高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專項(xiàng)突破五　直線與圓錐曲線在高考中的熱點(diǎn)題型

1、必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 第八章第八章 解析幾何解析幾何專項(xiàng)突破五專項(xiàng)突破五直線與圓錐曲線在高考中的熱點(diǎn)題型直線與圓錐曲線在高考中的熱點(diǎn)題型必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 圓錐曲線是平面解析幾何的核心部分,每年高考必考一道解答題,常以求橢圓或拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、位置關(guān)系、定點(diǎn)、定值、最值、范圍、探索性問題為主.這些試題的命制有一個(gè)共同的特點(diǎn),就是起點(diǎn)低,但在第(2)問或第(3)問中一般都伴有較為復(fù)雜的運(yùn)算,對(duì)學(xué)生解決問題的能力要求較高,通常作為壓軸題出現(xiàn).備考時(shí)要熟練掌握橢圓與拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì),掌握“設(shè)而不求”的思想方法,以及定點(diǎn)、定值、最值、范圍、探索性問題的一般解題思路

2、和方法,解題時(shí)注意步驟的規(guī)范性,盡量多得分.必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 題型一解析幾何中的最值、范圍問題題型一解析幾何中的最值、范圍問題典例典例1 (2020浙江,21,15分)如圖,已知橢圓C1:+y2=1,拋物線C2:y2=2px(p0),點(diǎn)A是橢圓C1與拋物線C2的交點(diǎn),過點(diǎn)A的直線l交橢圓C1于點(diǎn)B,交拋物線C2于點(diǎn)M(B,M不同于A).(1)若p=,求拋物線C2的焦點(diǎn)坐標(biāo);(2)若存在不過原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn),求p的最大值.22x116必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 答題規(guī)范答題過程第一步:把p=代入拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo),得2分;第二步:設(shè)出直線l的方程和點(diǎn)A的坐標(biāo)

3、,得2分;第三步:將直線l的方程代入橢圓方程得到二次方程,得3分;第四步:應(yīng)用韋達(dá)定理得到點(diǎn)M的縱坐標(biāo),得2分;第五步:將直線l的方程代入拋物線方程得到二次方程,得2分;第六步:利用韋達(dá)定理求出點(diǎn)A的坐標(biāo),得2分;第七步:將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入橢圓方程得到關(guān)于p的不等式,進(jìn)而得到p的最大值,得2分解析解析(1)由p=得C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.(2)由題意可設(shè)直線l:x=my+t(m0,t0),點(diǎn)A(x0,y0).將直線l的方程代入橢圓C1:+y2=1得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0,所以點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM=-,將直線l的方程代入拋物線C2:y2=2px得y2-2pmy-2pt=0,所以y0yM=-

4、2pt,解得y0=,因此x0=.由+=1得=4+2160,所以當(dāng)m=,t=時(shí),p取到最大值.1161161,0322x22mtm222p(m2)m2222p(m2)m20 x220y21p22mm42mm21051040必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 方法歸納方法歸納圓錐曲線中的最值、范圍問題的解決方法一般有兩種:一是代數(shù)法,從代數(shù)的角度考慮,通過建立函數(shù)、不等式等模型,利用二次函數(shù)法和基本不等式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法,或利用判別式構(gòu)造不等關(guān)系,利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式等方法求最值、范圍;二是幾何法,從圓錐曲線的幾何性質(zhì)考慮,根據(jù)圓錐曲線的幾何意義求最值.必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破

5、(2020重慶外國語學(xué)校高三模擬)已知直線y=x-與拋物線C:y2=2px(p0)交于B,D兩點(diǎn),線段BD的中點(diǎn)為A,點(diǎn)F為C的焦點(diǎn),且OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為1.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)G(2,2)作斜率為k(k2)的直線l與C交于M,N兩點(diǎn),直線OM,ON分別交直線y=x+2于P,Q兩點(diǎn),求|PQ|的最大值.2p必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 解析解析(1)設(shè)B(x1,y1),D(x2,y2),則=1.由=2px1,=2px2得(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2).所以y1+y2=2p=2p,可知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為=p,所以O(shè)AF的面積S=p=1,解得p=2(負(fù)

6、值舍去).故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.(2)直線l的方程為y-2=k(x-2).由方程組得ky2-4y-8k+8=0.設(shè)M,N,則y3+y4=,y3y4=-8.直線OM的方程為y=x,代入y=x+2,解得x=,所以P.同理,可得Q.1212yyxx21y22y1212xxyy122yy122p22(2),4 ,yk xyx233,4yy244,4yy4k8k34y3324yy33328,44yyy44428,44yyy必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 所以|PQ|=8=81 1348844yy234348()(4)(4)yyyy2234343434()4164()yyy yyyy y22

