轉(zhuǎn)子平衡、臨界轉(zhuǎn)速與強(qiáng)度.

1、轉(zhuǎn)子平衡、臨界轉(zhuǎn)速與強(qiáng)度化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)第一節(jié) 轉(zhuǎn)子平衡在旋轉(zhuǎn)機(jī)械中，由于轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心引起的強(qiáng)迫振動(dòng)是很常見的。關(guān)于偏心質(zhì)量引起的強(qiáng)迫振動(dòng)，在振動(dòng)理論中得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：2222sin12merxtMrr22tan1rr式中M為系統(tǒng)的等效質(zhì)量，m為轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量，e為偏心矩。從中可以看出振幅x與偏心質(zhì)量和偏心矩成正比，要減小振動(dòng)就要使轉(zhuǎn)子質(zhì)量分布盡可能均勻。(4-1)(4-2)化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)一、轉(zhuǎn)子剛性動(dòng)平衡葉輪機(jī)械轉(zhuǎn)子的質(zhì)量偏心來源于材質(zhì)的不均勻，加工、裝配誤差等，實(shí)際上很難消除。但如偏心量過大，則會(huì)使葉輪機(jī)械在運(yùn)轉(zhuǎn)中劇烈振動(dòng)。所以轉(zhuǎn)子在運(yùn)行前都是作平衡試驗(yàn)，力求偏心量盡量小，使得葉

2、輪機(jī)械能平穩(wěn)運(yùn)行。對于一個(gè)完全平衡的轉(zhuǎn)子，理論上要求轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)的離心慣性力的合力與合力偶都等于零。轉(zhuǎn)子對軸承只有自重引起的靜力作用。反之轉(zhuǎn)子即處于不平衡狀態(tài)。轉(zhuǎn)子偏心質(zhì)量可引起轉(zhuǎn)子的靜不平衡或動(dòng)不平衡。1.靜平衡問題當(dāng)偏心質(zhì)量全部處于一個(gè)平面內(nèi)，如薄圓盤，在旋轉(zhuǎn)時(shí)將產(chǎn)生離心慣性力F力在圓盤平面內(nèi)，并通過轉(zhuǎn)軸，所以只有一個(gè)合力，無合力偶，如圖4-1a這種不平衡可用靜力實(shí)驗(yàn)法來找，將轉(zhuǎn)子放到一對水平軌道上，輕輕滾動(dòng)，轉(zhuǎn)子總是在偏心質(zhì)量垂直向下的位置停下來。這時(shí)只要在輪子相反的方向加配重或在相同的方向鉆孔，去掉一些重量就可以達(dá)到目的。最后要使轉(zhuǎn)子在重力作用下能隨遇平衡。此時(shí)就稱轉(zhuǎn)子已達(dá)靜平衡了。圖4

3、-1化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)2.動(dòng)平衡問題如圖4-2轉(zhuǎn)子，兩個(gè)薄圓盤各有一同樣大小的偏心質(zhì)量m，其偏心距e也相等。顯然此轉(zhuǎn)子是靜平衡的（F=0）。但當(dāng)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時(shí)，就會(huì)有一合力偶 ，此合力偶最終作用到支承上，引起機(jī)組振動(dòng)。這就是所謂動(dòng)不平衡。轉(zhuǎn)子動(dòng)不平衡需用動(dòng)平衡機(jī)做試驗(yàn)才能檢驗(yàn)。薄圓盤裝斜了也可產(chǎn)生動(dòng)不平衡。在轉(zhuǎn)速較高的情況下,只要有很小的偏斜（約1），就會(huì)引起超過靜反力百倍以上的反力。2Mmel現(xiàn)有如圖4-3所示長轉(zhuǎn)子，長度為l，半徑為R。在距左端l/3的平面內(nèi)垂直方向有偏心量 ，在中間平面內(nèi)水平方向有偏心量1 1me2 21 123m eme化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)偏心質(zhì)量產(chǎn)生的離心慣性力總可以合成一

4、通過旋轉(zhuǎn)軸并與之垂直的合力和一個(gè)合力偶，要平衡它們一般可選轉(zhuǎn)子的兩個(gè)端面和加配重或鉆削掉一些重量。重量的大小和方位很容易確定。設(shè)轉(zhuǎn)子以轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，令211 1Fme2222 21 123Fm eme將 用同在垂直平面且又分別位于兩端面的平行力 代替，則應(yīng)有1FFF21 123Fme21 113Fme同理，對 有2F21 113FFme將FFFF幾何相加，可得222221 11 11 1215333Fmememe222221 11 11 1112333Fmememe化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)現(xiàn)可在端面半徑R處，去掉質(zhì)量為 ，則m1 1253FmemRR方位為111tantan26 352FF端面半徑R處鉆

