2020屆安徽省皖江聯(lián)盟高三上學(xué)期12月聯(lián)考試題數(shù)學(xué)(理)(解析版)

1、2020屆安徽省皖江聯(lián)盟高三上學(xué)期 12月聯(lián)考試題數(shù)學(xué)（理）一、單選題1 .復(fù)數(shù)z滿足1 2i z 4 3i （i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的模等于（）A.害B.娓C. 2屈D. 475【答案】B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)和求解直接解得結(jié)果即可.【詳解】故選：B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)模長的求解，涉及到復(fù)數(shù)模的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題_ x1_2 ,已知全集為R,集合A 2, 1,0,1,2 , B x-。，則A Cu B的元 x 2素個數(shù)為（）A. 1B. 2C. 3D . 4【答案】C【解析】解分式不等式求得集合 B ,根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義求得集合A Cu B ,進(jìn)而得到元素個數(shù).【詳解】CU Bx

2、x 2 或 x 1 x 1_Q B x 0 x 2 x 1x 2AI CuB2,1,2 ,有3個元素故選： C【點睛】本題考查集合元素個數(shù)的求解，涉及到分式不等式的求解、交集和補(bǔ)集的混合運算，屬于基礎(chǔ)題 .3 已知函數(shù)f x 在區(qū)間 a,b 上可導(dǎo)，則“函數(shù) f x 在區(qū)間 a,b 上有最小值”是“存在x0a,b ，滿足 fx00 ”的（ ）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由開區(qū)間最小值點必為極小值點可知極小值點導(dǎo)數(shù)值為0 ，充分性成立；利用3f x x 可驗證出必要性不成立，由此得到結(jié)論.【詳解】Q a,b 為開區(qū)間 最小值點一定是極

3、小值點 極小值點處的導(dǎo)數(shù)值為0充分性成立3當(dāng) f xx3 ， x00 時， fx00 ，結(jié)合冪函數(shù)圖象知 f x 無最小值，必要性不成立“函數(shù) f x 在區(qū)間 a,b 上有最小值”是“存在x0a,b ，滿足 fx00 ”的充分不必要條件故選： A【點睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷，涉及到導(dǎo)數(shù)極值與最值的相關(guān)知識；關(guān)鍵是能夠明確極值點處的導(dǎo)數(shù)值為 0 ，但導(dǎo)數(shù)值為 0 的點未必是極值點 .4 2011 年國際數(shù)學(xué)協(xié)會正式宣布，將每年的 3 月 14 日設(shè)為國際數(shù)學(xué)節(jié)，來源于中國古代數(shù)學(xué)家祖沖之的圓周率。公元 263 年，中國數(shù)學(xué)家劉徽用“割圓術(shù)”計算圓周第 2 頁 共 22 頁率，計算到圓

4、內(nèi)接 3072邊形的面積，得到的圓周率是39271250.公元480年左右，南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖沖之進(jìn)一步得出精確到小數(shù)點后7位的結(jié)果，給出不足近似值355223.1415926 和過剩近似值 3.1415927 ，還得到兩個近似分?jǐn)?shù)值，密率 和約率 一。1137大約在公元530年，印度數(shù)學(xué)大師阿耶波多算出圓周率約為39.8684 ( 3.14140096).在這4個圓周率的近似值中，最接近真實值的是()3927355'1250' 11322 C. 7D. 79.8684【解析】依次計算出每個近似值，與圓周率作對比找到最接近真實值的項392712503.1416, 355 3.

