函數(shù)fx一致連續(xù)的條件及應(yīng)用

1、精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，歡迎閱讀下載函數(shù)f(x)一致連續(xù)的條件及應(yīng)用函數(shù)f(x)一致連續(xù)的條件及應(yīng)用內(nèi)容摘要：比較全面的總結(jié)了判斷函數(shù)的一致連續(xù)性的條件，并結(jié)合具體例子對這些方法加以應(yīng)用，而且對基本初等函數(shù)的一致連續(xù)性作了較為完整的討論，還將一元函數(shù)的一致連續(xù)性推廣到二元函數(shù)上去.關(guān)鍵詞：一致連續(xù)擬可導(dǎo)函數(shù)基本初等函數(shù)二元函數(shù)Abstract:Thispaperismorecompletelytosummarizethemethodsofjudginguniformcontinuityoffunctions,andapplythemtoanalyzesomeexamp

2、les,moreover,wediscussuniformcontinuityoffundamentalprimaryfunctionsindetail,andextendthesemethodstothecaseoffunctionsoftwovariables.Keywords:uniformcontinuityperederivatablefunctionsfundamental精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，感謝閱讀下載精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，歡迎閱讀下載primaryfunctionsfunctionsoftwovariables1.引言函

3、數(shù)的一致連續(xù)性是數(shù)學(xué)分析課程的重要理論，弄清函數(shù)的一致連續(xù)性的概念和熟練掌握判斷函數(shù)一致連續(xù)的方法是學(xué)好這一理論的關(guān)鍵.一般的數(shù)學(xué)分析教材中只給出一致連續(xù)的概念和判斷函數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)的G康托定理，內(nèi)容篇幅較少，不夠全面和深入；雖然有些論文對函數(shù)一致連續(xù)性的判斷作了一些拓展和補(bǔ)充，但是顯得不夠系統(tǒng)和應(yīng)用得不夠廣泛.因此，對一般數(shù)學(xué)分析教材中這一部分內(nèi)容并結(jié)合一部分論文資料，作一個(gè)比較系統(tǒng)和全面的總結(jié)，并作適當(dāng)?shù)耐卣?，如將一元函?shù)的一致連續(xù)性推廣到二元函數(shù)上去，無疑這一工作是十分必要和具有現(xiàn)實(shí)意義的.2.預(yù)備知識(shí)一致連續(xù)和非一致連續(xù)的定義一致連續(xù)：設(shè)f(x)為定義在區(qū)間I上的函數(shù).若對任給的

4、？?0,存在？?(?)?0使得對任何x?,x?I,只要x?x?,就有f(x?)?f(x?)?JM稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，感謝閱讀下載2精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，歡迎閱讀下載一致連續(xù).1非一致連續(xù)：存在？0?0,對任彳正數(shù)？，總存在兩點(diǎn)x?,x?I,盡管x?x?,但有f(x')?f(x'則稱數(shù)f(x)在區(qū)間I上非一致連續(xù).G.康托定理G康托定理1:若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上一致連續(xù).這個(gè)定理的證明可應(yīng)用實(shí)數(shù)連續(xù)性命題中有限覆蓋定理或致密性定理來證明.但是G康托定理只能用來判斷有

5、限閉區(qū)間上函數(shù)的一致連續(xù)性，應(yīng)用不是十分廣泛.下面再介紹幾種比較常見的判斷函數(shù)一致連續(xù)性的方法.幾種常見的判斷函數(shù)一致連續(xù)性的方法方法1:利用李普希茨條件若f(x)在區(qū)間I上滿足李普希茨條件，即任給x,y?I,有f(x)?f(y)kx?y?為常數(shù))，貝f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù).方法2:有限開區(qū)間上一致連續(xù)的判別法若f(x)在有限開區(qū)間(a,b)上連續(xù)，且f(a?0)與f(b?0)都存在且有限？函數(shù)f(x)在上連續(xù)，且f(a?0)存在且有限？函數(shù)f(x)在精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，感謝閱讀下載3=精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，歡迎閱讀下載=(a,b上