5、孔，去掉質(zhì)量為 ，則m1 1223FmemRR11tantan 145FF也可在相反的方向加配重，這樣轉(zhuǎn)子就可達(dá)到剛性動(dòng)平衡。如 不垂直，則可將它們分解到垂直與水平方向，而后如上所算。12,F F化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)二、轉(zhuǎn)子柔性動(dòng)平衡（高速動(dòng)平衡）由離心慣性力引起的動(dòng)撓度是和轉(zhuǎn)速有關(guān)的。因此，在低速時(shí)平衡（又稱剛性平衡）的轉(zhuǎn)子，到高速時(shí)又可能會(huì)失穩(wěn)而劇烈振動(dòng)。校正這種動(dòng)不平衡必須把離心慣性力引起的動(dòng)撓度影響考慮進(jìn)去，故稱為柔性動(dòng)平衡或高速動(dòng)平衡。圖4-4為一經(jīng)過低速動(dòng)平衡的轉(zhuǎn)子，不平衡重量為 ，配重為 ，轉(zhuǎn)子半徑為R。設(shè)轉(zhuǎn)速提高后轉(zhuǎn)子旋曲如圖4-4（b）所示，這時(shí)離心慣性力為2221122002

6、21201 12 20 0FmRrmRrmRrmmmRm rm rm r0m12,m m化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)由于已經(jīng)過靜平衡，所以1200mmm代入上式有21 12 20 0Fm rm rm r 由上式知，當(dāng)轉(zhuǎn)速提高后由于動(dòng)撓度的影響，經(jīng)過低速動(dòng)平衡的轉(zhuǎn)子又出現(xiàn)了新的不平衡慣性力，使轉(zhuǎn)子產(chǎn)生振動(dòng)。如轉(zhuǎn)速進(jìn)一步提高，使轉(zhuǎn)子二階以至更高振型出現(xiàn)，那么由于振型的變化，將又有新的不平衡。對柔性轉(zhuǎn)子的平衡，常用的是振型平衡法。首先對轉(zhuǎn)子進(jìn)行低速平衡，以消除一些明顯的不平衡量，然后使轉(zhuǎn)速接近第一階臨界轉(zhuǎn)速，在轉(zhuǎn)子中部配量以消除一階振型時(shí)的不平衡量（設(shè)為對稱轉(zhuǎn)子）；再使轉(zhuǎn)速接近第二階臨界轉(zhuǎn)速，在二階振型的反節(jié)

7、點(diǎn)處加配重以消除二階振型m不平衡量，這樣一直進(jìn)行到稍超過轉(zhuǎn)子的工作轉(zhuǎn)速。然后再對轉(zhuǎn)子進(jìn)行一次剛性動(dòng)平衡。(4-3)化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)第二節(jié) 轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速一、單圓盤轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速現(xiàn)考察一單圓盤無重量軸系統(tǒng)，如圖4-5所示，圓盤放置在中點(diǎn)。設(shè)轉(zhuǎn)子以勻角速度繞AOB軸線旋轉(zhuǎn)，由于離心力的作用，使轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生動(dòng)撓度，呈弓狀。由圖可見，軸中心的撓度為OO。此弓狀平面又以一定角速度繞軸承連心線AOB旋轉(zhuǎn)，這兩種轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度并不一定相同。此種現(xiàn)象稱為轉(zhuǎn)軸的弓狀旋曲，或稱渦動(dòng)，進(jìn)動(dòng)。這里僅討論轉(zhuǎn)速相等的情況，即所謂同步正進(jìn)動(dòng)。同步正進(jìn)動(dòng)是工程中最為常見的。取o點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，O點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則圓盤質(zhì)心C的

8、坐標(biāo)為（x+ecost,y+esin t），可得質(zhì)心C的運(yùn)動(dòng)方程為在轉(zhuǎn)子的加工及平衡過程中，使轉(zhuǎn)子的重心與其幾何軸線完全重合是很難做到的，總有殘余不平衡度。設(shè)圓盤的質(zhì)量為m，對稱安裝在軸上，盤的質(zhì)心c的偏心距為e，即OC=e，O為圓盤的幾何中心。軸承中心線穿過盤平面O點(diǎn)。圖4-5 由質(zhì)量不平衡產(chǎn)生的對稱弓狀旋曲化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)22dcosdmxetkxCxt 22dsindmyetkyCyt 或22cossinmxcxkxmetmycykxmet式中k為轉(zhuǎn)軸的橫向彎曲剛度，c為阻尼其解為22222222cos12sin12erxtrrerytrr22tan1rr式中,2nnkcrmmk(4-

9、4)(4-5)(4-6)化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)O(x,y)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓，其半徑即轉(zhuǎn)軸的動(dòng)撓度22222212erOORxyrr 從以上兩式可見動(dòng)撓度R隨頻率比r的變化而變化。當(dāng)r值較小時(shí)（r1即 時(shí)， ，如r1, 。n2(4-7)(4-8)化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)具有粘性阻尼的弓狀旋曲轉(zhuǎn)軸的振幅和相位的關(guān)系見下圖為了明顯，忽略系統(tǒng)的阻尼，221erRr當(dāng)r1時(shí)，R為負(fù)值，表示動(dòng)撓度與偏心距反向。當(dāng)r，Re，這時(shí)軸繞圓盤質(zhì)心旋轉(zhuǎn)，質(zhì)心C與O點(diǎn)重合，稱為自動(dòng)定心。其幅值和相頻圖見圖4-7 。圖4-6 具有粘性阻尼同步正進(jìn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)軸的振幅和相位關(guān)系化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)由于在轉(zhuǎn)子的同步正進(jìn)動(dòng)中，轉(zhuǎn)子繞AOB