5、141592113由圓周率的值可知，最接近真實值的為, 3.142857 79.86843551133.14140096故選：B本題考查圓周率的相關(guān)知識，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確計算出各個近似值，屬于基礎(chǔ)題5.已知函數(shù)y f x X是奇函數(shù)，且故選:B.由奇函數(shù)定義可得X2為奇函數(shù)C.，代入XD. 21可求得結(jié)果.本題考查利用函數(shù)奇偶性求解函數(shù)值的問題,關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確得到函數(shù)所滿足的關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題n 1*6 .已知數(shù)列 an的通項為an ,對任意n N ,者B有an a5,則正數(shù)k的取n k值范圍是（）A. k 5B. k 5C. 4k 5 D.5<k<6【答案】D.k 1 【解析】將a

6、n整理為1 ，結(jié)合反比例函數(shù)單調(diào)性和恒成立的an a5可得到不等n k式組，解不等式組求得結(jié)果【詳解】n 1 n k k 1 k 1an 1 一n k n k n k5 k 0Qk為正數(shù)且an a5恒成立八,八，解得：5< k< 66 k 0故選：D本題考查利用數(shù)列中的最小項求解參數(shù)范圍問題，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為結(jié)合反比例函數(shù)單調(diào)性來求解的問題，進(jìn)而得到關(guān)于所求參數(shù)的不等式7.如圖所示的程序輸出的結(jié)果為95040 ,則判斷框中應(yīng)填（A. i 8?B. i 8?C. i 7?D. i 7?【解析】運行程序，根據(jù)輸出結(jié)果可判斷出輸出時i 7,由此可確定判斷框條件按照程序框圖運行程序，

7、輸入 i 12, sum 1 95040則 sum 1 12 12 95040, i 12 1 11,循環(huán) sum 12 11 132 95040, i 11 1 10,循環(huán)sum132 10 1320 95040, i 10 19 1 8,循環(huán)sum 1320 9 11880 95040, isum 11880 8 95040, i8 1 7 ,輸出 sumi 8滿足判斷條件，i 7不滿足判斷條件判斷框中應(yīng)填i 8?故選：B本題考查根據(jù)程序框圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的輸出結(jié)果補(bǔ)全框圖的問題，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確確定輸出結(jié)果是，變量具體的取值，由此確定需補(bǔ)充的條件8.函數(shù)f x cos2x 2sin x在 ，上的

8、圖象是（）【答案】A【解析】禾【J用f -0和f2一0可排除錯誤選項得到結(jié)果2f cos 2sin 一2212 10,可排除B,C ；f cos22sin 1 23 0,可排除 d .2故選：A【點睛】 本題考查函數(shù)圖象的識別，此類問題通常采用排除法，排除依據(jù)通常為：奇偶性、特殊 位置的符號、單調(diào)性9 .矩形ABCD中，AB 4 , BC 3,沿AC將ABCD矩形折起，使面BAC 面DAC ,則四面體A BCD的外接球的體積為（）125A .125B. 一125C.12125D .【解析】因為四面體 A BCD的外接球的球心到各頂點的距離相等，設(shè) AC與BD的 交點為。點，在矩形ABCD中，可

9、得OA OB OC OD ,當(dāng)沿AC翻折后，上述 等量關(guān)系不會發(fā)生改變，故得到球心，進(jìn)而解得半徑和體積?！驹斀狻?解：設(shè)AC與BD的交點為。點，在矩形ABCD中，可得OA OB OC OD ,當(dāng)沿AC翻折后，上述等量關(guān)系不會發(fā)生改變，因為四面體 A BCD的外接球的球心到各頂點的距離相等,所以點。即為球心，在 Rt ABC 中，ac = Jab2 + bc2 = 5 ,5故 R OA OB OC OD 243125所以球的體積為V R ,36故選A.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題,解決問題的關(guān)鍵是要能準(zhǔn)確找出球的球心與半徑,于中檔題。1 910 .已知正數(shù)a , b滿足a b 一 a b

10、10 ,則a b的最小值是（A. 2B. 3C. 4,19a b -,結(jié)合基本不等式可求得 a bx2 10x 16 0,結(jié)合a,b為正數(shù)，即x 0可解出不等式的解，進(jìn)而得到最小值設(shè)a b x,則-10 x a b1 9x 10 x a b10a b9a b9a b-10 2.16 (當(dāng)且僅當(dāng)b a . b a9abb一,即b 3a時取等號）x2 10x 16 0且 x 0,解得:2x8,即 2 ab 8aa b的最小值為2故選：A本題考查利用基本不等式求解最值的問題；關(guān)鍵是能夠通過整體構(gòu)造的方式求得a b整體滿足的不等關(guān)系，進(jìn)而通過解不等式求得取值范圍-1-11 點P x,y是曲線C ： y