6、一致連續(xù).方法3:無窮區(qū)間上一致連續(xù)的判別法若f(x)在(?,?比連續(xù)，且limf(x)?A及l(fā)imf(x)?B極限存在，則f(x)在x?x?(?,?)上一致連續(xù).類似的還有：若f(x)在a,?)(或(?,b)上連續(xù)，且limf(x)(或limf(x)極限存在，則f(x)在x?x?a,?)域(?,b)上一致連續(xù).f(x)(或limf(x)及若f(x)在(a,?)餓(?,b)上連續(xù)，且limf(x)及l(fā)im?x?x?ax?2x?b?limf(x)極限存在，則f(x)在(a,?賊(?,b)±一致連續(xù).3.方法的歸納和應(yīng)用方法的歸納及方法的應(yīng)用方法1:用連續(xù)模數(shù)來刻畫一致連續(xù)性若f(x)在

7、區(qū)間I上有定義，則稱？f?supf(x)?f(x)為函數(shù)f(x)的連續(xù)x',x''?Ix'模數(shù).'?定理'若f(x)在區(qū)間I上有定義，則f(x)在I上一致連續(xù)的充要條件是5?0?lim?f(?)?0.?0'''g(?)?0,則推論若f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，若？f(?)?supf(x)?f(x)?g(?)且精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，感謝閱讀下載精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，歡迎閱讀下載lim?x',x''?Ix'做'I'上？?f

8、74;續(xù).上述定理易得到一致連續(xù)的視察法：？出?)的值只與f(x)的圖象最陡的地方有關(guān).若f(x)的圖象在某處無限變陡，使得？f?0則f(x)非一致連續(xù)；若f(x)在某處最陡，但？?0時(shí)，此處的變差?f(x')?f(x'則)?0)一致連續(xù).1在(0,c)(c?0)上是非一致連續(xù)的，但在c,?)(c?0)上一致連續(xù).x1分析：f(x)?(x?0),在x?0處，圖形無限變陡.x例1f(x)?0,?f(?)?.?(M?f(?)?0.因此，f在任何區(qū)間(0,c)(c?0)上都是非一致連續(xù)的.但在區(qū)間c,?)上，f(x)?可見，f(x)?111?0(?0?).在點(diǎn)c處最陡，且?f?xcc

9、?1在c,?)±一致連續(xù).x方法2:利用一致連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)來判斷一致連續(xù)(1)若f(x),g(x)都在區(qū)間I上一致連續(xù)，則f(x)?g(x)也在I上一致連續(xù).3(2)若f(x),g(x)都在有限區(qū)間I上一致連續(xù)，則f(x)g(x)也在I上一致連續(xù).若f(x),g(x)都在區(qū)間I(含無窮區(qū)間)上一致連續(xù)且有界，則精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，感謝閱讀下載5精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，歡迎閱讀下載f(x)g(x)也在I上一致連續(xù).(3)若f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)，且有正的下確界(或負(fù)的上確界)，則致連續(xù).(4)若f(x)在區(qū)間I上一致連

10、續(xù)，則？f(x)也在I上一致連續(xù)(其中？為任意常數(shù)).例2若f(x)在有限區(qū)間I上一致連續(xù)，g(x)在區(qū)間I上非一致連續(xù).問：f(x)?g(x)在1也在I上一f(x)I上的一致連續(xù)性.分析：假設(shè)f(x)?g(xpBI上一致連續(xù)，又f(x)是有限區(qū)間I的一致連續(xù)函數(shù)，一致連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算性質(zhì)知g(x)?f(x)?g(x)?f(x)在I上一致連續(xù)，這與條件矛盾.所以，f(x)?g(x)在I上非一致連續(xù).同理有f(x)?g(x)在I上非一致連續(xù).方法3:復(fù)合函數(shù)的一致連續(xù)性設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)，g(x)在區(qū)間U上一致連續(xù)，且g(U)?I,則復(fù)合函數(shù)f(g(x)在區(qū)間U上一致連續(xù).方法4