10、軸線旋轉(zhuǎn)的角速度與弓狀平面繞軸承連心線AOB旋轉(zhuǎn)的角速度相等，所以圓盤相對弓狀平面并無旋轉(zhuǎn)。因此轉(zhuǎn)軸受拉伸的纖維始終受拉而受壓縮的總是受壓，并無交變應(yīng)力產(chǎn)生。此點(diǎn)和軸的橫向彎曲振動(dòng)是不同的，所以說弓狀旋曲的轉(zhuǎn)軸并無振動(dòng)。但轉(zhuǎn)子的離心慣性力卻對軸承產(chǎn)生一個(gè)交變力，并導(dǎo)致支承系統(tǒng)發(fā)生強(qiáng)迫振動(dòng)。這是在臨界轉(zhuǎn)速時(shí)感到劇烈振動(dòng)的原因。正因?yàn)檫@樣，工程上常把臨界轉(zhuǎn)速是支承發(fā)生劇烈振動(dòng)的現(xiàn)象和共振不加區(qū)分。實(shí)際上這是兩種不同的物理現(xiàn)象。圖4-7 無阻尼時(shí)單盤轉(zhuǎn)子弓狀旋曲的幅頻圖(a)與相頻圖(b)化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)式中y=f(x)為梁的撓度函數(shù)二、等直徑軸的臨界轉(zhuǎn)速1.振動(dòng)的微分方程及解求等直徑軸的臨界轉(zhuǎn)速

11、，也就是求相應(yīng)等截面梁的橫振固有頻率。一般滑動(dòng)軸承都可視為鉸鏈支坐。這樣滑動(dòng)支承的軸便可作為簡支梁討論，如圖示：從材料力學(xué)中知梁某截面上參數(shù)間的靜力關(guān)系為轉(zhuǎn)角dydx彎矩22d yMEJdx剪力分布力33dMd yQEJdxdx44dQd yqEJdxdx(4-9)(a)(b)(c)(d)圖4-8 簡梁的撓度和轉(zhuǎn)角化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)在系統(tǒng)自由振動(dòng)中，慣性力是作用在系統(tǒng)上的唯一載荷，慣性力的線集度m為單位長度梁質(zhì)量。從4-9(d)式中有42420yyEJmxt(4-10)根據(jù)系統(tǒng)具有與時(shí)間無關(guān)的確定的振型之特性，可設(shè)上式的解為 ,y x tY x T tT(t)為簡諧函數(shù) sinT tt故 ,s

12、iny x tY xt(4-11)代入4-10式，得4240d YEJmYdx式中或4440d Yk Ydx24mkEJ(4-12)(4-13)化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)式4-12是四階常微分方程，它的解可取為 ，代入可得特征方程 sxY xe440sk它的四個(gè)根為1,23,4,isk sk 該式的解為 kxkxikxikxY xA eB eC eD echsh,cossinkxikxekxkx ekxikx又故通解形式為,sincosshchsiny x tAkxBkxCkxDkxt上式有A、B、C、D四個(gè)積分常數(shù)和 兩個(gè)待定系數(shù)，但簡梁有四個(gè)端點(diǎn)條件，再加上兩個(gè)振動(dòng)初始條件，恰好可決定這六個(gè)常數(shù)。

13、、(4-14)化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)2.固有頻率和主振型對于等截面簡支梁端點(diǎn)條件為 1)0,002),03)0,0004),00 xYxl Y lxYMxl YlM由1）可得0BD由3）可得0BD得0BD由2）可得sinsh0AklCkl由4）可得sinsh0AklCkl由上兩方程可得sh000CklshklC sin00sin0AklAkl (4-15)此即簡支梁橫振動(dòng)的頻率方程，它的根為1,2,3,nk lnn化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)又24m nkEJ2221,2,3,nnEJnlm相應(yīng)的主振型為 sinsin1,2,3,nnnnnYxAk xAxnl(4-16)(4-17)對于兩端鉸支等直徑軸而言

14、，據(jù)式4-16，各階臨界轉(zhuǎn)速有如下關(guān)系222123:1 :2 :3由以上可見，當(dāng)把軸看做是連續(xù)體時(shí)，其臨界轉(zhuǎn)速有無限多個(gè)。其基頻為 。當(dāng)轉(zhuǎn)軸的工作轉(zhuǎn)速 時(shí)，稱此軸為剛軸。當(dāng)轉(zhuǎn)軸的工作轉(zhuǎn)速 ，則稱為柔軸。一般柔軸的工作轉(zhuǎn)速多在 與 之間，且要求11112121.30.7圖4-9 等直徑軸及其1，2，3階振型化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)主軸的扭矩為三、軸的強(qiáng)度計(jì)算對葉輪式機(jī)械主軸的要求主要是剛度，即要求準(zhǔn)確地計(jì)算出株洲的臨界轉(zhuǎn)速，確定合理的工作轉(zhuǎn)速，同時(shí)進(jìn)行盡可能精確的動(dòng)平衡。一般只要?jiǎng)偠群虾跻?，輕度總是足夠的。主軸常規(guī)的強(qiáng)度計(jì)算，仍按材料力學(xué)中的介紹，考慮彎矩及軸向力的聯(lián)合作用，并由選用的強(qiáng)度理論得出相