11、 - x 0上的一個動點，曲線C在點P處的切線與x軸、 xy軸分別交于A, B兩點，點O是坐標(biāo)原點，|PA |PB;OAB的面積為定值；曲線C上存在兩點 M , N使得 OMN是等邊三角形；曲線C上存在兩點 M , N使得 OMN是等腰直角三角形，其中真命題的個數(shù)是（）B. 2C. 3D . 4【答案】D-1C【解析】設(shè)點P a, a 0 ,得到切線方程后求得 aA,B坐標(biāo)，進(jìn)而知P為AB中點,求得S AOB 2 ,從而可知正確;過原點作傾斜角等于15o和75o的2條射線與曲線交于M ,N ,由對稱性可知正確;過原點作2條夾角等于45o的射線與曲線交于 M，NOM，由ON的值的變化過程，可知存

12、在比值等于J2和二2的時刻,2從而知正確1設(shè)點P a, a a1t得切線方程：y x12 aA 2a,020, 一 a1P a, 1為AB中點 apAPB ,正確;11SAOB#A|OB 22a過原點作傾斜角等于15o和75o的2條射線與曲線的交點為M,N由對稱性可知 OMN中，OMON ,又 MON60°OMN為等邊三角形，正確;過原點作2條夾角等于45°的射線與曲線交于點 M，N當(dāng)直線OM的傾斜角從90°減少到45°的過程中，OM的值從變化到0在此變化過程中必然存在ON的值為我和鳥的時刻，此時OMN為等腰直角三角形，正確.真命題的個數(shù)為4個故選：D【

13、點睛】 本題考查直線與曲線相切、相交相關(guān)命題的判斷，涉及到定值、等量關(guān)系、存在性問題的判斷；判斷本題中的存在性問題的關(guān)鍵是在確定射線傾斜角的夾角的前提下，尋找符合題意的點的位置.12 .若平面向量r ,r r a, b,c滿足a1,且的最大值為（B. 3J2C.2,3【解析】利用數(shù)量積的定義通過已知等式得到,利用平方運算可求得r ra b的范圍;可將表不為與rb有關(guān)的形式，進(jìn)而可求得最值., r1得：ar2 ar 2a13r r2a br 2b 122.3b 2.3a b213 2a br ra b取得最大值max13 4 3 2 3故選：D本題考查平面向量模長最值的求解問題,求解此類模長問題

14、通常采用平方運算，將模長運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算的形式,結(jié)合平面向量數(shù)量積運算的相關(guān)知識來進(jìn)行求解二、填空題13 .若銳角滿足cos4一，cos 53 一一，則 sin5sin填答案725因cos4,cos 5故sin3 ., -,sin(5sin(sin()cos cos()sin) 216 97、,應(yīng)25 25 257O2514 .黎曼函數(shù)(Riemannfunction旦.個特殊函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出,黎曼函數(shù)定義在 0,1上，其定義為:1,當(dāng)X P0,當(dāng)Xq p,q都是正整數(shù), Pq是不可以再約分的真分?jǐn)?shù)p,若函數(shù)0,1或者0,1上的無理數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且f x f 2