11、:利用兩區(qū)間之并設(shè)f(x)定義在a,c上，若f(x)在a,b和b,c上都連續(xù)，則f(x)在a,c上一致連續(xù).上述結(jié)論可進(jìn)一步推廣為：設(shè)區(qū)間I1的右端點(diǎn)精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，感謝閱讀下載=精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，歡迎閱讀下載=為c?I1,區(qū)間I2的左端點(diǎn)也為c?I2(I1,I2可為有限或無限區(qū)間).若1f(x)在I1和I2上都一致連續(xù)，則f(x)在I?I1?I2上一致連續(xù).例3討論f(x)?x在0,?)上的一致連續(xù)性.分析：f(x)在0,?)上連續(xù)，設(shè)a?0,當(dāng)0?x?a時(shí)，設(shè)0?x1?a,0?x2?a,x1?x2?貝U4x1?x2?x1?x

12、2?,0?f(?)?supx1,x2?0,ax1?x2?f(x1)?f(x2)?0,所以f(x)?且lim?0x在0,a上一致連續(xù).當(dāng)x?a時(shí)，x1?x2?所以f(x)?x1?x2x1?x2?2a,且lim?0?2a?0.x在a,?讓一致連續(xù).x在0,?)上一致連續(xù).綜上所述，f(x)?方法5:利用數(shù)列(1)函數(shù)f(x)在I上一致連續(xù)？對區(qū)間I上任意兩個(gè)數(shù)列xn,yn,當(dāng)limxn?yn?0n?時(shí)，有l(wèi)imf(xn)?f(yn)?0.n?涵數(shù)f(x)在I上非一致連續(xù)？區(qū)間I上存在兩個(gè)數(shù)列xn,yn,當(dāng)limxn?yn?0時(shí)，n?但limf(xn)?f(yn)?0.n?J4f(x)?sinx2在

13、(?,?而非一致連續(xù).分析：可取精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，感謝閱讀下載精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，歡迎閱讀下載xn?2n?2,xn''?2n?2,則xn'?xn''?即？).f(xn')?f(xn:')?2故f(x)?sinx2在(?,?)內(nèi)非一致連續(xù).(2)函數(shù)f(x)在有界實(shí)數(shù)集E上一致連續(xù)？函數(shù)f(x)將E中的柯西列變成R中的柯西51列.方法6:利用漸近線設(shè)f(x)在a,?)上連續(xù)，且limf(x)?(cx?d)?0(c,d為常數(shù)).即x?E寸，x?f(x)有漸近線y?cx?d,則f(x

14、)在a,?)上一致連續(xù).上述結(jié)論可進(jìn)一步推廣為：65設(shè)f(x)在a,?)上連續(xù),g(x)在a,?)上一致連續(xù)，即x?時(shí)，且x?limf(x)?g(x)?A,貝ijf(x)在a,?)上一致連續(xù).例5f(x)?xln(e?)在1,?)上一致連續(xù).1x1xln(e?)x?1,b?limxln(e?1)?x?1,故f(x)?xln(e?1)在該分析：于k?limx?x?xxxe區(qū)間有漸近線y?x?1,所以f(x)在1,?)上一致連續(xù).e方法7:利用導(dǎo)數(shù)若f(x)在區(qū)間I上存在有精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，感謝閱讀下載8精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，歡迎閱讀下載

15、界導(dǎo)函數(shù)，即？M?0,?x?I,有f?(x)?M,則f(x)在I上一致連續(xù).下面還有一個(gè)應(yīng)用得更加廣泛的結(jié)論：若f(x)在a,?)上連續(xù)，在(a,?)內(nèi)處處可導(dǎo)，且limf?(x)?A存在，則f(x)在x?6a,?止一致連續(xù).例6f(x)?'x2?2(?,?比一致連續(xù),xx2?2,f'(x)?1故f(x)?x2?2在(?？,？?)上一致連續(xù).分析：于f(x)?方法利用積分函數(shù)f(x)在區(qū)間a,?)±局部可積，且f(x)在區(qū)間a,?)上有界，則F(x)?xaf(s)ds在a,?)上一致連續(xù).方法9:引進(jìn)擬可導(dǎo)函數(shù)來說明一致連續(xù)性定義1(凸函數(shù))設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有