15、應(yīng)的相當(dāng)應(yīng)力值。9549nNMN mn因扭矩 所引起的剪應(yīng)力為nnnMMPaWnM式中 為軸的抗扭截面橫量3316ndWmnW對外徑為d，內(nèi)徑為 的空心軸1d 443116nWddmd在因轉(zhuǎn)子自重所引起的彎矩M和軸向力P共同作用下，主軸橫截面上所產(chǎn)生的正應(yīng)力為MPWA(4-18)(4-19)(4-20)化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)軸除了對剛度和強(qiáng)度有較高的要求外，還有下列要求式中W為抗彎截面橫量。對實(shí)心與空心軸分別為332ndW44132nWddd如按第三強(qiáng)度理論，相當(dāng)應(yīng)力為224xdXn強(qiáng)度條件為 224Xn對于合金鋼，=100130MPa。對于碳鋼100MPa。軸要求較高的安全系數(shù)。1）良好的工藝性

16、2）結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，保證在運(yùn)轉(zhuǎn)期內(nèi)有不變的機(jī)械性能3）有足夠的抗腐蝕能力(4-21)化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)第三節(jié) 傳遞矩陣法求系統(tǒng)固有頻率一、基本概念傳遞矩陣法可用計(jì)算系統(tǒng)各種振動(dòng)形式的固有頻率，諸如葉輪機(jī)械翼型葉片振動(dòng)問題，軸系的扭轉(zhuǎn)和橫振即臨界轉(zhuǎn)速問題。傳遞矩陣法是一種試湊方法。首先根據(jù)系統(tǒng)的性質(zhì)，確定截面上的一組特性參數(shù)，稱為狀態(tài)向量，然后根據(jù)時(shí)段截面的邊界條件，給定該截面狀態(tài)向量的一組參數(shù)值，選一個(gè)試驗(yàn)頻率，通過傳遞矩陣計(jì)算下一截面的狀態(tài)向量，直至末端截面。下面可以看到傳遞矩陣包含了系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程，如所得到末端截面向量能滿足該截面的邊界條件時(shí)，則表示所選定的頻率就系統(tǒng)的固有頻率。傳遞

17、矩陣法可用來求系統(tǒng)任意階固有頻率，且計(jì)算過程完全一樣。對于扭轉(zhuǎn)軸,n截面上的狀態(tài)向量為 nzM分別為n截面的扭轉(zhuǎn)角和扭矩。M ,化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)對于橫振動(dòng)的梁，n截面上的狀態(tài)向量為 nnyzMQ分別為n截面上的撓度，轉(zhuǎn)角，彎矩和剪力。, ,yM Q各變量的符號規(guī)則規(guī)定如下：對于圖4-10(a)中的扭振系統(tǒng)，規(guī)定截面n的外法線與坐標(biāo)正向一致時(shí)為正面，如扭轉(zhuǎn)角與扭矩的矢量方向（按右手規(guī)則）與正面外法線方向一致時(shí)為正。對于圖b中的彎曲系統(tǒng)，撓度y，剪力Q向上為正，轉(zhuǎn)角與彎矩M逆鐘向?yàn)檎?。圖4-10 狀態(tài)向量、廣義力與廣義位移化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)二、傳遞矩陣法求軸系臨界轉(zhuǎn)速求軸系的臨界轉(zhuǎn)速即是求軸系橫

18、振固有頻率。用傳遞矩陣法求軸系臨界轉(zhuǎn)速，一般稱為普勞爾(Prohl)法。圖4-11表示軸的一個(gè)典型段，它包含無質(zhì)量跨距與集中質(zhì)量。段的彎曲特性用跨距的場傳遞矩陣來描述，段的慣性效應(yīng)用集中質(zhì)量的點(diǎn)傳遞矩陣描述。第i跨距 和集中質(zhì)量 受力分析見上圖。 段梁的彈性變形也示意出來。從分離體圖可得剪力和彎矩的平衡方程式如下：11RLiiRLLiiiiQQMMQ LiLimiL(4-22)圖4-11 軸的傳遞矩陣的推導(dǎo)(a)跨的分離體簡圖 (b)質(zhì)量分離體簡圖化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)該梁段端面的位移y與可表示如下：231121232LRRLLiiiiiiiiiiLLRLiiiiiiiiLLyyLMQEJEJM

19、LLQEJEJ(4-23)聯(lián)合22與23式得：2311112111111260200000LRRRRiiiiiiiiiiLRRRiiiiiiiiLRRiiiiLRiiLLyyLMQEJEJLLMQEJEJMMQ LQQ化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)用場傳遞矩陣表示為23211260120010001LRiiiLLLyyEJEJLLMMEJEJLQQ對集中質(zhì)量 有imRLiiyyRLiiMMRLii2RLLiiiiQQm y可導(dǎo)出點(diǎn)傳遞矩陣如下：2100001000010001RLiiiyyMMQmQ (4-24)(4-25)化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)將24代入25式可得聯(lián)系狀態(tài)向量 與 的傳遞矩陣： 1RiZ R

