定義定義 定義定義 .)(1,1的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望就是就是時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)顯然顯然XXEk ).(2XD 顯顯然然2. 說(shuō)明說(shuō)明 ;,)()(方方差差為為二二階階中中心心矩矩點(diǎn)點(diǎn)矩矩的的一一階階原原是是的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望隨隨機(jī)機(jī)變變量量XXEX2(1) ;以以上上數(shù)數(shù)字字特特征征都都是是隨隨機(jī)機(jī)變變量量函函數(shù)數(shù)的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望.4,)3(階的矩很少使用階的矩很少使用高于高于在實(shí)際應(yīng)用中在實(shí)際應(yīng)用中.

21、)(3機(jī)變量的分布是否有偏機(jī)變量的分布是否有偏主要用來(lái)衡量隨主要用來(lái)衡量隨三階中心矩三階中心矩XEXE . )( 4近的陡峭程度如何近的陡峭程度如何機(jī)變量的分布在均值附機(jī)變量的分布在均值附主要用來(lái)衡量隨主要用來(lái)衡量隨四階中心矩四階中心矩XEXE 五、小結(jié)五、小結(jié)1. 方差是一個(gè)常用來(lái)體現(xiàn)隨機(jī)變量方差是一個(gè)常用來(lái)體現(xiàn)隨機(jī)變量X 取值分散程取值分散程度的量度的量. 如果如果D(X)值大值大,表示表示X 取值分散程度大取值分散程度大, E(X) 的代表性差的代表性差; 而如果而如果D(X)值小值小, 則表示則表示X 的的取值比較集中取值比較集中, 以以E(X) 作為隨機(jī)變量的代表性好作為隨機(jī)變量的代

22、表性好.,)()()(22XEXEXD 2. 方差的計(jì)算公式方差的計(jì)算公式,)()(12kkkpXExXD .d)()()(xxpXExXD 23. 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) ).()()(YX,3);()(2; 0)(10200YDXDYXDXDCCXDCD獨(dú)立時(shí)，獨(dú)立時(shí)，當(dāng)當(dāng)22XP .122XP 4. 契比雪夫不等契比雪夫不等式式.變變量量的的數(shù)數(shù)字字特特征征矩矩是是隨隨機(jī)機(jī)5.;)(方方差差為為二二階階中中心心矩矩的的一一階階原原點(diǎn)點(diǎn)矩矩是是的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望隨隨機(jī)機(jī)變變量量XXEXPafnuty ChebyshevBorn: 16 May 1821 in Okatovo, Russia

23、Died: 8 Dec 1894 in St Petersburg, Russia契比雪夫資料契比雪夫資料 沉痛悼念四川汶川大地震中的死難者！沉痛悼念四川汶川大地震中的死難者！ 愿上帝、佛、真主等眾神一起來(lái)保佑我們?cè)干系?、佛、真主等眾神一起?lái)保佑我們 勤勞善良的同胞！勤勞善良的同胞！ 摘自我的一位朋友的博文摘自我的一位朋友的博文 國(guó)務(wù)院公告國(guó)務(wù)院公告 為表達(dá)全國(guó)各族人民對(duì)四川汶川大地震遇難同胞為表達(dá)全國(guó)各族人民對(duì)四川汶川大地震遇難同胞的深切哀悼，國(guó)務(wù)院決定，的深切哀悼，國(guó)務(wù)院決定，2008年年5月月19日至日至21日為全日為全國(guó)哀悼日。在此期間，全國(guó)和各駐外機(jī)構(gòu)下半旗志哀，國(guó)哀悼日。在此期間，