15、x 0,當(dāng)x 0,1時,3107【答案】一30【解析】由已知得到f X關(guān)于1,0對稱，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)可確定 f X為周期是4的工3 ，一一，一周期函數(shù),進(jìn)而將所求式子化簡為f 一 ；由黎曼函數(shù)的解析式可確定10工3口f 10的值，代入求得結(jié)果.f 2 X 0知：f X關(guān)于1,0對稱為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱f X為周期函數(shù)，周期T 410萬10211173103 1030故答案為:【點睛】730本題考查函數(shù)奇偶性、對稱性和周期性的綜合應(yīng)用問題，涉及到新定義運算的求解；關(guān) 鍵是能夠通過熟練掌握周期性與對稱性的關(guān)系，即兩個相鄰的對稱軸（對稱中心）之間 距離為半個周期.15 .如圖，正方體ABCD

16、ABC1D1的一個截面經(jīng)過頂點 A, C及棱AB1上點K ,AK 其將正方體分成體積比為 2:1的兩部分，則的值為KB1【解析】作出平面ACK截正方體所得的截面，可知為等腰梯形；設(shè)KB1 x,可利用x表不出B1E, BiF , BF ,利用切割的方式可表不出三棱臺ABC KB1E的體積，利用體積建立方程求得KB1 ,進(jìn)而得到AK ,作比得到結(jié)果.設(shè)平面ACK與線段6G交于點E,則截面ACEK為等腰梯形，延長兩腰 AK,EC交于點F ,如下圖所示:設(shè)正方體棱長為1,設(shè)KBi x,則B1E x, B1F二棱臺ABC KB1E的體積:-SABC BF 31 -r lS BiEK B1F3又正方體體積

17、 V 1 1 1 11112V x x 1 解得:33 6、.5 12AK 1.5 123 ：5_AK3 .55 1KB15 15 12本題考查空間幾何體體積的相關(guān)問題的求解,關(guān)鍵是能夠利用切割的方式，利用變量表示出三棱臺的體積，進(jìn)而利用體積構(gòu)造方程求得變量的值；本題同樣可直接采用棱臺的體積公式來求解棱臺的體積 .16 .等腰 ABC中AB AC ,三角形面積S等于2 ,則腰AC上中線BD的最小值等【答案】.32【解析】由三角形面積公式可得到 AB42,進(jìn)而得到 AD2 ;利用余弦定理可表sin A示出BD2,結(jié)合輔助角公式整理可得BD2 sin A 4cosA . BD4 16sin A5

18、,根據(jù)正弦型函數(shù)值域可知，BD416 5,解不等式求得結(jié)果.由三角形面積公式知:-1-S AB ACsin A212AB2 sin A 22AB2sin AAD2 1AB 221sin A22_2_Q BD2 AB2 AD2 2AB AD cosAsin A1sin A4cosAsin A5 4cosAsin ABD2sinA 4cosA . BD4 16sin A而4 16 5,解得：BD 如故答案為：.3【點睛】本題考查三角形中最值問題的求解， 涉及到三角形面積公式、余弦定理和輔助角公式的 應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠利用三角形面積公式和余弦定理構(gòu)造等量關(guān)系，從而結(jié)合正弦型函數(shù)的值域構(gòu)造出不等關(guān)系.三

19、、解答題,217 .已知正數(shù)數(shù)列 an滿足ai 1, Sn n an.求an的通項公式和Sn；（2）令bn S1 （其中n! 1 2 3 n）,數(shù)列一的前n項和為Tn,證明：1 Tn 2. n!【答案】（1），（2）證明見解析n 1【解析】（1）當(dāng)n 2時，利用an Sn Sn 1可得到遞推關(guān)系式，利用累乘法可求得 烝，2驗證首項后可知an ；利用裂項相消法可求得 Sn ；n n 1（2）由（1）可得bn,利用裂項相消法求得Tn ；根據(jù)數(shù)列為正數(shù)數(shù)列和不等式的知識可求得工的范圍，進(jìn)而證得結(jié)論(1)當(dāng) n 2且 n N 時，an Sn Sn 12n an2n 1an 1ann1整理可得：ian1