20、iZ232212322232221100026010001001020010010001126012001126RRiiiiLLLyyEJEJLLMMEJEJLQmQLLLEJEJyLLEJEJMLQmLLmmLmEJEJ1Ri(4-26)化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)或簡寫為 1RRiiiZHZ232223222126012001126iiLLLEJEJLLHEJEJLmLLmmLmEJEJ即為所求傳遞矩陣iH(4-27)使用遞推公式4-26，便可將梁的末端與始端狀態(tài)向量 聯(lián)系起來 0,RRnZZ 1210RRnnnZH HH HZ(4-28)化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)對于梁（軸）的問題，一般邊界條件是yMQ簡

21、支00Q自由y00固定00MQ可見在梁的始端與末端都有兩個(gè)非零的邊界條件，哪個(gè)參數(shù)非零則取決于支座類型。在計(jì)算固有頻率即臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算過程中，逐次代入進(jìn)行試湊。當(dāng)某個(gè)能同時(shí)滿足梁兩端的邊界條件，即為所求的臨界轉(zhuǎn)速。傳遞矩陣法在求系統(tǒng)的高階固有頻率時(shí)精確度會(huì)下降。解決的辦法是增加分段數(shù)和使用雙精度（在編程時(shí)）運(yùn)算。并把固有頻率截?cái)嘣谀骋浑A（即振型截?cái)喾ǎ?。不去求系統(tǒng)振動(dòng)過程中次要的，也不很可靠的高階固有頻率。實(shí)踐證明，在計(jì)算時(shí)分段數(shù)高于所求臨界階數(shù)的56倍即可。即分段數(shù)nK(56)。化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)例題：如圖所示懸臂梁集中質(zhì)量系統(tǒng)的固有頻率。設(shè)1220mmKg323 10EJN m 梁的彎曲剛

22、度解：所用遞推公式為110 RRZH Z221210 RRRZHZH H Z始端截面即固定端的狀態(tài)向量為000 00RZMQ00,MQ為固定端的未知彎矩與剪力。在傳遞矩陣中始端狀態(tài)向量中的非零參數(shù)均為未知數(shù)?；C(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)由下式2322231222126012001126RRiiiLLLEJEJyyLLEJEJMMLQQmLLmmLmEJEJ有666622626210010.2510.4 100.87 1000183.3 1010.42 100010.25205208.3 101 17.36 10RiyMMQQ化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)66662262622110.5041.7 106.9 100

23、1166.7 1041.7 100010.5205833.3 101 138.9 10RRiyyMMQQ2212100 RRRRZHZH H ZH Z由得111213142122232431323334414243442000RRHHHHyHHHHHHHHMMHHHHQQ梁自由端處彎矩，剪力必為零，即23303400RMH MH Q24304400RQH MH Q化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)欲使線性齊次方程組有非零解，則的系數(shù)行列式必為零，即333443440HHHH這就是系統(tǒng)的頻率方程式。對于已知數(shù)據(jù)，相應(yīng)的方程式為：6262329462941 104.2 100.758.68 1002.08 102

24、8.9 1014.86 102.41 10或432673.3 1075.4 100固有頻率為1232.4/ ,268.8/rad srad s或125.16,42.8fHz fHz化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)用傳遞矩陣法求軸系臨界轉(zhuǎn)速問題，在理論上已解決。下面討論工程中常遇到的典型情況。1.單跨兩端鉸支，支坐為剛性支承集中質(zhì)量o和n分別放置在左右兩剛性鉸鏈支承上，軸為單跨。與固定端梁一樣，我們把支坐反力（動(dòng)反力）視為未知數(shù)。在下面的敘述中，為了簡便，將狀態(tài)變量左上角標(biāo)R省掉。于是始端狀態(tài)向量 的初參數(shù)為00000,0,0,0yMQ按遞推公式有 1iiizHz遞推公式是狀態(tài)變量的線性方程，而一般梁的邊界條

25、件總有兩個(gè)為零的初參數(shù)。鉸支的非零初參數(shù)為 ，因此第i截面的狀態(tài)變量可表示為初參數(shù) 的線性組合。選定一試算轉(zhuǎn)速后，可先令 ，而 得到第一項(xiàng)計(jì)算值 ，如下式。 IiZ 0100iZH 0Z00,Q00,Q010000yMQ圖4-12化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速的搜索同樣可采用二分法。再令 ，而 ，得到第二次計(jì)算值 0001iZH則有 000iiiZH ZZZQ遞推到末端截面，有 00nnnZZZQ據(jù)末端的邊界條件應(yīng)有0,0nnyM 000000nnnnnnyyyQMMMQ上式有非零解的條件為 0nnnnyyMM此式即兩端剛性鉸支單跨梁的頻率方程由上式可得殘矩 nnnnyRMMy01Q 0000yM