16、定義，若？x,y?I,0?1有4f?x?(1?)y?f(x)?(1?)f(y)(或f?x?(1?)y?f(x)?(1?)f(y),貝U稱f(x)為定義在區(qū)間I上的下凸(或上凸)函數(shù)，上，下凸函數(shù)統(tǒng)稱為凸函數(shù).注：下面的定義，引理，定理和推論均見4.定義2(擬可導(dǎo)函數(shù))若函數(shù)f(x)在U0(x0)有定義，且極限6精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，感謝閱讀下載9=精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，歡迎閱讀下載=hhf(x0?)?f(x0?)22存在，limh?0hhhf(x0?)?f(x0?)22.則稱函數(shù)f(x)在x0擬可導(dǎo)，記為Df(x0)?limh?0h引理1

17、凸函數(shù)在任意開區(qū)間I上連續(xù).引理2若f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，且對？x1,x2?I,有f(x1)?f(x2)x?x?f(12),22貝ij函數(shù)f(x)為下凸函數(shù).定理若f(x)在開區(qū)間I上單調(diào)，且Df(x)在I內(nèi)處處存在，有界，則f(x)在I上一致連續(xù).推論1若f(x)是開區(qū)間I上的凸函數(shù)，且擬導(dǎo)數(shù)存在，有界，則f(x)在I上一致連續(xù).推論2若f(x)在開區(qū)間I上滿足條件：？x1,x2?I,有f(x1)?f(x2)x?x?f(12);22?x?I,f?(x)和f?(x)都存在；在I上處處擬可導(dǎo)，且擬導(dǎo)數(shù)有界，則f(x)在I上一致連續(xù).幾個(gè)重要應(yīng)用應(yīng)用之一：周期函數(shù)的一致連續(xù)性26設(shè)f(x)是(?

18、,?比以T為周期的函數(shù)，則f(x)在(?,?止連續(xù)？f(x)在(?,?比一致連續(xù).應(yīng)用之二：基本初等函數(shù)的一致連續(xù)性？(1)f(x)?x在0,?)上，當(dāng)精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，感謝閱讀下載10=精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，歡迎閱讀下載=0?1時(shí)一致連續(xù)，當(dāng)？1時(shí)不一致連續(xù).(2)f(x)?e在R上非一致連續(xù).x7(3)f(x)?lnx在(0,1上非一致連續(xù)，在1,?)上一致連續(xù).(4)y?sinx和y?cosx均在R上一致連續(xù)，y?tanx和y?cotx均在其定義域上非一致連續(xù).(5)y?arcsinx和y?arccosx均在?1,1上一致連續(xù),

19、y?arctanx和y?arccotx土勻在(?,?)上一致連續(xù).p(x)?0xn?1xn?1?.?n(6)R(x)?其中n,m為非負(fù)整數(shù)，？mm?1q(x)?0x?1x?.?m?0,?1,.?n,?0,?1,.,?m土勻?yàn)槌?shù)，且？0?0,?0?0.當(dāng)n?m?1時(shí)，R(x)在a,?讓一致連續(xù)；當(dāng)n?m?1時(shí)，R(x)在a,?讓非一致連續(xù).4.二元函數(shù)的一致連續(xù)性前面我們已經(jīng)對一元函數(shù)的一致連續(xù)性已作了詳細(xì)的敘述，下面我們將一元函數(shù)的一致連續(xù)性的一些結(jié)論推廣到二元函數(shù)中去.定理1若函數(shù)f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則f(P)在D上一致連續(xù).定理2函數(shù)f(P)在有界開區(qū)域D精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，感謝閱讀下載11精選公文范文，管理類，工作總結(jié)類，工作計(jì)劃類文檔，歡迎閱讀下載上一致連續(xù)？f(P)在D上連續(xù)，且？P0?