24、全國(guó)和各駐外機(jī)構(gòu)下半旗志哀，停止公共娛樂(lè)活動(dòng)，外交部和我國(guó)駐外使領(lǐng)館設(shè)立吊唁停止公共娛樂(lè)活動(dòng)，外交部和我國(guó)駐外使領(lǐng)館設(shè)立吊唁簿。簿。5月月19日日14時(shí)時(shí)28分起，全國(guó)人民默哀分起，全國(guó)人民默哀3分鐘，屆時(shí)汽分鐘，屆時(shí)汽車、火車、艦船鳴笛，防空警報(bào)鳴響。車、火車、艦船鳴笛，防空警報(bào)鳴響。據(jù)新華網(wǎng)據(jù)新華網(wǎng) 2008年年05月月18日日18:44一線之間常能畫出陰陽(yáng)二界，一線之間常能畫出陰陽(yáng)二界，片刻之內(nèi)即可分出生死兩極。片刻之內(nèi)即可分出生死兩極。日前四川的強(qiáng)烈地震算否一場(chǎng)國(guó)難？日前四川的強(qiáng)烈地震算否一場(chǎng)國(guó)難？惟凡間的力量又有幾何？惟凡間的力量又有幾何？“輕塵棲弱草，白駒之過(guò)隙輕塵棲弱草，白駒之過(guò)

25、隙”，實(shí)是至理。，實(shí)是至理。還得好好活著，笑著。還得好好活著，笑著。為生者祈福，為死者祈禱！為生者祈福，為死者祈禱！ 日前我發(fā)出的一條短信日前我發(fā)出的一條短信 一方面，生老病死，猶日月星辰之起一方面，生老病死，猶日月星辰之起落，人類惟順其自然方是。另一方面，自落，人類惟順其自然方是。另一方面，自然界的力量很多時(shí)候也是無(wú)力抗拒的。無(wú)然界的力量很多時(shí)候也是無(wú)力抗拒的。無(wú)常態(tài)中的人類，更愿意接受常態(tài)，但自然常態(tài)中的人類，更愿意接受常態(tài)，但自然的攻擊又總是使人類驟不及防，企圖用物的攻擊又總是使人類驟不及防，企圖用物質(zhì)不滅來(lái)回避死亡當(dāng)然是徒勞的，塵世間質(zhì)不滅來(lái)回避死亡當(dāng)然是徒勞的，塵世間的凡人都是吃五谷

26、菜蔬長(zhǎng)大的，則凡間的的凡人都是吃五谷菜蔬長(zhǎng)大的，則凡間的去留又豈能自己主宰？于是并覺(jué)出，倘徉去留又豈能自己主宰？于是并覺(jué)出，倘徉在陽(yáng)光中的時(shí)光真好。在陽(yáng)光中的時(shí)光真好。 摘自我的文字摘自我的文字 何老師，您也不要太感傷，保重身體才是。何老師，您也不要太感傷，保重身體才是。有些道理在我母親去世的時(shí)候想得很明白了。有些道理在我母親去世的時(shí)候想得很明白了。還記得有一次經(jīng)歷沙塵暴的時(shí)候，我也向您還記得有一次經(jīng)歷沙塵暴的時(shí)候，我也向您請(qǐng)教過(guò)何謂生命？請(qǐng)教過(guò)何謂生命？ 人太渺小了人太渺小了，于是人活著似乎就需要十，于是人活著似乎就需要十分之堅(jiān)強(qiáng)。前幾天得知一位在三亞認(rèn)識(shí)的并分之堅(jiān)強(qiáng)。前幾天得知一位在三亞認(rèn)

27、識(shí)的并約好見(jiàn)面的老師突然病逝，心情低落。還望約好見(jiàn)面的老師突然病逝，心情低落。還望大家互相勉勵(lì)，活著則要笑著大家互相勉勵(lì)，活著則要笑著 收到的短信收到的短信 從地端突地冒出的地震襲擊了四川，驚心動(dòng)從地端突地冒出的地震襲擊了四川，驚心動(dòng)魄中，頓感人類生命之渺小，同時(shí)也覺(jué)出生魄中，頓感人類生命之渺小，同時(shí)也覺(jué)出生命之脆弱，名利之卑微，還有親情、友情之命之脆弱，名利之卑微，還有親情、友情之逾加珍貴。讓我們珍愛(ài)生命，忘卻煩惱和憂逾加珍貴。讓我們珍愛(ài)生命，忘卻煩惱和憂愁。衷心祝您及家人幸福安康愁。衷心祝您及家人幸福安康! 收到的短信收到的短信 是??！是?。　疤煊胁粶y(cè)風(fēng)云、人有分秒禍福天有不測(cè)風(fēng)云、人有分秒禍福”！旦夕之間，分秒之隔，都可能是禍福的分界旦夕之間，分秒之隔，都可