26、Q(4-29)(4-30)(4-31)(4-33)(4-32)化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)2.兩端自由，中間支承為剛性支坐應(yīng)從 起算，對于自由端有00000,0,0,0LLLLyMQ 0LZ選定試算頻率后，利用點(diǎn)傳遞矩陣得 020100001000010001LRyZMnQ然后按遞推公式計(jì)算。以上均用兩次法進(jìn)行。非零初參數(shù)為 和 ，在算到左支承i時(shí)，因撓度、轉(zhuǎn)角和彎矩保持連續(xù)，有 000Liiiiyyyyy可得 00iiyyy 00Lyy00L 000Liiiiiiiiyyy圖4-13(4-34)化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng) 000LiiiiiiiiyMMMyMMMy剪力Q1在i截面處發(fā)生突跳，突跳值為支反力 ，

27、由于 未知，故新參數(shù)為LiiiQQRiRiR由以上兩式可見，經(jīng)過剛性支坐i后，將增加一個(gè)新參數(shù) 而減少一初參數(shù) iQ0y因此I,s支坐間某截面狀態(tài)變量就可表示為參數(shù) 的線性組合。用兩次法來得到K截面的狀態(tài)變量：第一次取 ，按遞推公式可得 第二次取 ，同樣可得 IkZ kZ01,0iQ00,1iQ則有 0ikkkZZZQ同理，s支坐后各截面狀態(tài)向量應(yīng)表達(dá)為 的線性組合 0snnnZZZQ0,sQ(4-35)0,iQ化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)或?qū)懗?0000nnsnnsnnsnnnsyyQyQMMMQQQQQ根據(jù)末端截面的邊界條件應(yīng)有 0000nnnsnnnsMMMQQQQQ上式有非零解的條件為 0nnn

28、nMMQQ此即兩端自由剛性鉸支梁的頻率方程，殘矩為 nnnnQRMMQ(4-36)(4-37)(4-38)化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)三、葉輪回轉(zhuǎn)力矩的計(jì)算在轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算中，較粗略的做法是把葉輪作為集中質(zhì)量，因此只考慮葉輪的離心慣性力。當(dāng)要求計(jì)算更精確時(shí)，就必須將葉輪作為圓盤處理，因此不僅要計(jì)算葉輪的離心慣性力，還要計(jì)算其慣性力矩，即回轉(zhuǎn)力矩。當(dāng)葉輪處于軸的中點(diǎn)時(shí)，轉(zhuǎn)子的彎曲并不使葉輪發(fā)生偏轉(zhuǎn)，見圖4-14a。當(dāng)轉(zhuǎn)子旋曲時(shí)，葉輪上各點(diǎn)慣性力都在同一平面內(nèi)，并不產(chǎn)生慣性力矩，只需考慮其離心慣性力的作用，但當(dāng)葉輪靠近一端支坐，或在外伸段上時(shí)，轉(zhuǎn)軸的變形使葉輪產(chǎn)生傾側(cè)，見圖4-14b，在這種情況下，當(dāng)轉(zhuǎn)

29、子旋曲時(shí)，葉輪在空間搖擺。由于葉輪作空間運(yùn)動(dòng)時(shí)動(dòng)量矩矢量方向的改變，它必然受到轉(zhuǎn)軸作用于它的一個(gè)力矩，因此轉(zhuǎn)軸就受到一個(gè)反作用力矩，這就是圓盤的慣性力矩，通常稱為回轉(zhuǎn)力矩或陀螺力矩。圖4-14 轉(zhuǎn)子弓狀旋曲化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)12cossinrr因此圓盤沿這兩個(gè)方向的動(dòng)量矩分量為12prdGIGI式中 分別為圓盤相應(yīng)對稱軸的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和對直徑的軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。再求出的垂直分量V和水平分量H(相對于oxy坐標(biāo))。由圖c有2prdprdprdprVIIIIHIII H分量中將二階微量略去。圖a所示為一單盤懸臂轉(zhuǎn)子。設(shè)轉(zhuǎn)軸的撓曲平面xoy以角速度繞水平軸ox轉(zhuǎn)動(dòng)。圓盤除了隨xoy平面一起轉(zhuǎn)動(dòng)外，一般而言，

30、它還相對于撓曲平面還可以相對角速度r繞對稱軸ox轉(zhuǎn)動(dòng)。圖b表示圓盤的絕對角速度 和各分量之間的關(guān)系。為了計(jì)算圓盤對質(zhì)心o的動(dòng)量矩 ，把 分解為沿對稱軸ox方向和盤直徑方向兩個(gè)分量，當(dāng)為小角時(shí)有aoGa圖4-15 單盤懸臂轉(zhuǎn)子的回轉(zhuǎn)效應(yīng),pdIIoG化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)故prdMVII 1r當(dāng)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，水平分量H不改變大小和方向，而垂直分量V卻因隨同xoy平面以角速度旋轉(zhuǎn)而改變方向。根據(jù)動(dòng)量矩定理：質(zhì)點(diǎn)系對于某一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩矢量末端的速度，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對同一點(diǎn)的主矩。垂直分量V的末端速度即為V ，得圓盤受到轉(zhuǎn)軸的作用力矩因轉(zhuǎn)軸所受的反作用力矩 就是回轉(zhuǎn)力矩。見圖4-16GM通常有可能發(fā)