20、n1ann1n2n3a1n1nn1an n 2an 2 n 3an 2 n ，an 3 n 1 '2 12一 二1an4 3n n 1a32 a21, a24? a132n n 1當(dāng)n 1時，a11符合anan21 n(2)1)知:bnSnn!2n1 n!n!Tn12!12!13!Tn又an 0bnT1綜上所述:Tn本題考查數(shù)列通項公式的求解、1 -Ln 12n2!裂項相消法求解數(shù)列的前n項和的問題；涉及到an與Sn關(guān)系的應(yīng)用、累乘法求解數(shù)列的通項公式等知識；求解數(shù)列前n項和的關(guān)鍵是能夠根據(jù)通項公式的形式進(jìn)行準(zhǔn)確裂項，進(jìn)而前后相消求得結(jié)果18 .如圖，在多面體ABCD AB1CQ1中，

21、側(cè)棱AA1 , BB1, CG , DD1都和平面ABCD垂直，AD/BC, AB BC CD BB1 DD1 2 , AA1 AD 4 , CC1 1 .證明：平面B1C1D1平面ABB1A1 ；（2）求直線BC和平面B1C1D1所成角的正弦值。1【答案】（1）證明見解析，（2） 一4【解析】（1）取AD中點E ,由四邊形BB1D1D為平行四邊形可知BD / B1D1 ；分別利用長度關(guān)系和線面垂直的性質(zhì)得到AB BD , BBi BD ,由此得到BD 平面ABB1A1 ,即BiDi平面ABBiA ,由面面垂直判定定理證得結(jié)論；（2）以B為坐標(biāo)原點可建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線與平面所成角的向

22、量求法可求得結(jié)果.【詳解】Q BB1 /DD1 且 BB1(1)取AD中點E ,連接BE , BDDD1四邊形BBiDiD為平行四邊形BD/B1 D1Q BC/AD, DEBE CD 21八AD BC21BE -AD2AB四邊形BCDE為平行四邊形BDQ BB1 平面 ABCD , BD平面ABCDBB1 BD又 ABBB 平面 ABBA , AB? BB1 BBD 平面 ABBiAQ BD/B1D1B1D1 平面 ABBiAi,又平面BiCiDi平面B1C1D1平面ABB1A1(2)以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則 B 0,0,2 , C 1/73,0 , C11,73,1Di02

23、 3,2uuir- uuurRC1,V3, 2 , B1C1uuur -B1D10,2 3,0設(shè)平面rB1C1D1的法向量nx,y,zv n 則v nuuuivB1C1uuuuv -B1D1 2 3y 0則 y 0, zrn 1,0, 1設(shè)直線BiC與平面BiGDi所成角為uur r,B1C n i 1則sin 回| £ 尸一尸 -B1C n 2、22 41直線BQ與平面BiGDi所成角的正弦值為一4【點睛】本題考查立體幾何中面面垂直關(guān)系的證明、空間向量法求解直線與平面所成角；涉及到線面垂直的判定與性質(zhì)定理的應(yīng)用等知識；關(guān)鍵是能夠找到另一個平面的垂線，利用平行關(guān)系的傳遞性找到所證平面

24、內(nèi)的另一個面的垂線19 . ABC內(nèi)角A, B , C的對邊為a, b, c,設(shè)A 2B , CD平分 ACB交ab于點D .證明：a2 b2 bc；(2)若a 6, b 4,求CD的長.【答案】(1 )證明見解析，(2) 372a sin A【解析】(1)利用正弦定理 可代入已知條件和余弦定理化簡得到b sin B2222 一 .2a c ba c b ,整理可得到a c b bcbcb；當(dāng)bc時，利用角的大小關(guān)系可知為等腰直角三角形，利用勾股定理可整理出結(jié)果；當(dāng) b c時，可直接整理等式得到結(jié)果；(2)根據(jù)(1)可得c,利用角平分線定理可求得 AD,BD ；由CD的方程，解方程求得結(jié)果co