7、4848481648kkkk 必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 =4.因?yàn)閗2,所以01)的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),=8.P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與E的另一交點(diǎn)為D.(1)求E的方程;(2)證明:直線CD過定點(diǎn).22xaAGGB必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 答題規(guī)范答題過程第一步:由=8解得a的值,可得橢圓的方程,得4分;第二步:設(shè)出C,D,P的坐標(biāo),寫出直線PA,PB的方程,得2分;第三步:利用直線PA,PB的方程消去x1,x2,得到y(tǒng)1,y2,m,n的關(guān)系式,得2分;解析解析(1)由題設(shè)得A(-a,0),B(a,0),G(0,1).則=(a,1),=(a,-

8、1).由=8得a2-1=8,即a=3.所以E的方程為+y2=1.(2)證明:設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).若t0,設(shè)直線CD的方程為x=my+n,由題意可知-3nb0)的離心率為,左,右焦點(diǎn)分別為F1,F2,且以F1F2為直徑的圓的內(nèi)接正方形的面積為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l:y=kx+2與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),則在y軸上是否存在點(diǎn)D,使直線AD與BD的斜率之和kAD+kBD為定值?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo)及該定值,若不存在,請(qǐng)說明理由.22xa22yb22必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 解析解析(1)由已知可得解得a2=2,b2=c2=1,所以橢圓的標(biāo)

9、準(zhǔn)方程為+y2=1.(2)存在.由得(1+2k2)x2+8kx+6=0,則=64k2-24(1+2k2)=16k2-240,解得k.2222,22 sin2,4,cacabc22x221,22,xyykx6262必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=,設(shè)D(0,m),則kAD=,kBD=,所以kAD+kBD=.要使kAD+kBD為定值,只需6k-4k(2-m)=6k-8k+4mk=2(2m-1)k與參數(shù)k無關(guān),故2m-1=0,解得m=,此時(shí)kAD+kBD=0.故存在點(diǎn)D,使得kAD+kBD為定值,該定值為0.2812kk2612k11

10、ymx22ymx122 11212()y xy xm xxx x1212122(2)()kx xm xxx x64 (2)3kkm1210,2必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 題型三解析幾何中的證明、探索性問題題型三解析幾何中的證明、探索性問題典例典例3 (2018課標(biāo),19,12分)設(shè)橢圓C:+y2=1的右焦點(diǎn)為F,過F的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:OMA=OMB.22x必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 答題規(guī)范答題過程第一步:根據(jù)已知條件求出點(diǎn)A的坐標(biāo),進(jìn)而得出直線AM的方程,得4分;第二步:證明當(dāng)l與

11、x軸重合時(shí)OMA=OMB,得1分;第三步:證明當(dāng)l與x軸垂直時(shí)OMA=OMB,得1分;第四步:當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí),設(shè)出l的方程,得1分;解析解析(1)由已知得F(1,0),l的方程為x=1,由已知可得,點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.所以AM的方程為y=-x+或y=x-.(2)證明:當(dāng)l與x軸重合時(shí),OMA=OMB=0,當(dāng)l與x軸垂直時(shí),直線OM為AB的垂直平分線,所以O(shè)MA=OMB.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2b0)過M(2,),N(,1)兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求橢圓E的方程;(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得

12、該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且?若存在,求出該圓的方程,若不存在,說明理由.22xa22yb26OAOB必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 解析解析(1)因?yàn)闄E圓E:+=1(ab0)過M(2,),N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為+=1.(2)存在.當(dāng)切線的斜率存在時(shí),設(shè)切線方程為y=kx+m,解方程組得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,則=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)0,即8k2-m2+40,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1+x2=-,x1x2=,22xa22yb262222421,611,abab228,4,ab28x24y22,1,84ykxmxy2412kmk222812mk必備知識(shí) 整合 關(guān)鍵能力 突破 所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=-+m2=.要使,則需x1x2+y1y2=0,即+=0,所以3m2-8k2-8=0,所以k2=0,又8k2-m2+40,所以解得m或m-.因?yàn)橹本€y=kx+m是圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為r=,則r2=,解得r=,故所求圓的方程為x2+y2=.222(28)12kmk222412k mk222812mkkOAOB222812m