31、生以下兩種運(yùn)動(dòng)情況：1.同步正進(jìn)動(dòng) 當(dāng)圓盤的絕對角速度垂直分量 和撓曲平面的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度相等且方向相同時(shí)，稱為同步正進(jìn)動(dòng)。1由該式得 。圓盤和撓曲平面以相同的角速度一起旋轉(zhuǎn)?；剞D(zhuǎn)力矩2GpdMII 0r對于薄圓盤，2pdII2GdMI (4-39)圖4-16 圓盤作用于轉(zhuǎn)軸的回轉(zhuǎn)力矩(4-40)化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)圖4-16即為此種情況?？梢娫诠こ讨凶顬槌Ｒ姷耐秸M(jìn)動(dòng)中，圓盤的回轉(zhuǎn)力矩通常是減少軸的彎曲程度，因而相當(dāng)于增加軸的剛度，即提高了轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。2.同步反進(jìn)動(dòng)當(dāng) 和 相等但轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反時(shí)，稱為同步反進(jìn)動(dòng)。即11r 即有2r 回轉(zhuǎn)力矩為2GpdMII 同步反進(jìn)動(dòng)相當(dāng)于降低了軸的剛度，即降

32、低了轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。但這種情況工程中很少發(fā)生。(4-41)化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)四、彈性支坐轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算由于軸承中油膜具有彈性，軸承坐和基礎(chǔ)也有一定彈性。因此絕對剛性的支坐不存在。把支坐作為彈性支坐對待，即考慮支坐彈性以后，使整個(gè)轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)剛度下降，因此使轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速降低。1.支坐剛度的計(jì)算支坐彈性可認(rèn)為由兩部分構(gòu)成：軸承油膜彈性與軸承坐的彈性。油膜質(zhì)量很小，可認(rèn)為只有剛度，不計(jì)質(zhì)量。軸承坐則既有剛度又有參振質(zhì)量，見簡圖4-17a其中 為支坐處集中質(zhì)量， 分別為油膜剛度與軸承坐靜剛度，m為軸承坐的參振質(zhì)量現(xiàn)介紹系統(tǒng)的動(dòng)剛度的概念。如上一無阻尼質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，受到強(qiáng)迫力Fsint作用后產(chǎn)生受迫振動(dòng)

33、，其振幅為2sFxKmjm0,sk k圖4-17 彈性支坐力模型化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)定義激振力幅F與振幅X之比為該系統(tǒng)的動(dòng)剛度2dsFkKmX可見當(dāng) 時(shí)，有 ，即外力為靜力時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)剛度便等于靜剛度。而當(dāng) 時(shí)， ，意味著受迫振動(dòng)振幅X無限增大?？梢妱?dòng)力系統(tǒng)的剛度應(yīng)用動(dòng)剛度來表示，它與激振力的頻率有關(guān)。0dskk/skm0dk 如用軸承坐動(dòng)剛度 來代替其靜剛度和參振質(zhì)量m，系統(tǒng)簡圖4-17a可用b表示，再求出與串連彈簧 等效的彈簧剛度 。 即支坐的剛度，見c。0111pdkkkdk,cdk kpkpk2020spskkmkkkm對葉輪機(jī)械轉(zhuǎn)子，油膜剛度值一般可取 。通常軸承坐靜剛度 較油膜剛度

34、大得多，因此支坐剛度主要取決于軸承油膜剛度。但無論軸承油膜剛度還是基礎(chǔ)動(dòng)剛度的數(shù)值，都很難取準(zhǔn)。6610 2 10/N cmsk0k(4-42)(4-43)化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)2.計(jì)算特點(diǎn)圖4-19a為具有外伸端的簡支梁，為彈性支坐。設(shè)i支坐的撓度為 ，剛度為 ，則支反力 為iyikiRiiiRk y (b)為i支坐受力圖， 為i支坐點(diǎn)上的集中質(zhì)量，于是 為i點(diǎn)上之慣性力，分別為i點(diǎn)左右截面上的剪力，應(yīng)有2RLiiiiiiQQmyk y 可用始端截面參數(shù) 表示。故在彈性支坐情況下，通過支坐后不再出現(xiàn)新參數(shù)，因此不必變換參數(shù)。這點(diǎn)是有異于剛性支坐的。這樣在轉(zhuǎn)子末端截面狀態(tài)向量任意初參數(shù) 表示。根據(jù)