25、s ADC cos BDC 0 ,結(jié)合余弦定理可構(gòu)造關(guān)于222(1)由正弦定理得:sin A sin 2B - a c bsin B sin B2cos Bac2222r 2222a c ba c b ，即：acabbc ba2 c b bcbcb當(dāng)b c時，b C.2222,22,b c a ,即 a b c bc2299當(dāng) b c時，a b c b bc b ,即 a2 b2 bc(2)由(1)得：62 42 4c,即 c 5CA CB根據(jù)角平分線定理 - 二 可得：AD 2, BD 3AD BD設(shè) CD x,由 ADC BDC 得:cos ADC cos BDC4 x2 16x2 364

26、x6x角平分線CD的長等于3板本題考查解三角形的相關(guān)知識，涉及到正余弦定理、角平分線定理的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠利用互補(bǔ)角余弦互為相反數(shù)的特點,結(jié)合余弦定理構(gòu)造關(guān)于所求長度的方程，進(jìn)而解方程求得結(jié)果.20 .已知函數(shù) f x ln x , g x kx.一 2x1(1)當(dāng)x 1時，比較f x與的大??；x 12(2)若f x與g x的圖象有兩個不同的交點 A x1,y1 , B x2,y2 ,證明：xiX2 e .2 x 1【答案】(1) f x ; (2)證明見解析x 12x1.八.【解析】(1)令h x f x ，由h x 0可知h x在1, 上是增函數(shù)，x 1進(jìn)而彳#到h x h 10,得到所求

27、大小關(guān)系；k ,從而建立起等量關(guān)(2)分別將兩交點坐標(biāo)代入lnx kx,作和、作差分別表示出Xi2 x1 x2x1 x2系；根據(jù)(1)中結(jié)論可得ln - ，代入ln Xi ln網(wǎng) ln x ln x?X2X1X2x1 x2可整理得到所證結(jié)論.2 x 12 x 1.(1)令 h x f x ln x ，貝U h xx 1x 1h x在1, 上是增函數(shù),、,x1d(2)不妨設(shè)x2x1，則一 1X2由題設(shè) In x1kx1, In x2kx2, In x1In x2In x1In x2k x1x2x1x2由（1）的結(jié)論知:In x1In x2.x1In 一x2c x1/2 1x2x 1 x22 x1

28、 x2x1 x2均x2ln x1In x2 In x1In x2Xx2Kx22 xx2Xx2x1x22xx2e本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到利用單調(diào)性比較大小、不等式的證明問題;證明不等式的關(guān)鍵是能夠利用變量k得到ox?的關(guān)系，進(jìn)而利用證明過的不等關(guān)系來進(jìn)行放縮整理21 .如圖，在四棱錐 P ABCD中，側(cè)棱PA 底面ABCD, AD/BC, AB AD , PA AB BC 3, AD 2 ,點 M 在葭 PB 上，且 BM 72.證明：AM/平面PCD;（2）求平面AMC與平面PCD所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析，（2） 21 而【解析】（1）作MN /BC交PC于

29、N ,通過證明四邊形 AMND為平行四邊形可得到AM /DN ,根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；(2)以A為坐標(biāo)原點可建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果【詳解】(1)由題意知：PAB是等腰直角三角形， PB 3J2,則PM 242作MN/BC交PC于N ,連接DNPM2 2MNMN八oQMN2PB32BC3又 MN/BC, AD/BC , AD MN 2四邊形AMND為平行四邊形AM/DN又DN 平面PCD , AM 平面PCD AM /平面PCD(2)由 PA 底面 ABCD,可得 PA AB, PA AD又AB AD,可知AB,AD,AP兩兩互相垂直以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則 A 0,0,0 , C 3,3,0 , D 0,2,0 , P 0,0,3 , M 2,0,1 ,uuuruuruuruuirAM2,0,1 , AC3,3,0 , PD3,3, 3 , PCir設(shè)平面AMC的法向量為 m x, y, zuuuvm AM 2x z 0則 v uiuv，令 x 1 ,得 y 1 , z 2m AC 3x 3y 0r設(shè)平面PCD的法向量為nx1