35、末端邊界條件，可得具有外伸端的彈性簡支梁的頻率方程 000000nnnnnnMMyMQQyQ圖4-19 (a)彈性支坐轉(zhuǎn)子力學(xué)模型(b)支坐點(diǎn)分析im2iimy,LRiiQQiy00,y00,y(4-44)(4-45)化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng) 0nnnnMMQQ nnnnQRMMQ殘矩為碰到彈性支點(diǎn)時(shí)，剪力遞推應(yīng)按4-45式五、影響轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速因素的分析1.支坐彈性的影響由于支坐的彈性，使轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)的剛度下降，因此通常是降低轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。現(xiàn)分析圖4-20(a)所示單盤轉(zhuǎn)子。并設(shè)A、B彈性支坐剛度相同。圓盤的豎直位移由兩部分組成，一是軸的彎曲變形，一是支坐變形。設(shè)軸的彎曲剛度為 ，支坐剛度為 ，則

36、可將上述轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)簡化為單質(zhì)量彈簧系統(tǒng)。如圖25b。其中m為圓盤質(zhì)量和軸的折合質(zhì)量之和。K為系統(tǒng)的相當(dāng)剛度。按振動(dòng)理論有：1112rpkkk(4-46)(4-47)圖4-20 單盤轉(zhuǎn)子彈性支坐分析rkpk化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)22prprk kkkk彈性支承系統(tǒng)的固有頻率可寫為11/2rkrpkkmmkk而 就是轉(zhuǎn)子在剛性支坐條件下的固有頻率，即剛之條件下的臨界轉(zhuǎn)速，以 表示，上式可寫為/rkm11/2ksrpkk從上式可看出，當(dāng) ，即剛支情況下， 。在一般情況下 ，在上面的談?wù)撝幸驳贸鐾瑯拥慕Y(jié)論。進(jìn)一步分析?？煽闯鲋ё鴱椥杂绊懙拇笮?，是取決于軸的剛度與支坐剛度值比值。當(dāng)軸的剛度比支坐剛度大時(shí)，

37、支坐彈性對臨界轉(zhuǎn)速的影響就明顯；相反則不明顯。特別是當(dāng) 后是這樣。可見支坐彈性的影響。并不單純?nèi)Q于支坐的剛度，還與轉(zhuǎn)子本身剛度有關(guān)。同一軸承系統(tǒng)，對不同轉(zhuǎn)子來說，對其臨界轉(zhuǎn)速的影響是不一樣的。當(dāng)支坐分別為剛性和彈性時(shí)，ALS-16000按壓縮機(jī)低壓缸和高壓缸轉(zhuǎn)子的一階臨界轉(zhuǎn)速如下：即(4-48)spk ksks/2rpkk化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)某二氧化碳升壓循環(huán)機(jī)轉(zhuǎn)子的一、二、三階臨界轉(zhuǎn)速計(jì)算結(jié)果列于表2.可以看到，支坐彈性對高階臨界轉(zhuǎn)速的影響要比低階大。這是因?yàn)楦唠A振型節(jié)點(diǎn)數(shù)多，相當(dāng)于軸的剛度增加，所以支坐彈性的影響增大。表1 支坐彈性對氨壓縮機(jī)高、低壓缸轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的影響表2 支坐彈性對某二

38、氧化碳升壓循環(huán)機(jī)轉(zhuǎn)子各階臨界轉(zhuǎn)速的影響化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)此時(shí)在 情況下，支坐總剛度 。由4-48式可看出，這時(shí)隨著支坐剛度的降低，轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速非但不下降，反而要提高。這就是所謂負(fù)剛度的情況。這時(shí)支坐的振動(dòng)方向與轉(zhuǎn)子的振動(dòng)方向相反，相位差180，見圖4-21.其中m代表轉(zhuǎn)子質(zhì)量，m為支坐的參振質(zhì)量，其振動(dòng)情況見圖4-22。將這種支承稱為撓性支坐。現(xiàn)分析一種支坐“負(fù)剛度”情況，由公式2020spskkmkkkm可看出支坐動(dòng)剛度 與轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速有關(guān)，令sbkmpk為支坐（包括軸承坐及基礎(chǔ)）的固有頻率可見當(dāng) 時(shí)，則對支坐負(fù)剛度的撓性支坐，其臨界轉(zhuǎn)速一般接近于剛性支坐時(shí)的值，因此在計(jì)算臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，可不考慮支坐彈性的影響。b20skm200skkm0pk 圖4-21 支座振動(dòng)與轉(zhuǎn)子振動(dòng)反相圖4-22 支座負(fù)剛度情況轉(zhuǎn)子一階振型化工機(jī)械強(qiáng)度與振動(dòng)2.葉輪回轉(zhuǎn)力矩的影響同步正進(jìn)動(dòng)時(shí)，葉輪回轉(zhuǎn)力矩為2GpdMII 對一般較薄的葉輪，有 ，因此回轉(zhuǎn)力矩的影響總是提高轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速。對于高階臨界轉(zhuǎn)速及葉輪安裝在懸臂端，回轉(zhuǎn)力矩的影響都比較大，應(yīng)予考慮。如某DH型雙軸四級離心式壓縮機(jī)的級轉(zhuǎn)軸，結(jié)構(gòu)如圖4-23示，轉(zhuǎn)軸兩端懸臂都安裝有葉輪，回轉(zhuǎn)力矩的影響應(yīng)計(jì)入。表3列出計(jì)入和不計(jì)入回轉(zhuǎn)力矩情況下，一階與二階臨界轉(zhuǎn)